平面どうしの位置関係

2つの平面の位置関係

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面を表現するためには、その平面上に存在する点の位置ベクトルと平面の方向ベクトルを指定すれば十分です。具体的には、問題としている平面上に存在する点\(P\)の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と線型独立な方向ベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、その平面のベクトル方程式は、媒介変数\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+sv+tw
\end{equation*}と表現されるため、平面上のすべての点の位置ベクトルからなる集合、すなわち平面は、\begin{equation*}
P\left( p,v,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\}
\end{equation*}と表現されます。以上がベクトル方程式を用いた平面の定義です。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2つの平面が、\begin{eqnarray*}P\left( p,v,w\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\} \\
P\left( p^{\prime },v^{\prime },w^{\prime }\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s^{\prime },t^{\prime }\in \mathbb{R} :x=p^{\prime }+s^{\prime }v^{\prime }+t^{\prime }w^{\prime }\right\}
\end{eqnarray*}とそれぞれ与えられているものとします。ただし、\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}\)は平面上に存在する点の位置ベクトル、\(v,w,v^{\prime },w^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)はそれぞれの平面の方向ベクトルであり、\(v,w\)は線型独立かつ\(v^{\prime },w^{\prime }\)は線型独立です。2つの平面の位置関係としてどのようなパターンが起こり得るのでしょうか。

1つ目の基準は「2つの平面が平行であるかどうか」です。すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}
\exists s_{1},t_{1} &\in &\mathbb{R} :v=s_{1}v^{\prime }+t_{1}w^{\prime } \\
\exists s_{2},t_{2} &\in &\mathbb{R} :w=s_{2}v^{\prime }+t_{2}w^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成立するならば、2つの平面は平行です。逆に、以下の条件\begin{eqnarray*}
\forall s_{1},t_{1} &\in &\mathbb{R} :v\not=s_{1}v^{\prime }+t_{1}w^{\prime } \\
\forall s_{2},t_{2} &\in &\mathbb{R} :w\not=s_{2}v^{\prime }+t_{2}w^{\prime }
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成立するならば、2つの平面は平行ではありません。

2つ目の基準は「2つの平面が交わるかどうか」です。すなわち、以下の条件\begin{equation*}
\exists s_{3},t_{3},s_{4},t_{4}\in \mathbb{R} :p+s_{3}v+t_{3}w=p^{\prime }+s_{4}v^{\prime }+t_{4}w^{\prime }
\end{equation*}が成り立つならば、2つの平面は交わります。逆に、以下の条件\begin{equation*}
\forall s_{3},t_{3},s_{4},t_{4}\in \mathbb{R} :p+s_{3}v+t_{3}w\not=p^{\prime }+s_{4}v^{\prime }+t_{4}w^{\prime }
\end{equation*}が成り立つならば、2つの平面は交わりません。

以上の2つの基準をもとに場合を分けると、論理的には、2つの平面の位置関係として以下の4つの状況が考えられます。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
方向\diagdown 交点 & 交わる & 交わらない \\ \hline平行である & 一致する平面 & 平行かつ異なる平面 \\ \hline
平行ではない & 交差する平面 & ねじれの位置にある平面 \\ \hline
\end{array}$$

以降ではそれぞれの場合について順番に解説します。

一致する2つの平面

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2つの平面が、\begin{eqnarray*}P\left( p,v,w\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\} \\
P\left( p^{\prime },v^{\prime },w^{\prime }\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s^{\prime },t^{\prime }\in \mathbb{R} :x=p^{\prime }+s^{\prime }v^{\prime }+t^{\prime }w^{\prime }\right\}
\end{eqnarray*}としてそれぞれ与えられているものとします。ただし、\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}\)かつ\(v,w,v^{\prime },w^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(v,w\)は線型独立かつ\(v^{\prime },w^{\prime }\)は線型独立です。

これらの平面が「平行である」とともに「交わる」場合について考えます。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \exists s_{1},t_{1}\in \mathbb{R} :v=s_{1}v^{\prime }+t_{1}w^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{2},t_{2}\in \mathbb{R} :w=s_{2}v^{\prime }+t_{2}w^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つとともに、\begin{equation*}
\left( c\right) \ \exists s_{3},t_{3},s_{4},t_{4}\in \mathbb{R} :p+s_{3}v+t_{3}w=p^{\prime }+s_{4}v^{\prime }+t_{4}w^{\prime }
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、これらの平面は一致する（coincident）と言います。

実際、以上の2つの条件が成り立つ場合には、2つの平面が集合として一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}
P\left( p,v,w\right) =P\left( p^{\prime },v^{\prime },w^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

平行かつ異なる2つの平面

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2つの平面が、\begin{eqnarray*}P\left( p,v,w\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\} \\
P\left( p^{\prime },v^{\prime },w^{\prime }\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s^{\prime },t^{\prime }\in \mathbb{R} :x=p^{\prime }+s^{\prime }v^{\prime }+t^{\prime }w^{\prime }\right\}
\end{eqnarray*}としてそれぞれ与えられているものとします。ただし、\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}\)かつ\(v,w,v^{\prime },w^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(v,w\)は線型独立かつ\(v^{\prime },w^{\prime }\)は線型独立です。

これらの平面が「平行である」とともに「交わらない」場合について考えます。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \exists s_{1},t_{1}\in \mathbb{R} :v=s_{1}v^{\prime }+t_{1}w^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{2},t_{2}\in \mathbb{R} :w=s_{2}v^{\prime }+t_{2}w^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つとともに、\begin{equation*}
\left( c\right) \ \forall s_{3},t_{3},s_{4},t_{4}\in \mathbb{R} :p+s_{3}v+t_{3}w\not=p^{\prime }+s_{4}v^{\prime }+t_{4}w^{\prime }
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、これらの平面は平行かつ異なる平面（distinct paralell planes）と言います。

2つの平面が平行である場合、それらの平面が一致するケースと、異なる平面であるケースの2通りの可能性があります。「平行」という用語を「平行かつ異なる」という意味で使われる場合もあるため、文脈から判断する必要があります。

交差する2つの平面

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2つの平面が、\begin{eqnarray*}P\left( p,v,w\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\} \\
P\left( p^{\prime },v^{\prime },w^{\prime }\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s^{\prime },t^{\prime }\in \mathbb{R} :x=p^{\prime }+s^{\prime }v^{\prime }+t^{\prime }w^{\prime }\right\}
\end{eqnarray*}としてそれぞれ与えられているものとします。ただし、\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}\)かつ\(v,w,v^{\prime },w^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(v,w\)は線型独立かつ\(v^{\prime },w^{\prime }\)は線型独立です。

これらの平面が「平行ではない」とともに「交わる」場合について考えます。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall s_{1},t_{1}\in \mathbb{R} :v\not=s_{1}v^{\prime }+t_{1}w^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \forall s_{2},t_{2}\in \mathbb{R} :w\not=s_{2}v^{\prime }+t_{2}w^{\prime }
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つとともに、\begin{equation*}
\left( c\right) \ \exists s_{3},t_{3},s_{4},t_{4}\in \mathbb{R} :p+s_{3}v+t_{3}w=p^{\prime }+s_{4}v^{\prime }+t_{4}w^{\prime }
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、これらの平面は交差する（intersect）と言います。

以前に明らかにしたように、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する2つの平面が交差する場合、それらの交点からなる集合は直線になります。

空間\(\mathbb{R} ^{4}\)上に存在する2つの平面が交差する場合、それらの交点からなる集合は直線になるとは限りません（演習問題）。

ねじれの位置にある2つの平面

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2つの平面が、\begin{eqnarray*}P\left( p,v,w\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\} \\
P\left( p^{\prime },v^{\prime },w^{\prime }\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s^{\prime },t^{\prime }\in \mathbb{R} :x=p^{\prime }+s^{\prime }v^{\prime }+t^{\prime }w^{\prime }\right\}
\end{eqnarray*}としてそれぞれ与えられているものとします。ただし、\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}\)かつ\(v,w,v^{\prime },w^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(v,w\)は線型独立かつ\(v^{\prime },w^{\prime }\)は線型独立です。

これらの平面が「平行ではない」とともに「交わらない」場合について考えます。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall s_{1},t_{1}\in \mathbb{R} :v\not=s_{1}v^{\prime }+t_{1}w^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \forall s_{2},t_{2}\in \mathbb{R} :w\not=s_{2}v^{\prime }+t_{2}w^{\prime }
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つとともに、\begin{equation*}
\left( c\right) \ \forall s_{3},t_{3},s_{4},t_{4}\in \mathbb{R} :p+s_{3}v+t_{3}w\not=p^{\prime }+s_{4}v^{\prime }+t_{4}w^{\prime }
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、これらの平面はねじれの位置にある（skew）と言います。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する2つの平面が平行ではない場合には、それらは必ず交わります。したがって、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面どうしがねじれの位置に関係にある事態は起こり得ません（演習問題）。

空間\(\mathbb{R} ^{4}\)上においては、2つの平面がねじれの位置の関係ある事態は起こり得ます（演習問題）。