線形写像の階数
行列の階数について簡単に復習した上で、線形写像の階数を定義します。
行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行空間とは、\(A\)の行ベクトル集合の線型スパン、すなわち\(A\)の行ベクトルどうしの線型結合からなる集合\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{row}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \right\} \right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}として定義されます。行空間\(\mathrm{row}\left( A\right) \)は実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。行空間\(\mathrm{row}\left( A\right) \)から選ぶことの線型独立な行ベクトルの最大個数を行列\(A\)の行階数と呼び、\begin{equation*}\dim \mathrm{row}\left( A\right)
\end{equation*}で表記します。
行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列空間とは、\(A\)の列ベクトル集合の線型スパン、すなわち\(A\)の列ベクトルどうしの線型結合からなる集合\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right) \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}として定義されます。列空間\(\mathrm{col}\left( A\right) \)は実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間です。列空間\(\mathrm{col}\left( A\right) \)から選ぶことの線型独立な列ベクトルの最大個数を行列\(A\)の列階数と呼び、\begin{equation*}\dim \mathrm{col}\left( A\right)
\end{equation*}で表記します。
行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行階数と列階数は必ず一致するため、両者に共通する値を行列\(A\)の階数と呼び、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( A\right) =\dim \mathrm{row}\left( A\right) =\dim \mathrm{col}\left( A\right)
\end{equation*}で表記します。行列\(A\)の階数は\(A\)の行標準形に含まれる主成分の個数と一致するため、行列\(A\)の階数を特定するためには、\(A\)に対してガウス・ジョルダンの消去法を適用することにより\(A\)を行標準形\(B\)へ行簡約し、得られた行標準形\(B\)に含まれる主成分の個数を数えればよいということになります。加えて、行列\(A\)の行標準形\(B\)は一意的に定まるため、行列\(A\)の階数もまた一意的に定まります。
定義域が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)であり、終集合が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるような写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、写像\(\boldsymbol{f}\)に入出力するベクトルとして列ベクトルを採用します。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を像として定めるということです。このような写像\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) +\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k\boldsymbol{x}\right) =k\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とその定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}が与えられれば、線形写像\(\boldsymbol{f}\)の標準行列が、\begin{eqnarray*}M\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \right)
\\
&=&\begin{pmatrix}
f_{1}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right)
\end{pmatrix}
\\
&\in &M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}と定義されるとともに、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =M\left( \boldsymbol{f}\right)
\boldsymbol{x}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、線形写像\(\boldsymbol{f}\)とその標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)を同一視することができます。
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right)\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は行列であるため、その階数\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right)
\end{equation*}を特定できます。そこで、これをもとの線形写像\(\boldsymbol{f}\)の階数として採用します。つまり、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathrm{rank}\left( M\left(
\boldsymbol{f}\right) \right)
\end{equation*}を満たすものとして線形写像\(\boldsymbol{f}\)の階数（rank of linear mapping \(\boldsymbol{f}\)）を定義するということです。
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&A\boldsymbol{x} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+2x_{2}+3x_{3} \\
4x_{1}+5x_{2}+6x_{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。この線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}\)の標準行列は\(A\)です。そこで、\(A\)にガウス・ジョルダンの消去法を適用すると、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -3 & -6\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-4R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow -\frac{1}{3}R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}-2R_{2}
\end{eqnarray*}となりますが、\(A\)の行標準形は2つの主成分を持つため、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( A\right) =2
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) =2
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\boldsymbol{v}=\left( 1,2,3\right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\boldsymbol{vx} \\
&=&\left( 1,2,3\right) \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \\
&=&x_{1}+2x_{2}+3x_{3}
\end{eqnarray*}を定めます。この線形写像\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\)の標準行列は、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{v}\right) \in M_{1,3}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}ですが、その階数は、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \left( \boldsymbol{v}\right) \right) =1
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) =1
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}を像として定める線形写像です。ゼロ写像\(\boldsymbol{f}\)の標準行列はゼロ行列\begin{equation*}\boldsymbol{0}_{m,n}=\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\in M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}ですが、その階数は、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{0}_{m,n}\right) =0
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) =0
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}を像として定める線形写像です。恒等写像\(\boldsymbol{f}\)の標準行列は単位行列\begin{equation*}I_{n}=\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}ですが、その階数は、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( I_{n}\right) =n
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) =n
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めます。この写像\(\boldsymbol{f}\)の標準行列は、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{v}\right) =\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right) \in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}ですが、その階数は、\(\boldsymbol{v}\)は非ゼロベクトルであることから、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( \left( \boldsymbol{v}\right) \right) =1
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) =1
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) =s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}を定めます。この写像\(\boldsymbol{f}\)の標準行列は、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) =\left(
\begin{array}{cc}
v_{1} & w_{1} \\
\vdots & \vdots \\
v_{n} & w_{n}\end{array}\right) \in M_{n,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}ですが、その階数は、\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)は非ゼロベクトルかつ線型独立であることから、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( \left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) \right) =2
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) =2
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を斉次連立1次方程式と呼びます。その係数行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&A\boldsymbol{x} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。この写像\(\boldsymbol{f}_{A}\)の標準行列は\(A\)であるため、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathrm{rank}\left( A\right)
\end{equation*}となります。
線形写像の値域の次元
実ベクトル空間の部分空間の次元について簡単に復習した上で、線形写像の値域の次元を定義します。
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{m}\)を張る線型独立なベクトル集合を\(X\)の基底と呼びます。つまり、ベクトル集合\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が\(X\)の基底であることとは、\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)の要素であるベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)が線型独立な\(X\)上のベクトルであるとともに、\(X\)上に存在する任意のベクトルについて、それを\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の何らかの線型結合として表せることを意味します。
部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{m}\)を張るために必要な線型独立なベクトルの個数の最小値を\(X\)の次元と呼び、それを、\begin{equation*}\dim X
\end{equation*}で表記します。部分空間\(X\)の基底が\(m\)個のベクトルを持つ集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)である場合には、以下の関係\begin{equation*}\dim X=m
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、部分空間\(X\)の次元は基底ベクトルの個数と一致します。
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域とは、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分集合です。
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域\(\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \)は実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間であるため、その次元\begin{equation*}\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}を特定できます。ただし、これは線形写像\(\boldsymbol{f}\)の階数と必ず一致します。つまり、以下の関係\begin{equation*}\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。さらに、先に示したように、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathrm{rank}\left( M\left(
\boldsymbol{f}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathrm{rank}\left( M\left(
\boldsymbol{f}\right) \right)
\end{equation*}を得ます。したがって、線形写像\(\boldsymbol{f}\)の値域の次元、すなわち\(\boldsymbol{f}\)の値域を張るために必要な線型独立なベクトルの個数の最小値を特定するためには、ガウス・ジョルダンの消去法を用いて\(\boldsymbol{f}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)の階数を特定すればよいということになります。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の階数であり、\(\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の値域\(\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \)の次元である。
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&A\boldsymbol{x} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+2x_{2}+3x_{3} \\
4x_{1}+5x_{2}+6x_{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。先に示したように、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) =2
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =2
\end{equation*}となります。実際、\(\boldsymbol{f}_{A}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) =\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であるため、その次元は\(2\)です。
\boldsymbol{v}=\left( 1,2,3\right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\boldsymbol{vx} \\
&=&x_{1}+2x_{2}+3x_{3}
\end{eqnarray*}を定めます。先に示したように、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) =1
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) =1
\end{equation*}となります。実際、\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) =\mathbb{R} \end{equation*}であるため、その次元は\(1\)です。
\end{equation*}を像として定める線形写像です。先に示したように、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) =0
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =0
\end{equation*}となります。実際、\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) =\left\{ \boldsymbol{0}_{m}\right\}
\end{equation*}であるため、その次元は\(0\)です。
\end{equation*}を像として定める線形写像です。先に示したように、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) =n
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =n
\end{equation*}となります。実際、\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) =\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるため、その次元は\(n\)です。
\end{equation*}を定めます。先に示したように、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) =1
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =1
\end{equation*}となります。実際、\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ t\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}であり、これは原点を通過し方向ベクトルが\(\boldsymbol{v}\)であるような直線ですが、その次元は\(1\)です。
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) =s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}を定めます。先に示したように、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) =2
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =2
\end{equation*}となります。実際、\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\}
\end{equation*}であり、これは原点を通過し方向ベクトルが\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)であるような平面ですが、その次元は\(2\)です。
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を斉次連立1次方程式と呼びます。その係数行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&A\boldsymbol{x} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。先に示したように、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathrm{rank}\left( A\right)
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathrm{rank}\left( A\right)
\end{equation*}となります。
線形写像の退化次数
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の核（ゼロ空間）とは、\begin{eqnarray*}\ker \left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{0}_{m}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の核\(\ker \left( \boldsymbol{f}\right) \)は実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるため、その次元\begin{equation*}\dim \ker \left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}を特定できます。これをもとの線形写像\(\boldsymbol{f}\)の退化次数（nullity）と呼び、\begin{equation*}\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}\right) =\dim \ker \left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}で表記します。これは、\(\boldsymbol{f}\)の核を張るために必要な線型独立なベクトルの個数の最小値に相当します。
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&A\boldsymbol{x} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+2x_{2}+3x_{3} \\
4x_{1}+5x_{2}+6x_{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。\(\boldsymbol{f}_{A}\)の核は、\begin{equation*}\ker \left( \boldsymbol{f}_{A}\right) =\left\{ t\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\dim \ker \left( \boldsymbol{f}_{A}\right) =1
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) =1
\end{equation*}となります。
\boldsymbol{v}=\left( 1,2,3\right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\boldsymbol{vx} \\
&=&x_{1}+2x_{2}+3x_{3}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\)の核は、\begin{equation*}\ker \left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) =\left\{ s\left(
\begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
0\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
-3 \\
0 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ s\in \mathbb{R} \wedge t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\dim \ker \left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) =2
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) =2
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を像として定める線形写像です。\(\boldsymbol{f}\)の核は、\begin{equation*}\ker \left( \boldsymbol{f}\right) =\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\dim \ker \left( \boldsymbol{f}\right) =n
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}\right) =n
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を像として定める線形写像です。\(\boldsymbol{f}\)の核は、\begin{equation*}\ker \left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{0}_{n}\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\dim \ker \left( \boldsymbol{f}\right) =0
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}\right) =0
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を定めます。\(\boldsymbol{f}\)の核は、\begin{equation*}\ker \left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\dim \ker \left( \boldsymbol{f}\right) =0
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}\right) =0
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) =s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}を定めます。\(\boldsymbol{f}\)の核は、\begin{equation*}\ker \left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\dim \ker \left( \boldsymbol{f}\right) =0
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}\right) =0
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を斉次連立1次方程式と呼びます。その係数行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&A\boldsymbol{x} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。\(\boldsymbol{f}_{A}\)の核は連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}の解集合であるとともに、先の命題より、以下の関係\begin{equation*}
\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}\right) =\dim \ker \left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
線形写像に関する次元定理（階数・退化次数の定理）
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、定義域である実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元と、\(\boldsymbol{f}\)の値域の次元と、\(\boldsymbol{f}\)の核の次元の間には以下の関係\begin{equation*}\dim \mathbb{R} ^{n}=\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) +\dim \ker \left(
\boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
n=\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) +\dim \ker \left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。これを次元定理（dimension theorem）と呼びます。
\boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
n=\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) +\dim \ker \left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の値域の次元であり、\(\dim \ker \left( \boldsymbol{f}\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の核の次元である。
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の階数については、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) =\dim \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}が成り立ち、線形写像\(\boldsymbol{f}\)の退化次数は、\begin{equation*}\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}\right) =\dim \ker \boldsymbol{f}
\end{equation*}と定義されるため、次元定理は、\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{n}=\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) +\mathrm{nullity}\left(
\boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
n=\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) +\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}と必要十分です。これを階数・退化次数の定理（rank− −nullity theorem）と呼びます。
\boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
n=\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) +\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の階数であり、\(\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の退化次数である。
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&A\boldsymbol{x} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+2x_{2}+3x_{3} \\
4x_{1}+5x_{2}+6x_{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。先に示したように、\begin{eqnarray*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) &=&2 \\
\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) &=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これと、\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{3}=3
\end{equation*}をあわせると、\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{3}=\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) +\mathrm{nullity}\left(
\boldsymbol{f}_{A}\right)
\end{equation*}を得ます。これは先の命題の主張と整合的です。
\boldsymbol{v}=\left( 1,2,3\right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\boldsymbol{vx} \\
&=&x_{1}+2x_{2}+3x_{3}
\end{eqnarray*}を定めます。先に示したように、\begin{eqnarray*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) &=&1 \\
\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) &=&2
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これと、\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{3}=3
\end{equation*}をあわせると、\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{3}=\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) +\mathrm{nullity}\left(
\boldsymbol{f}_{A}\right)
\end{equation*}を得ます。これは先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を像として定める線形写像です。先に示したように、\begin{eqnarray*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&0 \\
\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&n
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これと、\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{n}=n
\end{equation*}をあわせると、\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{n}=\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) +\mathrm{nullity}\left(
\boldsymbol{f}_{A}\right)
\end{equation*}を得ます。これは先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を像として定める線形写像です。先に示したように、\begin{eqnarray*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&n \\
\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これと、\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{n}=n
\end{equation*}をあわせると、\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{n}=\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) +\mathrm{nullity}\left(
\boldsymbol{f}_{A}\right)
\end{equation*}を得ます。これは先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めます。先に示したように、\begin{eqnarray*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&1 \\
\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これと、\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} =1
\end{equation*}をあわせると、\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} =\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) +\mathrm{nullity}\left(
\boldsymbol{f}_{A}\right)
\end{equation*}を得ます。これは先の命題の主張と整合的です。
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) =s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}を定めます。先に示したように、\begin{eqnarray*}
\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&2 \\
\mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これと、\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{2}=2
\end{equation*}をあわせると、\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{2}=\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) +\mathrm{nullity}\left(
\boldsymbol{f}_{A}\right)
\end{equation*}を得ます。これは先の命題の主張と整合的です。
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を斉次連立1次方程式と呼びます。その係数行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&A\boldsymbol{x} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。先の命題より、\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{n}=\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) +\mathrm{nullity}\left(
\boldsymbol{f}_{A}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
n=\mathrm{rank}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) +\mathrm{nullity}\left(
\boldsymbol{f}_{A}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
演習問題
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{2}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{3}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。ただし、\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{3}\)の標準基底です。\(\boldsymbol{f}\)の階数と退化次数を求めてください。
\begin{array}{c}
3 \\
2\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
3\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
4 \\
3\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-5 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。\(\boldsymbol{f}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)を求めた上で、\(\boldsymbol{f}\)の階数と退化次数を求めてください。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-x_{2} \\
x_{1}+x_{2} \\
x_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることを示してください。その上で、\(\boldsymbol{f}\)の核と値域を特定し、さらに\(\boldsymbol{f}\)の値域の次数と退化次数を特定してください。その上で、次元定理が成立していることを確認してください。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-x_{4} \\
3x_{1}+5x_{2}+8x_{3}-2x_{4} \\
x_{1}+x_{2}+2x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることを確認してください。その上で、\(\boldsymbol{f}\)の核および退化次数を特定してください。最後に、\(\boldsymbol{f}\)の階数を特定してください。
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