線形写像の階数
行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、その行階数と列階数は一致するため、すなわち、\begin{equation*}\dim \mathrm{row}\left( A\right) =\dim \mathrm{col}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つため、行列\(A\)の行階数と列階数の共通な値を行列\(A\)の階数と呼び、それを、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( A\right) =\dim \mathrm{row}\left( A\right) =\dim \mathrm{col}\left( A\right)
\end{equation*}で表記しました。また、行列\(A\)の階数は、\(A\)の行標準形に含まれる非ゼロベクトルであるような行の個数と一致します。以上を踏まえた上で、線形写像の階数を定義します。
写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。ただし、写像\(f\)がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルが、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が線形写像であるための必要十分です。しかも、この行列\(A\)は\(f\)の標準行列と必ず一致します。つまり、\begin{equation*}A=\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \right) =\begin{pmatrix}
f_{1}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( e_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( e_{n}\right)
\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底です。
線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とその標準行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の間には1対1の対応関係が成立するため、線形写像\(f\)の階数（rank）を、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( f\right) =\mathrm{rank}\left( A\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義します。つまり、線形写像\(f\)の階数は、\(f\)の標準行列\(A\)の階数と一致するものとして定義されます。
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
1 & 0 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}から定義される線形写像\(f_{A}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{A}\left( x\right) &=&Ax \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
1 & 0 & 3\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \\
&=&x_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) +x_{2}\left(
\begin{array}{c}
2 \\
0\end{array}\right) +x_{3}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
3\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+2x_{2}-x_{3} \\
x_{1}+3x_{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めるとともに、\(A\)は\(f\)の標準行列と一致します。\(A\)を行既約な階段行列へ行簡約します。具体的には、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
1 & 0 & 3\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
0 & -2 & 4\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 \\
0 & -2 & 4\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}+R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & -2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow -\frac{1}{2}R_{2}
\end{eqnarray*}となりますが、この行既約な階段行列の中には非ゼロベクトルであるような行が\(2\)個存在するため、\begin{equation*}\mathrm{rank}f=\mathrm{rank}A=2
\end{equation*}となります。
線形写像の階数は像の次元と一致する
線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の像は、\begin{equation*}\mathrm{Im}f=\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{m}\)の空間であるため、その次元\begin{equation*}\dim \mathrm{Im}f
\end{equation*}をとることができますが、これは\(f\)の階数と一致します。つまり、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( f\right) =\dim \mathrm{Im}f
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像\(f\)の階数は、\(f\)の像からとることのできる線型独立なベクトルの最大個数と一致するということです。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\mathrm{Im}f\)は\(f\)の像である。
\begin{array}{c}
x \\
y \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は入力した点\(\left( x,y,z\right) \)に対して、その\(xy\)平面への射影\(\left( x,y,0\right) \)を返す写像です。\(f\)は線形写像であるとともに、その像は、\begin{equation*}\mathrm{Im}f=\left\{ \left( x,y,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x,y\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(xy\)平面です。さらに、\begin{eqnarray*}\mathrm{rank}\left( f\right) &=&\dim \mathrm{Im}f \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は線形写像であるとともに、その像は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}f &=&\left\{ tv\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ v\right\} \right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは原点を通過し方向ベクトルが\(v\)であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の直線です。さらに、\begin{eqnarray*}\mathrm{rank}\left( f\right) &=&\dim \mathrm{Im}f \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は線形写像であるとともに、その像は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}f &=&\left\{ sv+tw\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ v,w\right\} \right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは原点を通過し方向ベクトルが\(v,w\)であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の平面です。さらに、\begin{eqnarray*}\mathrm{rank}\left( f\right) &=&\dim \mathrm{Im}f \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を斉次連立1次方程式と呼びます。\(\left( 1\right) \)の係数行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を踏まえた上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&Ax \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定める線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f\)の像は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}f &=&\mathrm{col}\left( A\right) \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\mathrm{col}\left( A,2\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}ですが、これは斉次連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数行列の列の線型結合からなる集合です。さらに、\begin{eqnarray*}\mathrm{rank}\left( f\right) &=&\dim \mathrm{Im}f \\
&=&\dim \mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\mathrm{col}\left( A,2\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(f\)の階数は斉次連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数行列\(A\)からとることのできる線型独立な列ベクトルの最大個数です。
線形写像に関する次元定理（階数・退化次数の定理）
線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(f\)の像は、\begin{equation*}\mathrm{Im}f=\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間である一方、\(f\)の核は、\begin{equation*}\ker f=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( x\right) =0\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間ですが、これらの次元の間には、以下の関係\begin{equation*}\dim \mathbb{R} ^{n}=\dim \mathrm{Im}f+\dim \ker f
\end{equation*}が成立します。つまり、\(f\)の像の次元と核の次元の和は、\(f\)の定義域の次元と一致するということです。これを次元定理（dimension theorem）と呼びます。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
n=\dim \mathrm{Im}f+\dim \ker f
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\mathrm{Im}f\)は\(f\)の像であり、\(\ker f\)は\(f\)の核である。
線形写像\(f\)の階数は\(f\)の像の次元と一致することを踏まえると、次元定理を以下のように表現することもできます。つまり、線形写像\(f\)の階数は、\(f\)の定義域の次元と\(f\)の核の次元の差と一致します。
線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}\mathrm{rank}f=\dim \mathbb{R} ^{n}-\dim \ker f
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathrm{rank}f=n-\dim \ker f
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\ker f\)は\(f\)の核である。
線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の核\(\ker f\)の次元については、特にそれを\(f\)の退化次数（nullity）と呼び、\begin{equation*}\mathrm{nullity}f=\dim \ker f
\end{equation*}で表記します。この表記を利用すると、先の命題を以下のように表現できます。これを階数・退化次数の定理（rank− −nullity theorem）と呼びます。つまり、\(f\)の階数と\(f\)の退化次数の和は、\(f\)の定義域の次元と一致するということです。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
n=\mathrm{rank}f+\mathrm{nullity}f
\end{equation*}が成り立つ。
\begin{array}{c}
x \\
y \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は入力した点\(\left( x,y,z\right) \)に対して、その\(xy\)平面への射影\(\left( x,y,0\right) \)を返す線形写像です。\(f\)の像は、\begin{equation*}\mathrm{Im}f=\left\{ \left( x,y,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x,y\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}であり、これは\(xy\)平面です。\(f\)の核は、\begin{equation*}\ker f=\left\{ \left( 0,0,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}であり、これは\(z\)軸です。さらに、\begin{eqnarray*}\dim \mathbb{R} ^{3} &=&3 \\
\dim \mathrm{Im}f &=&2 \\
\ker f &=&1
\end{eqnarray*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{3}=\dim \mathrm{Im}f+\ker f
\end{equation*}が確かに成立しています。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は線形写像です。\(f\)の像は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}f &=&\left\{ tv\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ v\right\} \right)
\end{eqnarray*}であり、これは原点を通過し方向ベクトルが\(v\)であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の直線です。\(f\)の核は、\begin{equation*}\ker f=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であり、これは原点です。さらに、\begin{eqnarray*}
\dim \mathbb{R} &=&1 \\
\dim \mathrm{Im}f &=&1 \\
\dim \ker f &=&0
\end{eqnarray*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{3}=\dim \mathrm{Im}f+\ker f
\end{equation*}が確かに成立しています。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は線形写像です。\(f\)の像は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}f &=&\left\{ sv+tw\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ v,w\right\} \right)
\end{eqnarray*}であり、これは原点を通過し方向ベクトルが\(v,w\)であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の平面です。\(f\)の核は、\begin{equation*}\ker f=\left\{ \left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}であり、これは原点です。さらに、\begin{eqnarray*}
\dim \mathbb{R} ^{2} &=&2 \\
\dim \mathrm{Im}f &=&2 \\
\dim \ker f &=&0
\end{eqnarray*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{3}=\dim \mathrm{Im}f+\ker f
\end{equation*}が確かに成立しています。
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を斉次連立1次方程式と呼びます。\(\left( 1\right) \)の係数行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を踏まえた上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&Ax \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定める線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f\)の像は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}f &=&\mathrm{col}\left( A\right) \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\mathrm{col}\left( A,2\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}ですが、これは斉次連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数行列の列の線型結合からなる集合です。\(f\)の核は、\begin{equation*}\ker f=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ Ax=0\right\}
\end{equation*}ですが、これは斉次連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の解集合です。先の命題より、\begin{equation*}\dim \mathbb{R} ^{n}=\dim \mathrm{Im}f+\dim \ker f
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
n=\dim \mathrm{Im}f+\dim \ker f
\end{equation*}が成り立ちます。
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