実ベクトル空間の部分空間の基底と次元

実ベクトル空間の部分空間を張るベクトル集合

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:a\boldsymbol{x}\in X
\end{eqnarray*}をすべて満たすということです。部分空間\(X\)の要素である有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in X
\end{equation*}が与えられたとき、これらのベクトルの線型結合とは、何らかのスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in X
\end{equation*}という形で表されるベクトルです。\(\left( b\right),\left( c\right) \)より、部分空間\(X\)上のベクトルの線型結合は必ず\(X\)の要素になることに注意してください。

部分空間上のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in X\)の線型結合\(a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\)がどのようなベクトルになるかはスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)の選び方に依存します。したがって、ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型結合をすべて集めることにより得られる集合は、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) =\left\{ a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in X\ |\ a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となります。これをベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の線型スパンと呼びます。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \subset X
\end{equation*}が成り立ちます。

部分空間上のベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)が与えられたとき、それを部分空間上のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in X\)の何らかの線型結合として表現できるならば、すなわち、\begin{equation*}\exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)はベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)上で線型従属であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。

部分空間上のベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)が与えられたとき、それを部分空間上のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in X\)のいかなる線型結合としても表現できないならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}\not=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)はベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)上で線型独立であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots
,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。

部分空間上に存在する複数かつ有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset X
\end{equation*}が与えられたとき、この中の少なくとも1つのベクトルが他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表される場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \exists a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}_{i}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{i-1}\boldsymbol{x}_{i-1}+a_{i+1}\boldsymbol{x}_{i+1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は線型従属であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\boldsymbol{x}_{i}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{i-1},\boldsymbol{x}_{i+1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}に対して、以下の条件\begin{equation*}
\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}\not=0
\end{equation*}を満たす解\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)が存在することは、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型従属であるための必要十分条件です。なお、ゼロベクトルだけからなる集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \subset X
\end{equation*}は線型従属であるものとみなします。

部分空間上に存在する複数かつ有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset X
\end{equation*}が与えられたとき、この中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できない場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \forall a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}_{i}\not=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{i-1}\boldsymbol{x}_{i-1}+a_{i+1}\boldsymbol{x}_{i+1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は線型独立であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\boldsymbol{x}_{i}\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{i-1},\boldsymbol{x}_{i+1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}の解が、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}=0
\end{equation*}を満たす\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)だけであることは、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型独立であるための必要十分条件です。なお、非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)だけからなる集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}\right\} \subset X
\end{equation*}は線型独立であるものとみなします。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(X\)が与えられたとき、それに対して部分空間上のベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset X\)が存在して、\(X\)の要素であるすべてのベクトルが\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)上で線型従属であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{
\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
X\subset \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は集合\(X\)を張ると言います。ただし、以下の関係\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \subset X
\end{equation*}は常に成り立つため、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が\(X\)を張ることと、\begin{equation*}X=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。

部分空間を張るベクトル集合は一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。

部分空間を張るベクトル集合は線型独立であるものに限定されません。以下は線型従属なベクトル集合の例です。

部分空間の基底

先に例を通じて確認したように、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(X\)を張るベクトル集合の中には線型独立であるものと、線型従属であるものの双方のパターンが存在することが明らかになりました。そこで、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset X\)が\(X\)を張るとともに線型独立である場合、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)を\(X\)の基底（basis）と呼びます。\(X\)の基底\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の要素である個々のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)を\(X\)の基底ベクトル（basis vector）と呼びます。

改めて整理すると、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset X\)が部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)の基底であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots
,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。条件\(\left( a\right) \)は、基底\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が\(X\)を張ること、すなわち、\(X\)上に存在するベクトルはいずれも\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型結合としてそれぞれ表現できることを意味し、条件\(\left( b\right) \)は、基底\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できないことを意味します。

部分空間\(X\)を張るベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset X\)が線型従属である場合には、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は\(X\)の基底ではないことに注意してください。

部分空間の基底に含まれる要素の個数

先に例を通じて確認したように、部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)を張る線型独立なベクトル集合、すなわち\(X\)の基底は無数に存在します。では、\(X\)の基底どうしを比べたとき、要素の個数が最も少ない基底には何個のベクトルが含まれているのでしょうか。

実は、同一の部分空間\(X\)を対象とした場合、\(X\)の基底はいずれも同じ個数のベクトルを要素として持ちます。

以上の命題は、\(\mathbb{R} ^{n}\)のすべての部分空間が同じ数の基底ベクトルを持つという主張ではないことに注意してください。\(\mathbb{R} ^{n}\)の特定の部分空間\(X\)に注目した場合、\(X\)の基底は一意的に定まるとは限りませんが、\(X\)の基底はいずれも同数のベクトルを要素として持つことを上の命題は主張しています。

特定の部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)に注目した場合、その基底はいずれも同数のベクトルを要素として持つことが明らかになりました。つまり、部分空間\(X\)の基底に\(m\)個のベクトルが含まれている場合、線型独立なベクトルだけを使って\(X\)上のすべてのベクトルを表現するためには\(m\)個ちょうどのベクトルが必要です。言い換えると、\(m\)個よりも少ないベクトルしか与えられておらず、なおかつそれらが線型独立である場合、それらのベクトルをいかなる形で線型結合しても、\(X\)上のすべてのベクトルを表現し尽くすことはできません。

部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)の基底に含まれる要素の個数が\(m\)であり、なおかつ\(X\)を張るベクトル集合が\(m\)個よりも多い要素を持つ場合、そのベクトル集合は線型従属であることが確定します。なぜなら、そのベクトル集合が線型独立であるものと仮定すると、要素の個数が\(m\)よりも大きい\(X\)の基底が存在することとなり、それは先の命題と矛盾するからです。

特定の部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)に注目した場合、その基底はいずれも同数のベクトルを要素として持つことが明らかになりました。部分空間\(X\)の基底に含まれる要素の個数が\(m\)である状況において、逆に、\(X\)から線型独立な\(m\)個のベクトルを任意に選ぶと、それらの集合は\(X\)の基底になることが保証されます。

部分空間の次元

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(X\)を張るために必要なベクトルの個数の最小値を\(X\)の次元（dimension）と呼び、それを、\begin{equation*}\dim X
\end{equation*}で表記します。

先に明らかにしたように、特定の部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)に注目した場合、その基底はいずれも同数のベクトルを要素として持つため、その個数が\(m\)である場合、\(X\)を張るために必要な「線型独立」なベクトルの個数の最小値は\(m\)です。では、線型従属なベクトルを考察対象に含めた場合にはどうなるでしょうか。つまり、先の部分空間\(X\)を張る線型従属なベクトル集合の中には、要素の個数が\(m\)よりも少ないものが存在するのでしょうか。存在しません。

繰り返しになりますが、部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)の基底が\(m\)個のベクトルを要素として持つ場合、\(X\)を張るために必要な「線型独立」なベクトルの個数の最小値は\(m\)です。さらに、上の命題より、先の\(X\)を張るために必要な「線型従属」なベクトルの個数の最小値は\(m\)を上回ります。したがって、先の\(X\)を張るために必要なベクトルの個数の最小値、すなわち\(X\)の次元は\(m\)であることが明らかになりました。

部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)の次元が\(m\)であることは、\(X\)を張るために必要なベクトルの個数の最小値が\(m\)であることを意味します。つまり、\(m\)個のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)を適切に選べば、\(X\)上の任意のベクトルはいずれも\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型結合として表現可能です。

加えて、それらのベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)は線型独立であることが確定しています。つまり、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は\(X\)の基底であるということです。なぜなら、線型従属なベクトルによって\(X\)を張ろうとすると、必要なベクトルの個数は必ず\(m\)個を超えてしまうからです。加えて、\(X\)の基底はいずれも\(m\)個の要素を持つため、\(X\)の次元\(m\)は\(X\)の基底に含まれるベクトルの個数でもあります。

部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)の次元が\(m\)であるとき、\(m\)個の線型独立なベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)を任意に選んだ上でベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)を構成すると、これは\(X\)の基底になることが確定ます。\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)とは異なるベクトル\(v\)を任意に選んでベクトル集合\(\left\{ v,\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)を構成すると、これは線型従属になってしまいます。したがって、\(X\)の次元\(m\)は\(X\)において選ぶことができる線型独立なベクトルの個数の最大値でもあります。

実ベクトル空間の次元と部分空間の次元の関係

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(X\)を任意に選んだとき、\(X\)の次元は\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元である\(n\)を超えることはありません。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(X\)の次元が\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元である\(n\)と一致することと、\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)と一致することは必要十分です。

部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)の次元が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元である\(n\)と一致することと、\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)そのものであることは必要十分です。

演習問題