教材一覧
教材一覧
教材検索

ベクトル

直線の方程式

目次

Twitterで共有
メールで共有

直線のベクトル方程式

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において直線を表現するためには、2つの異なる点を指定すれば十分です。なぜなら、2つの異なる点が与えられれば、それらを通る直線は1つに定まるからです。そこで、問題としている直線上にある2つの異なる点\(P,X\)をとります。原点を\(O\)とするとき、\begin{equation}\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PX} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成立することに注意してください(下図)。

図:直線
図:直線

直線上の点\(P\)を任意に選んだ上で固定します。点\(P\)の位置ベクトルを\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)とします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OP}\)の終点の座標が\(p\)であり、\begin{equation}\overrightarrow{OP}=p \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つということです。さらに、直線上にある点\(P\)とは異なる点\(X\)を任意に選びます。点\(X\)の位置ベクトルを\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)とします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点の座標が\(x\)であり、\begin{equation}\overrightarrow{OX}=x \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立つということです。ベクトル\(\overrightarrow{PX}\)は直線上にある2つの異なる点を結ぶベクトルであるため、直線と平行な非ゼロベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んで固定したとき、何らかのスカラー\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}\overrightarrow{PX}=tv \quad \cdots (4)
\end{equation}と表すことができます。\(\left( 1\right) \)および\(\left( 2\right),\left( 3\right) ,\left( 4\right) \)を踏まえると、直線上にある点\(P\)の座標\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と、直線に平行な非ゼロベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ固定したとき、直線上にあるそれぞれの点\(X\)の座標\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は、何らかのスカラー\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}という形で表すことができます。これを直線のベクトル方程式(vector equation of a line)と呼びます。\(v\)を直線の方向ベクトル(direction vector of a line)と呼び、\(t\)を媒介変数(parameter)やパラメータ(parameter)などと呼びます。

以上を踏まえると、直線上にある点の座標\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と方向ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、直線上のすべての点の座標からなる集合は、\begin{equation*}L\left( p,v\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\}
\end{equation*}と定まるため、これを直線(line)と呼びます。

例(直線の方程式)
2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における直線の方程式は、点\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left(v_{1},v_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)から、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( p_{1},p_{2}\right) +t\left(
v_{1},v_{2}\right)
\end{equation*}と定義されるため、直線は、\begin{equation*}
L\left( p,v\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( p_{1},p_{2}\right) +t\left(
v_{1},v_{2}\right) \right\}
\end{equation*}となります。

例(直線の方程式)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における直線の方程式は、点\(\left( p_{1},p_{2},p_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)と方向ベクトル\(\left(v_{1},v_{2},v_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\} \)から、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( p_{1},p_{2},p_{3}\right) +t\left(
v_{1},v_{2},v_{3}\right)
\end{equation*}と定義されるため、直線は、\begin{equation*}
L\left( p,v\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( p_{1},p_{2},p_{3}\right) +t\left(
v_{1},v_{2},v_{3}\right) \right\}
\end{equation*}となります。

例(直線の方程式)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)において、ある直線上にある点\(P\)の座標\begin{equation*}p=\left( 1,2,0\right)
\end{equation*}と、その直線の方向ベクトル\begin{equation*}
v=\left( 1,-3,2\right)
\end{equation*}が与えられたとき、この直線の方程式は、\begin{equation*}
x=p+tv
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( 1,2,0\right) +t\left( 1,-3,2\right)
\end{equation*}となります。したがって、この直線は、\begin{eqnarray*}
L\left( p,v\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x=p+tv\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( 1,2,0\right) +t\left(
1,-3,2\right) \right\}
\end{eqnarray*}と表されます。

例(2点を通過する直線の方程式)
直線上にある異なる2つの点の座標\(p,q\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(p-q\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)は直線の方向ベクトルであるため、直線の方程式は、\begin{eqnarray*}x &=&q+t\left( p-q\right) \\
&=&q+tp-tq \\
&=&tp+\left( 1-t\right) q
\end{eqnarray*}となります。

直線上にある点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と直線の方向ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、直線の方程式は、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}で与えられることが明らかになりました。媒介変数の値\(t\in \mathbb{R} \)を指定すれば、それに対応する直線上の点の座標\(x\)が上の方程式から得られます。さて、この方程式を成分ごとに分解して表現すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=p_{1}+tv_{1} \\
\vdots \\
x_{n}=p_{n}+tv_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}を得ます。これを直線の媒介変数表示(parametric equations of a line)と呼びます。

特に、方向ベクトル\(v\)のすべての成分が非ゼロである場合には、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
t=\frac{x_{1}-p_{1}}{v_{1}} \\
\vdots \\
t=\frac{x_{n}-p_{n}}{v_{n}}\end{array}\right.
\end{equation*}と変形できるため、この\(n\)個の方程式から媒介変数\(t\)を消去することにより、\begin{equation*}\frac{x_{1}-p_{1}}{v_{1}}=\cdots =\frac{x_{n}-p_{n}}{v_{n}}
\end{equation*}を得ます。これを直線の対称式(symmetric equations of a line)と呼びます。対称式を利用すれば、媒介変数を使わずに直線を表現できます。

例(直線の媒介変数表示)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における直線の方程式が、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( 1,2,0\right) +t\left( 1,-3,2\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この直線の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=1+t \\
x_{2}=2-3t \\
x_{3}=2t\end{array}\right.
\end{equation*}です。このとき、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
t=x_{1}-1 \\
t=\frac{2-x_{2}}{3} \\
t=\frac{x_{3}}{2}\end{array}\right.
\end{equation*}を得るため、直線の対称式は、\begin{equation*}
x_{1}-1=\frac{2-x_{2}}{3}=\frac{x_{3}}{2}
\end{equation*}となります。

方向ベクトル\(v\)の成分の中にゼロが存在する場合にも、そうではない成分に関しては媒介変数を消去できます。

例(直線の媒介変数表示)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における直線の方程式が、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( 3,-1,5\right) +t\left( 2,0,-4\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この直線の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=3+2t \\
x_{2}=-1 \\
x_{3}=5-4t\end{array}\right.
\end{equation*}です。このとき、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
t=\frac{x_{1}-3}{2} \\
x_{2}=-1 \\
t=\frac{5-x_{3}}{4}\end{array}\right.
\end{equation*}を得るため、直線の対称式は、\begin{equation*}
\frac{x_{1}-3}{2}=\frac{5-x_{3}}{4}\wedge x_{2}=-1
\end{equation*}となります。

 

直線の方程式の法線標準形

直線上の点\(P\)を任意に選んだ上で固定します。点\(P\)の位置ベクトルを\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)とします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OP}\)の終点の座標が\(p\)であり、\begin{equation}\overrightarrow{OP}=p \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。さらに、直線上にある点\(P\)とは異なる点\(X\)を任意に選びます。点\(X\)の位置ベクトルを\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)とします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点の座標が\(x\)であり、\begin{equation}\overrightarrow{OX}=x \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つということです。ベクトル\(\overrightarrow{PX}\)は直線上にある2つの異なる点を結ぶベクトルですが、\begin{eqnarray*}\overrightarrow{PX} &=&\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OP} \\
&=&x-p\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\overrightarrow{PX}=x-p \quad \cdots (3)
\end{equation}という関係が成立します(下図)。

図:直線
図:直線

直線と垂直な非ゼロベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んで固定します。ベクトル\(\overrightarrow{PX}\)は直線上にある2つの異なる点を結ぶベクトルであるため、\(\overrightarrow{PX}\)と\(n\)もまた垂直であり、したがって\(\left( 3\right) \)を踏まえると、\begin{equation*}\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}を得ます。結論をまとめると、直線上にある点\(P\)の座標\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と、直線に垂直な非ゼロベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ固定したとき、直線上にある任意の点\(X\)の座標\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は以下の関係\begin{equation*}\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}を満たします。これを直線の方程式の法線標準形(normal form of the equation of a line)と呼びます。\(n\)を直線の法線ベクトル(normal vector of a line)と呼びます。

以上を踏まえると、直線上にある点の座標\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と法線ベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、直線上のすべての点の座標からなる集合は、\begin{equation*}L\left( p,n\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left( x-p\right) \cdot n=0\right\}
\end{equation*}と定まるため、これを直線(line)と呼びます。

例(直線の方程式の法線標準形)
2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における直線の方程式の法線標準形は、点\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と法線ベクトル\(\left(n_{1},n_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)から、\begin{equation*}\left( x_{1}-p_{1},x_{2}-p_{2}\right) \cdot \left( n_{1},n_{2}\right) =0
\end{equation*}と定義されるため、直線は、\begin{equation*}
L\left( p,n\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-p_{1},x_{2}-p_{2}\right) \cdot \left(
n_{1},n_{2}\right) =0\right\}
\end{equation*}となります。

例(直線の方程式の法線標準形)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における直線の方程式の法線標準形は、点\(\left( p_{1},p_{2},p_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)と法線ベクトル\(\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\} \)から、\begin{equation*}\left( x_{1}-p_{1},x_{2}-p_{2},x_{3}-p_{2}\right) \cdot \left(
n_{1},n_{2},n_{3}\right) =0
\end{equation*}と定義されるため、直線は、\begin{equation*}
L\left( p,n\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x_{1}-p_{1},x_{2}-p_{2},x_{3}-p_{2}\right) \cdot \left(
n_{1},n_{2},n_{3}\right) =0\right\}
\end{equation*}となります。

例(直線の方程式の法線標準形)
2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)において、ある直線上にある点\(P\)の座標\begin{equation*}p=\left( 2,1\right)
\end{equation*}と、その直線の法線ベクトル\begin{equation*}
n=\left( 4,3\right)
\end{equation*}が与えられたとき、この直線の方程式の法線標準形は、\begin{equation*}
\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left[ \left( x_{1},x_{2}\right) -\left( 2,1\right) \right] \cdot \left(
4,3\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
4\left( x_{1}-2\right) +3\left( x_{2}-1\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
4x_{1}+3x_{2}-11=0
\end{equation*}となります。したがって、この直線は、\begin{eqnarray*}
L\left( p,n\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-p\right) \cdot n=0\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 4x_{1}+3x_{2}-11=0\right\}
\end{eqnarray*}と表されます。

直線上にある点\(P\)の座標\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と法線ベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、直線の方程式は、\begin{equation*}\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}として与えられることが明らかになりました。これを展開した上で整理すると、\begin{equation*}
n_{1}x_{1}+\cdots +n_{n}x_{n}+\left( -p_{1}n_{1}-\cdots -p_{n}n_{n}\right) =0
\end{equation*}を得ます。そこで、\begin{eqnarray*}
a_{1} &=&n_{1} \\
&&\vdots \\
a_{n} &=&n_{n} \\
b &=&-p_{1}n_{1}-\cdots -p_{n}n_{n}
\end{eqnarray*}とそれぞれおけば、直線の方程式を、\begin{equation*}
a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0
\end{equation*}と表すことができます。ただし、\(\left( a_{1},\cdots,a_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(b\in \mathbb{R} \)です。

例(直線の方程式)
2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における直線の方程式は、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0
\end{equation*}となります。ただし、\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)かつ\(b\in \mathbb{R} \)です。
例(直線の方程式)
2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における直線の方程式は、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0
\end{equation*}となります。ただし、\(\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)かつ\(b\in \mathbb{R} \)です。

 

演習問題

問題(直線の方程式)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の以下の2つの点\begin{eqnarray*}p &=&\left( -1,5,0\right) \\
q &=&\left( 2,1,1\right)
\end{eqnarray*}を通過する直線の方程式を特定してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(直線の方程式の法線標準形)
2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)において、ある直線上にある点\(P\)の座標\begin{equation*}p=\left( -2,1\right)
\end{equation*}と、その直線の法線ベクトル\begin{equation*}
n=\left( 0,-3\right)
\end{equation*}が与えられたとき、この直線の方程式の法線標準形を求めてください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(直線の媒介変数表示)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の以下の2つの点\begin{eqnarray*}p &=&\left( 3,4,5\right) \\
q &=&\left( -1,2,-1\right)
\end{eqnarray*}を通過する直線を媒介変数表示するとともに、直線が\(xz\)平面と交わる点を特定してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

Twitterで共有
メールで共有