直線の定義とその表現

直線のベクトル方程式

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において直線を表現するためには、空間上にある2つの異なる点を指定すれば十分です。なぜなら、2つの異なる点が与えられれば、それらを通る直線は1つに定まるからです。そこで、問題としている直線上に存在する2つの異なる点\(P,X\)をとります。原点を\(O\)とするとき、\begin{equation}\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PX} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成立することに注意してください（下図）。

直線上の点\(P\)を任意に選んだ上で固定します。その位置ベクトルを、\begin{equation}\overrightarrow{OP}=p\in \mathbb{R} ^{n} \quad \cdots (2)
\end{equation}で表記します。さらに、直線上にある点\(P\)とは異なる点\(X\)を任意に選び、その位置ベクトルを、\begin{equation}\overrightarrow{OX}=x\in \mathbb{R} ^{n} \quad \cdots (3)
\end{equation}で表記します。ベクトル\(\overrightarrow{PX}\)は直線上にある2つの異なる点を結ぶベクトルであるため、直線と平行な非ゼロベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んで固定したとき、何らかのスカラー\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}\overrightarrow{PX}=tv \quad \cdots (4)
\end{equation}と表すことができます。\(\left( 1\right) \)および\(\left( 2\right),\left( 3\right) ,\left( 4\right) \)を踏まえると、直線上にある点\(P\)の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と、直線と平行な非ゼロベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ固定したとき、直線上にあるそれぞれの点\(X\)の位置ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は、何らかのスカラー\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}という形で表すことができます。これを直線のベクトル方程式（vector equation of a line）と呼びます。\(v\)を直線の方向ベクトル（direction vector of a line）と呼び、\(t\)を媒介変数（parameter）やパラメータ（parameter）などと呼びます。

改めて整理すると、直線上にある点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と直線の方向ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、直線のベクトル方程式は、媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}と表現されるため、直線上のすべての点の位置ベクトルからなる集合は、\begin{equation*}
L\left( p,v\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\}
\end{equation*}と定まります。これを直線（line）の定義とします。

直線の定義を踏まえると、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の関係\begin{equation*}x\in L\left( p,v\right) \Leftrightarrow \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、点\(x\)が直線\(L\left(p,v\right) \)上の点であることとベクトル方程式\(x=p+tv\)の解\(t\)が存在することは必要十分です。逆に、以下の関係\begin{equation*}x\not\in L\left( p,v\right) \Leftrightarrow \forall t\in \mathbb{R} :x\not=p+tv
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、点\(x\)が直線\(L\left( p,v\right) \)上の点ではないこととベクトル方程式\(x=p+tv\)の解\(t\)が存在しないことは必要十分です。

2点を通過する直線のベクトル方程式

直線上に存在する1点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と直線の方向ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられるかわりに、直線上に存在する異なる2点の位置ベクトル\(p,q\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられた場合には、直線の方向ベクトルを、\begin{equation*}p-q\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}と特定できるため、この場合の直線のベクトル方程式は、媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+t\left( p-q\right)
\end{equation*}と表現されます。\(p\)と\(q \)は異なる2点の位置ベクトルであるため、方向ベクトル\(p-q\)は非ゼロベクトルになることに注意してください。

改めて整理すると、直線上に存在する異なる2つの点の位置ベクトル\(p,q\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられれば、直線のベクトル方程式は、媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+t\left( p-q\right)
\end{equation*}と表現されるため、直線は、\begin{equation*}
L\left( p-q,v\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+t\left( p-q\right) \right\}
\end{equation*}と定まります。

直線の媒介変数表示と対称式

直線上に存在する点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と直線の方向ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、直線のベクトル方程式は、媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}と表現されます。このベクトル方程式を成分ごとに分解して表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=p_{1}+tv_{1} \\
\vdots \\
x_{n}=p_{n}+tv_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}を得ます。これを直線の媒介変数表示（parametric equations of a line）と呼びます。

特に、方向ベクトル\(v\)のすべての成分が非ゼロである場合には、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
t=\dfrac{x_{1}-p_{1}}{v_{1}} \\
\vdots \\
t=\dfrac{x_{n}-p_{n}}{v_{n}}\end{array}\right.
\end{equation*}と変形できるため、この\(n\)個の方程式から媒介変数\(t\)を消去することにより、\begin{equation*}\frac{x_{1}-p_{1}}{v_{1}}=\cdots =\frac{x_{n}-p_{n}}{v_{n}}
\end{equation*}を得ます。これを直線の対称式（symmetric equations of a line）と呼びます。対称式を利用すれば、媒介変数\(t\)を使わずに直線を表現できます。

逆に、直線の対称式\begin{equation*}
\frac{x_{1}-p_{1}}{v_{1}}=\cdots =\frac{x_{n}-p_{n}}{v_{n}}
\end{equation*}が与えられれば、直線上に存在する点の位置ベクトルを、\begin{equation*}
p=\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
\vdots \\
p_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}として、直線の方向ベクトルを、\begin{equation*}
v=\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}としてそれぞれ特定できます。

方向ベクトル\(v\)の成分の中にゼロが存在する場合においても、直線の媒介変数表示を構成する特定の方程式から媒介変数を消去することはできます。例えば、直線の方向ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が、\begin{eqnarray*}v_{1} &=&0 \\
v_{2} &\not=&0 \\
&&\vdots \\
v_{n} &\not=&0
\end{eqnarray*}を満たす場合、直線の媒介変数表示を、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=p_{1} \\
t=\dfrac{x_{2}-p_{1}}{v_{2}} \\
\vdots \\
t=\dfrac{x_{n}-p_{n}}{v_{n}}\end{array}\right.
\end{equation*}と変形できるため、消去できる範囲で媒介変数\(t\)を消去することにより、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=p_{1} \\
\dfrac{x_{2}-p_{1}}{v_{2}}=\cdots =\dfrac{x_{n}-p_{n}}{v_{n}}\end{array}\right.
\end{equation*}を得ます。この場合、直線は平面\(x_{1}=p_{1}\)上に存在します。他の場合についても同様に考えます。

平面上に存在する直線の方程式の法線標準形

これまでは一般の空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線について考えてきましたが、ここでは平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線に話の対象を限定します。

直線上の点\(P\)を任意に選んだ上で固定します。点\(P\)の位置ベクトルを、\begin{equation}\overrightarrow{OP}=p\in \mathbb{R} ^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}で表記します。さらに、直線上にある点\(P\)とは異なる点\(X\)を任意に選びます。点\(X\)の位置ベクトルを、\begin{equation}\overrightarrow{OX}=x\in \mathbb{R} ^{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}で表記します。ベクトル\(\overrightarrow{PX}\)は直線上に存在する2つの異なる点を結ぶベクトルですが、\begin{eqnarray*}\overrightarrow{PX} &=&\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OP} \\
&=&x-p\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\overrightarrow{PX}=x-p \quad \cdots (3)
\end{equation}という関係が成立します（下図）。

直線と垂直な非ゼロベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んで固定します。ベクトル\(\overrightarrow{PX}\)は直線上に存在する2つの異なる点を結ぶベクトルであるため、\(\overrightarrow{PX}\)と\(n\)もまた垂直であり、したがって\(\left( 3\right) \)を踏まえると、\begin{equation*}\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}を得ます。以上の議論は任意の点\(X\)について成立します。つまり、直線上に存在する1点\(P\)の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{2}\)と直線と垂直な非ゼロベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んで固定したとき、直線上に存在する任意の点\(X\)の位置ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{2}\)は以下の関係\begin{equation*}\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}を満たします。これを直線の方程式の法線標準形（normal form of the equation of a line）と呼びます。\(n\)を直線の法線ベクトル（normal vector of a line）と呼びます。

改めて整理すると、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)を舞台とした場合、直線上の点の位置ベクトル\begin{equation*}p=\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}と直線の法線ベクトル\begin{equation*}
n=\left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が与えられれば、直線の方程式の法線標準形は、\begin{equation*}
\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2}\end{array}\right) =0
\end{equation*}と表現されるため、直線上に存在するすべての点の位置ベクトルからなる集合は、\begin{eqnarray*}
L\left( p,n\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-p\right) \cdot n=0\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2}\end{array}\right) =0\right\}
\end{eqnarray*}と定まります。これを直線（line）の定義として採用することもできます。

直線の定義を踏まえると、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{2}\)について、以下の関係\begin{equation*}x\in L\left( p,n\right) \Leftrightarrow \left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、点\(x\)が直線\(L\left(p,n\right) \)の点であることと、\(x\)が方程式\(\left( x-p\right) \cdot n=0\)の解であることは必要十分です。逆に、以下の関係\begin{equation*}x\not\in L\left( p,n\right) \Leftrightarrow \left( x-p\right) \cdot n\not=0
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、点\(x\)が直線\(L\left( p,n\right) \)の点ではないことと、\(x\)が方程式\(\left(x-p\right) \cdot n=0\)の解ではないことは必要十分です。

以上の議論は平面\(\mathbb{R} ^{2}\)においてのみ成立することに注意してください。一般に、1つの直線を指定するためには、直線上の点の位置ベクトルと直線の方向ベクトルを指定する必要があります。平面\(\mathbb{R} ^{2}\)においても同様です。ただ、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上では1つの方向軸を指定すると、それと垂直な方向軸が1つだけ定まるため、直線の方向ベクトル\(v\)を指定することと直線の法線ベクトル\(n\)を指定することは実質的に同じ意味を持ちます。したがって、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)においては、直線上の点の位置ベクトルと直線の方向ベクトルを指定することによっても、直線を一意的に指定することができます。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)では事情が変わります。繰り返しになりますが、1つの直線を指定するためには、直線上の点の位置ベクトルと直線の方向ベクトルを指定する必要があります。空間\(\mathbb{R} ^{3}\)においても同様です。平面\(\mathbb{R} ^{2}\)とは異なり、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上では1つの方向軸を指定すると、それと垂直な方向軸が無数に存在するため、直線の方向ベクトル\(v\)に対して、それと垂直なベクトル、すなわち法線ベクトルは無数に存在し、さらに、それらの法線ベクトルは互いに平行ではありません。したがって、直線の法線ベクトルが与えられても、そこから直線の方向ベクトルを特定できません。空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する直線の方向を指定する上で、法線ベクトルだけでは情報として不十分であるということです。空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する直線を指定するためには、やはり、直線上の点の位置ベクトルと直線の方向ベクトルを指定する必要があります。一般の空間\(\mathbb{R} ^{n}\ \left( n\geq 3\right) \)についても同様です。

平面上に存在する直線の方程式

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線に関しては、その直線上の点\(P\)の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{2}\)と直線の法線ベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、直線の方程式の法線標準形が、\begin{equation*}\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2}\end{array}\right) =0
\end{equation*}として定まることが明らかになりました。内積の定義を踏まえた上でこれを変形すると、\begin{equation*}
\left( x_{1}-p_{1}\right) n_{1}+\left( x_{1}-p_{2}\right) n_{2}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\left( -p_{1}n_{1}-p_{2}n_{2}\right) =0
\end{equation*}を得ます。そこで、新たに実数\(a_{1},a_{2},b\in \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
a_{1}=n_{1} \\
a_{2}=n_{2} \\
b=-p_{1}n_{1}-p_{2}n_{2}\end{array}\right.
\end{equation*}と定義すれば、直線の方程式の法線標準形を、\begin{equation*}
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0
\end{equation*}と表現できます。これを直線の方程式（equation of a line）と呼びます。ただし、定義より、この方程式の係数は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} ,\quad b\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たす必要があります。

逆に、直線の方程式\begin{equation*}
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0
\end{equation*}が与えられれば、直線の法線ベクトルを、\begin{equation*}
n=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}と特定できます。

直線の定義

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線を表現する際には、ベクトル方程式や媒介変数表示、対称式、法線標準形、方程式など様々な手段を用いることができることが明らかになりました。ただ、そこでの議論は、直線という概念に対して私たちが抱いている常識を前提としています。つまり、「直線とはまっすぐ無限に伸びる線」であるという常識を踏まえたとき、直線をどのような形で定式化できるか方向性で議論を行ってきました。議論の結果を踏まえつつ、以下では逆の方向から議論を行います。つまり、直線と呼ばれる概念が満たすべき性質を指定することを通じて直線の概念を定義するということです。

直線上に存在する点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と直線の方向ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、その直線はベクトル方程式\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}として表現されます。ただし、\(t\in \mathbb{R} \)は媒介変数です。この場合、直線そのものを以下のような\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\begin{equation*}L=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\}
\end{equation*}として定義できます。点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x\in L\Leftrightarrow \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv
\end{equation*}という関係が成り立つことに注意してください。つまり、点\(x\)が直線\(L\)上に存在することと、その点\(x\)に対してベクトル方程式\(x=p+tv\)が解\(t\)を持つことは必要十分です。

以上を踏まえた上で、逆に、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(L\)が与えられたとき、それに対して何らかのベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)および\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が存在して、\begin{equation*}L=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\}
\end{equation*}という形で表すことができる場合、この集合\(L\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の直線（line）と呼ぶものと定めます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(L\)が直線であることは、\begin{equation*}\exists p\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( x\in L\Leftrightarrow \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されるということです。その上で、以上の条件を満たす\(p\)を直線\(L\)の位置ベクトル（position vector）と呼び、\(v\)を直線\(L\)の方向ベクトル（direction vector）と呼びます。方向ベクトルは非ゼロベクトルであることに注意してください。直線\(L\)の位置ベクトルが\(p\)であり方向ベクトルが\(v\)であることを明示したい場合には、そのことを、\begin{equation*}L\left( p,v\right)
\end{equation*}と表記するものと定めます。

演習問題