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ベクトル

ベクトルのノルム(ベクトルの長さ)

目次

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ベクトルのノルム

ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}
\end{equation*}と定義される実数\(\left\Vert x\right\Vert \)を\(x\)のノルム(norm)と呼びます。

ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その任意の成分\(x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)は実数であるため\(x_{i}^{2}\)は非負の実数です。さらに\(\mathbb{R} \)は加法と乗法について閉じていることから\(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\)が1つの非負の実数として定まることが保証されます。無理関数\(\sqrt{x}\)は非負の実数集合\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義されるため、このとき、\(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\)すなわち\(\left\Vert x\right\Vert \)が1つの実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、実数であるノルム\(\left\Vert x\right\Vert \in \mathbb{R} \)を定める関数\begin{equation*}\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。このような関数をノルム関数(norm function)と呼びます。

例(ノルム)
\(1\)次元のベクトル\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、そのノルムは、\begin{eqnarray*}\left\Vert x\right\Vert &=&\sqrt{x^{2}}\quad \because \text{ノルムの定義} \\
&=&\left\vert x\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} \)においてノルムと絶対値は等しくなります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\left\Vert 4\right\Vert &=&\sqrt{4\cdot 4}=\left\vert 4\right\vert =4 \\
\left\Vert -2\right\Vert &=&\sqrt{\left( -2\right) \cdot \left( -2\right) }=\left\vert 2\right\vert =2 \\
\left\Vert \frac{1}{10}\right\Vert &=&\sqrt{\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}}=\left\vert \frac{1}{10}\right\vert =\frac{1}{10}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(ノルム)
\(2\)次元のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、そのノルムは、\begin{equation*}\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \left( 1,4\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17} \\
\left\Vert \left( -1,8\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left( -1\right)
^{2}+8^{2}}=\sqrt{65} \\
\left\Vert \left( \frac{4}{5},\frac{1}{10}\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left( \frac{4}{5}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{10}\right) ^{2}}=\sqrt{\frac{13}{20}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(ノルム)
\(3\)次元のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、そのノルムは、\begin{equation*}\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \left( 1,2,3\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{14} \\
\left\Vert \left( -1,4,2\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left( -1\right)
^{2}+4^{2}+2^{2}}=\sqrt{21} \\
\left\Vert \left( \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{3}\right) ^{2}+\left(
\frac{1}{4}\right) ^{2}}=\frac{1}{12}\sqrt{61}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

ノルムの解釈

ベクトルは「大きさ」と「方向」を表す量ですが、ベクトルの大きさは有向線分の「長さ」として、ベクトルの方向は有向線分の「方向」としてそれぞれ表現されます。では、ベクトルのノルムとは何を表す指標なのでしょうか。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にある点\(X\)を任意に選んだ上で、これらを終点とする有向線分、すなわちベクトル\begin{equation*}\overrightarrow{OX}
\end{equation*}に注目します。点\(X\)の位置ベクトルが\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)であるものとします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点の座標が\(x\)です。一方、原点\(O\)の座標はゼロベクトル\(0\)であるため、原点\(O\)と点\(X\)の間の距離は、\begin{equation*}\sqrt{\left( x_{1}-0\right) ^{2}+\cdots +\left( x_{n}-0\right) ^{2}}=\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}
\end{equation*}となりますが、これはノルム\(\left\Vert x\right\Vert \)と一致します。つまり、ノルム\(\left\Vert x\right\Vert \)は有向線分\(\overrightarrow{OX}\)の長さに相当するため、ノルムはベクトルの「大きさ」を表す指標です。

例(ノルムの解釈)
2次元空間上にある2つの点\(X\)を選んだ上で、これを終点とする有向線分、すなわちベクトル\begin{equation*}\overrightarrow{OX}
\end{equation*}に注目します。点\(X\)の位置ベクトルが\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)であるものとします。有向線分\(\overrightarrow{OX}\)の長さ、すなわちベクトルの大きさは、\begin{equation*}\left\Vert \left( x_{1},x_{2}\right) \right\Vert =\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}
\end{equation*}です(下図)。

図:2次元ベクトルのノルム
図:2次元ベクトルのノルム

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にある点\(X\)を任意に選んだ上で、これを終点とする有向線分、すなわちベクトル\(\overrightarrow{OX}\)に注目します。点\(X\)の位置ベクトルが\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)であるものとします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点の座標が\(x\)です。\(x\)の逆ベクトルは\(-x\)ですが、この\(-x\)を位置ベクトルとする点を\(Y\)で表記します。その上で、点\(Y\)を終点とする有向線分、すなわちベクトル\(\overrightarrow{OY}\)について考えます。以上の2つのベクトルの終点座標の間には、\begin{equation*}-x=\left( -1\right) x
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\overrightarrow{OX}\)と\(\overrightarrow{OY}\)は反対方向のベクトルです。さらに、\begin{eqnarray*}\left\Vert x\right\Vert &=&\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \\
&=&\sqrt{\left( -x_{1}\right) ^{2}+\cdots +\left( -x_{n}\right) ^{2}} \\
&=&\left\Vert -x\right\Vert
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(\overrightarrow{OX}\)と\(\overrightarrow{OY}\)の大きさは一致します。ノルムはベクトルの大きさを表す指標であり、方向が異なるベクトルでも大きさが同じであればノルムは等しくなるということです。

 

ノルムの非負性

ノルムは以下の性質\begin{equation*}
\left( N_{1}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert x\right\Vert \geq 0
\end{equation*}を満たします。以上の性質をノルムの非負性(non-negativity)と呼びます。これは、任意のベクトルのノルムが非負の実数であることを意味します。

命題(ノルムの非負性)

ノルムに関して、\begin{equation*}
\left( N_{1}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert x\right\Vert \geq 0
\end{equation*}が成り立つ。

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ノルムの定性

ノルムは以下の性質\begin{equation*}
\left( N_{2}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \left\Vert x\right\Vert =0\Leftrightarrow x=0\right)
\end{equation*}を満たします。以上の性質をノルムの定性(definiteness)と呼びます。これは、任意のベクトル\(x\)について、\(x\)のノルムの値が\(0\)であることと\(x\)がゼロベクトルであることが必要十分であることを意味します。

命題(ノルムの定性)
ノルムに関して、\begin{equation*}
\left( N_{2}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \left\Vert x\right\Vert =0\Leftrightarrow x=0\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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ノルムの斉次性

ノルムは以下の性質\begin{equation*}
\left( N_{3}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert ax\right\Vert =\left\vert a\right\vert \cdot \left\Vert
x\right\Vert
\end{equation*}を満たします。以上の性質をノルムの斉次性(homogeneity)と呼びます。これは、ベクトルのスカラー倍のノルムを計算する際に、スカラーの絶対値とベクトルのノルムの積をとってもよいことを意味します。

命題(ノルムの斉次性)

ノルムに関して、\begin{equation*}
\left( N_{3}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert ax\right\Vert =\left\vert a\right\vert \cdot \left\Vert
x\right\Vert
\end{equation*}が成り立つ。

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ノルムの劣加法性(三角不等式)

ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それらの成分\(x_{i},y_{i}\ \left(i=1,\cdots ,n\right) \)の間には以下の関係\begin{equation*}\left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right) ^{2}\leq \left(
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) \left( \sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。これをコーシー・シュワルツの不等式(Cauchy-Schwarz’s inequality)と呼びます。

命題(コーシー・シュワルツの不等式)
ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right) ^{2}\leq \left(
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) \left( \sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(コーシー・シュワルツの不等式)
ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、コーシー・シュワルツの不等式より、\begin{equation*}\left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right) ^{2}\leq \left(
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) \left( \sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、ノルムの定義より、\begin{eqnarray*}
\left\Vert x\right\Vert &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}} \\
\left\Vert y\right\Vert &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}}
\end{eqnarray*}であり、さらに、後ほど導入する内積の定義より、\begin{equation*}
x\cdot y=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}
\end{equation*}であるため、コーシー・シュワルツの不等式は以下の条件\begin{equation*}
\left( x\cdot y\right) ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}\left\Vert
y\right\Vert ^{2}
\end{equation*}と必要十分です。両辺は非負の実数であるため、これは以下の条件\begin{equation*}
\sqrt{\left( x\cdot y\right) ^{2}}\leq \sqrt{\left\Vert x\right\Vert
^{2}\left\Vert y\right\Vert ^{2}}
\end{equation*}と必要十分です。絶対値の定義より、\begin{equation*}
\sqrt{\left( x\cdot y\right) ^{2}}=\left\vert x\cdot y\right\vert
\end{equation*}を得て、ノルムの非負性より、\begin{eqnarray*}
\sqrt{\left\Vert x\right\Vert ^{2}\left\Vert y\right\Vert ^{2}} &=&\sqrt{\left\Vert x\right\Vert ^{2}}\sqrt{\left\Vert y\right\Vert ^{2}} \\
&=&\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert
\end{eqnarray*}を得るため、コーシー・シュワルツの不等式は以下の条件\begin{equation*}
\left\vert x\cdot y\right\vert \leq \left\Vert x\right\Vert \left\Vert
y\right\Vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert \leq x\cdot y\leq
\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert
\end{equation*}と必要十分です。

点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、コーシー・シュワルツの不等式を利用すると、\begin{equation*}\left\Vert x+y\right\Vert \leq \left\Vert x\right\Vert +\left\Vert
y\right\Vert
\end{equation*}が導かれます。以上の性質をノルムに関する劣加法性(subadditivity)や三角不等式(triangle inequality)、もしくはミンコフスキの不等式(Minkowski’s inequality)などと呼びます。つまり、ベクトル和のノルムはそれぞれのベクトルのノルムの和以下になることが保証されます。

命題(ノルムの劣加法性)
ノルムに関して、\begin{equation*}
\left( N_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert x+y\right\Vert \leq \left\Vert x\right\Vert +\left\Vert
y\right\Vert
\end{equation*}が成り立つ。

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ノルム空間としての\(n\)次元空間

これまで明らかになったノルムの性質を改めて整理すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( N_{1}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert x\right\Vert \geq 0 \\
&&\left( N_{2}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \left\Vert x\right\Vert =0\Leftrightarrow x=0\right) \\
&&\left( N_{3}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert ax\right\Vert =\left\vert a\right\vert \left\Vert
x\right\Vert \\
&&\left( N_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert x+y\right\Vert \leq \left\Vert x\right\Vert +\left\Vert
y\right\Vert
\end{eqnarray*}となります。

ノルム関数\(\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left( N_{1}\right) \)から\(\left( N_{4}\right) \)までの性質を満たすことは、ノルム関数が定義された\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)がノルム空間(normspace)であることを意味します。

 

単位ベクトル

ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)のノルムが\(1\)と等しい場合には、すなわち、\begin{equation*}\left\Vert x\right\Vert =1
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(x\)を単位ベクトル(unit vector)と呼びます。

例(単位ベクトル)
2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上にある以下のベクトル\begin{eqnarray*}x &=&\left( 1,0\right) \\
y &=&\left( 0,1\right) \\
z &=&\left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\end{eqnarray*}に注目します。これらのノルムは、\begin{eqnarray*}
\left\Vert x\right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1 \\
\left\Vert y\right\Vert &=&\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1 \\
\left\Vert z\right\Vert &=&\sqrt{\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}+\left(
\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ^{2}}=1
\end{eqnarray*}を満たすため、\(x,y,z\)はいずれも単位ベクトルです。

非ゼロベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、\(x\)と同一方向にある単位ベクトルは、\begin{equation*}\frac{1}{\left\Vert x\right\Vert }x=\frac{1}{\left\Vert x\right\Vert }\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}として与えられます。つまり、非ゼロベクトルベクトル\(x\)のスカラーの逆数\(\frac{1}{\left\Vert x\right\Vert }\)をとった上で、\(x\)のスカラー\(\frac{1}{\left\Vert x\right\Vert }\)倍をとれば、それが\(x\)と同一方向にある単位ベクトルになることが保証されます。

命題(単位ベクトルの生成)
非ゼロベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\frac{1}{\left\Vert x\right\Vert }x
\end{equation*}は\(x\)と同一方向にある単位ベクトルである。
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例(単位ベクトルの生成)
2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上にある以下のベクトル\begin{equation*}x=\left( 3,4\right)
\end{equation*}に注目します。このベクトルのノルムは、\begin{eqnarray*}
\left\Vert x\right\Vert &=&\sqrt{3^{2}+4^{2}} \\
&=&5
\end{eqnarray*}であるため、\(x\)は単位ベクトルではありません。一方、上の命題より、\begin{eqnarray*}\frac{1}{\left\Vert x\right\Vert }x &=&\frac{1}{5}\left( 3,4\right) \\
&=&\left( \frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)
\end{eqnarray*}は\(x\)と同一方向にある単位ベクトルです。

 

2つの点の間の距離

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にある2つの点\(X,Y\)を任意に選んだ上で、始点が\(X\)であり終点が\(Y\)であるような有向線分、すなわちベクトル\begin{equation*}\overrightarrow{XY}
\end{equation*}に注目します。点\(X\)の位置ベクトルが\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)であり、点\(Y\)の位置ベクトルが\(y\in \mathbb{R} ^{n}\)であるものとします。2つの点\(X,Y\)の間の距離は、\begin{equation*}\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\cdots +\left( x_{n}-y_{n}\right) ^{2}}
\end{equation*}となりますが、これは有向線分\(\overrightarrow{XY}\)の長さ、すなわちベクトルの大きさに相当します。一方、ノルムの定義より、ベクトル差\(x-y\)のノルムは、\begin{equation*}\left\Vert x-y\right\Vert =\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\cdots
+\left( x_{n}-y_{n}\right) ^{2}}
\end{equation*}を得ます。つまり、ベクトル差\(x-y\)のノルムをとれば有向線分\(\overrightarrow{XY}\)の長さが得られますが、これは2つの点\(X,Y\)の間の距離と一致します。

以上を踏まえた上で、2つの点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、それらの間の距離(distance)を、\begin{equation*}\left\Vert x-y\right\Vert =\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\cdots
+\left( x_{n}-y_{n}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定義します。

例(2つの点の間の距離)
\(4\)次元空間\(\mathbb{R} ^{4}\)上にある以下の2つの点\begin{eqnarray*}x &=&\left( 1,-2,4,1\right) \\
y &=&\left( 3,1,-5,0\right)
\end{eqnarray*}に注目したとき、これらの間の距離は、\begin{eqnarray*}
\left\Vert x-y\right\Vert &=&\left\Vert \left( 1,-2,4,1\right) -\left(
3,1,-5,0\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left( -2,-3,9,1\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{\left( -2\right) ^{2}+\left( -3\right) ^{2}+9^{2}+1^{2}} \\
&=&\sqrt{95}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(ノルム)
ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)が、\begin{equation*}x=\left( 3,-12,-4\right)
\end{equation*}で与えられているとき、ノルム\(\left\Vert x\right\Vert \)を求めてください。
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問題(ノルム)
ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{4}\)が、\begin{equation*}x=\left( 1,k,-2,5\right)
\end{equation*}で与えられているとき、\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{39}
\end{equation*}が成り立つための条件を求めてください。

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問題(単位ベクトル)
以下のベクトル\begin{equation*}
x=\left( 1,2,3\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}と同一方向にある単位ベクトルを特定してください。

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問題(単位ベクトル)
以下のベクトル\begin{equation*}
x=\left( x_{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が単位ベクトルであるために\(x_{1}\)が満たすべき条件を明らかにしてください。
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