線分の定義とその表現

直線のベクトル方程式が与えられている場合の線分

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線を表現する方法は様々ですが、まずはベクトル方程式を用いた定義を簡単に復習します。問題としている直線上に存在する点\(P\)の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と直線の方向ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、その直線のベクトル方程式は、媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}と表現されるため、直線上のすべての点の位置ベクトルからなる集合、すなわち直線は、\begin{equation*}
L\left( p,v\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\}
\end{equation*}と表現されます。以上がベクトル方程式を用いた直線の定義です。

\(t_{0}<t_{1}\)を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、直線のベクトル方程式\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}の媒介変数\(t\)がとり得る値の範囲を\(t_{0},t_{1}\)を端点とする有界閉区間\begin{equation*}\left[ t_{0},t_{1}\right] =\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ t_{0}\leq t\leq t_{1}\right\}
\end{equation*}に制限します。そのことを、\begin{equation*}
x=p+tv\quad \left( t_{0}\leq t\leq t_{1}\right)
\end{equation*}で表記し、これを線分のベクトル方程式（vector equation of a line segment）と呼びます。媒介変数\(t\)がとり得る値の範囲を\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)に制限した場合には直線\(L\left( p,v\right) \)の部分集合\begin{equation*}L\left( p,v,\left[ t_{0},t_{1}\right] \right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] :x=p+tv\right\}
\end{equation*}が得られますが、これを線分（line segment）と呼びます。

媒介変数の値が\(t=t_{0}\)である場合の点の位置ベクトルは、\begin{equation*}p+t_{0}v
\end{equation*}ですが、これを線分の始点（initial point）の位置ベクトルと呼びます。また、媒介変数の値が\(t=t_{1}\)である場合の点の位置ベクトルは、\begin{equation*}p+t_{1}v
\end{equation*}ですが、これを線分の終点（terminal point）の位置ベクトルと呼びます。媒介変数\(t\)の値が\(t_{0}\)から\(t_{1}\)まで変化するにともない、点は線分の始点を出発点として直線\(L\left( p,v\right) \)上を移動し、最終的に線分の終点へ到達します。

線分の定義を踏まえると、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の関係\begin{equation*}x\in L\left( p,v,\left[ t_{0},t_{1}\right] \right) \Leftrightarrow \exists
t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] :x=p+tv
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、点\(x\)が線分\(L\left( p,v,\left[ t_{0},t_{1}\right] \right) \)上の点であることとベクトル方程式\(x=p+tv\)の解が\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上に存在することは必要十分です。逆に、以下の関係\begin{equation*}x\not\in L\left( p,v,\left[ t_{0},t_{1}\right] \right) \Leftrightarrow
\forall t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] :x\not=p+tv
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、点\(x\)が線分\(L\left( p,v,\left[ t_{0},t_{1}\right] \right) \)上の点ではないこととベクトル方程式\(x=p+tv\)の解が\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上に存在しないことは必要十分です。

始点と終点が与えられた場合の線分のベクトル方程式

線分の始点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と終点の位置ベクトル\(q\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられた場合には、線分の方向ベクトルを、\begin{equation*}q-p\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}と特定できるため、この場合の線分のベクトル方程式は、\(0\)以上\(1\)以下の値をとり得る媒介変数\(t\in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}x=p+t\left( q-p\right) \quad \left( 0\leq t\leq 1\right)
\end{equation*}または、\begin{equation*}
x=\left( 1-t\right) p+tq\quad \left( 0\leq t\leq 1\right)
\end{equation*}と表現されます。始点と終点が異なる状況を想定しているため方向ベクトル\(q-p\)は非ゼロベクトルになることに注意してください。その上で、この場合の線分を、\begin{eqnarray*}L\left( p,q\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \left[ 0,1\right] :x=p+t\left( q-p\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \left[ 0,1\right] :x=\left( 1-t\right) p+tq\right\}
\end{eqnarray*}と表記するものと定めます。

線分のベクトル方程式を、\begin{equation*}
x=p+t\left( q-p\right) \quad \left( 0\leq t\leq 1\right)
\end{equation*}と定義した場合、線分の始点の方向ベクトル、すなわち\(t=0\)の場合の点の位置ベクトルは、\begin{equation*}p+0\left( q-p\right) =p
\end{equation*}を満たし、線分の終点の位置ベクトル、すなわち\(t=1\)の場合の点の位置ベクトルは、\begin{equation*}p+1\left( q-p\right) =q
\end{equation*}を満たすため、これは始点の位置ベクトルが\(p\)であり終点の位置ベクトルが\(q\)であるような線分のベクトル方程式になっています。

線分の定義を踏まえると、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の関係\begin{equation*}x\in L\left( p,q\right) \Leftrightarrow \exists t\in \left[ 0,1\right] :x=p+t\left( q-p\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、点\(x\)が線分\(L\left(p,q\right) \)上の点であることとベクトル方程式\(x=p+t\left(q-p\right) \)の解が\(\left[ 0,1\right] \)上に存在することは必要十分です。逆に、以下の関係\begin{equation*}x\not\in L\left( p,q\right) \Leftrightarrow \forall t\in \left[ 0,1\right] :x\not=p+t\left( q-p\right)
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、点\(x\)が線分\(L\left( p,q\right) \)上の点ではないこととベクトル方程式\(x=p+t\left( q-p\right) \)の解が\(\left[ 0,1\right] \)上に存在しないことは必要十分です。

線分の媒介変数表示

繰り返しになりますが、直線のベクトル方程式\begin{equation*}
x=p+tv
\end{equation*}と\(t_{0}<t_{1}\)を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)が与えられれば、線分のベクトル方程式は、媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+tv\quad \left( t_{0}\leq t\leq t_{1}\right)
\end{equation*}と表現されます。このベクトル方程式を成分ごとに分解して表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=p_{1}+tv_{1} \\
\vdots \\
x_{1}=p_{1}+tv_{1}\end{array}\right. \quad \left( t_{0}\leq t\leq t_{1}\right)
\end{equation*}を得ます。これを線分の媒介変数表示（parametric equations of a line segment）と呼びます。

線分の始点と終点の位置ベクトルが指定された場合、線分のベクトル方程式は、媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+t\left( q-p\right) \quad \left( 0\leq t\leq 1\right)
\end{equation*}または、\begin{equation*}
x=\left( 1-t\right) p+tq\quad \left( 0\leq t\leq 1\right)
\end{equation*}と表現されます。このベクトル方程式を成分ごとに分解して表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=p_{1}+t\left( q_{1}-p_{1}\right) \\
\vdots \\
x_{n}=p_{n}+t\left( q_{n}-p_{n}\right)
\end{array}\right. \quad \left( 0\leq t\leq 1\right)
\end{equation*}または、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=\left( 1-t\right) p_{1}+tq_{1} \\
\vdots \\
x_{n}=\left( 1-t\right) p_{n}+tq_{n}\end{array}\right. \quad \left( 0\leq t\leq 1\right)
\end{equation*}を得ますが、これらもまた線分の媒介変数表示です。

演習問題