ベクトルのノルム（ベクトルの長さ）

ベクトルのノルム

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、それに対して、\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert &=&\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}
\\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}
\end{eqnarray*}と定義される実数\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)を\(\boldsymbol{x}\)のノルム（norm）と呼びます。

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その任意の成分\(x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)は実数であるため\(x_{i}^{2}\)は非負の実数です。さらに\(\mathbb{R} \)は加法と乗法について閉じていることから\(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\)が1つの非負の実数として定まることが保証されます。無理関数\(\sqrt{x}\)は非負の実数集合\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義されるため、このとき、\(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\)すなわち\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)が1つの実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、実数であるノルム\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \in \mathbb{R} \)を定める関数\begin{equation*}\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。このような関数をノルム関数（norm function）と呼びます。

ベクトルのノルムの解釈

ベクトルは「大きさ」と「方向」を表す量ですが、ベクトルの大きさは有向線分の「長さ」として、ベクトルの方向は有向線分の「方向」としてそれぞれ表現されます。では、ベクトルのノルムとは何を表す指標なのでしょうか。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する点\(X\)を任意に選んだ上で、その位置ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点の座標が\(\boldsymbol{x}\)です。一方、原点\(O\)の座標はゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\)であるため、原点\(O\)と点\(X\)の間の距離は、\begin{eqnarray*}\sqrt{\left( x_{1}-0\right) ^{2}+\cdots +\left( x_{n}-0\right) ^{2}} &=&\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \\
&=&\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \quad \because \text{ノルムの定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、ノルム\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)は有向線分\(\overrightarrow{OX}\)の長さを表す指標です。

例（ノルムの解釈）

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する点\(X\)を選んだ上で、その位置ベクトルを、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}で表現します。つまりベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点座標が\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)です。このベクトルのノルムは、\begin{equation*}\left\Vert \left( x_{1},x_{2}\right) \right\Vert =\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}
\end{equation*}ですが、これは\(\overrightarrow{OX}\)の長さと一致します。

ノルムの非負性

ノルムは以下の性質\begin{equation*}
\left( N_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \geq 0
\end{equation*}を満たします。以上の性質をノルムの非負性（non-negativity）と呼びます。これは、任意のベクトルのノルムが非負の実数であることを意味します。

ノルムの定性

ノルムは以下の性質\begin{equation*}
\left( N_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =0\Leftrightarrow
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right)
\end{equation*}を満たします。以上の性質をノルムの定性（definiteness）と呼びます。これは、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\)について、\(\boldsymbol{x}\)のノルムの値が\(0\)であることと\(\boldsymbol{x}\)がゼロベクトルであることが必要十分であることを意味します。

ノルムの斉次性

ノルムは以下の性質\begin{equation*}
\left( N_{3}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert a\boldsymbol{x}\right\Vert =\left\vert a\right\vert
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
\end{equation*}を満たします。以上の性質をノルムの斉次性（homogeneity）と呼びます。これは、ベクトルのスカラー倍のノルムを計算する際に、スカラーの絶対値とベクトルのノルムの積をとってもよいことを意味します。

ノルムの劣加法性（三角不等式）

ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それらの成分\(x_{i},y_{i}\ \left(i=1,\cdots ,n\right) \)の間には以下の関係\begin{equation*}\left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right) ^{2}\leq \left(
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) \left( \sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。これをコーシー・シュワルツの不等式（Cauchy-Schwarz’s inequality）と呼びます。

ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、コーシー・シュワルツの不等式を利用すると、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert \leq \left\Vert
\boldsymbol{x}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert
\end{equation*}が導かれます。以上の性質をノルムに関する劣加法性（subadditivity）や三角不等式（triangle inequality）、もしくはミンコフスキの不等式（Minkowski’s inequality）などと呼びます。つまり、ベクトル和のノルムはそれぞれのベクトルのノルムの和以下になることが保証されます。

ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、三角不等式を利用すると、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\vert \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert \right\vert \leq \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:-\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \leq \left\Vert
\boldsymbol{x}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert \leq
\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert
\end{equation*}が導かれます。これを逆三角不等式（reverse triangle inequality）と呼びます。

ノルム空間としての\(n\)次元空間

これまで明らかになったノルムの性質を改めて整理すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( N_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \geq 0 \\
&&\left( N_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =0\Leftrightarrow
\boldsymbol{x}=0\right) \\
&&\left( N_{3}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert a\boldsymbol{x}\right\Vert =\left\vert a\right\vert
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \\
&&\left( N_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert \leq \left\Vert
\boldsymbol{x}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert
\end{eqnarray*}となります。

ノルム関数\(\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left( N_{1}\right) \)から\(\left( N_{4}\right) \)までの性質を満たすことは、ノルム関数が定義された\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)がノルム空間（normspace）であることを意味します。

単位ベクトル

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)のノルムが\(1\)と等しい場合には、すなわち、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =1
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{x}\)を単位ベクトル（unit vector）と呼びます。

非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)が与えられたとき、\(\boldsymbol{x}\)と同一方向にある単位ベクトルは、\begin{equation*}\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert }\boldsymbol{x}\end{equation*}として与えられます。つまり、非ゼロベクトルベクトル\(\boldsymbol{x}\)のノルムの逆数\(\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert }\)をとった上で、\(\boldsymbol{x}\)のスカラー\(\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert }\)倍をとれば、それが\(\boldsymbol{x}\)と同一方向にある単位ベクトルになることが保証されます。

ゼロベクトルのノルム\(\left\Vert \boldsymbol{0}\right\Vert \)はゼロになってしまうため、その逆数\(\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{0}\right\Vert }\)をとることができません。したがってゼロベクトルの単位ベクトルは定義不可能です。

上の命題を踏まえると以下を得ます。

以上の命題より、非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)が与えられたとき、それは、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert u_{\boldsymbol{x}}
\end{equation*}という形で表現可能であることが明らかになりました。以上の事実は、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)のノルム\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)とは、\(\boldsymbol{x}\)の長さが自身と同一方向にある単位ベクトル\(u_{\boldsymbol{x}}\)と比べて何倍であるかを表す指標であることを意味します。

2つの点の間の距離

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にある2つの点\(X,Y\)を任意に選んだ上で、始点が\(X\)であり終点が\(Y\)であるような有向線分、すなわちベクトル\begin{equation*}\overrightarrow{XY}
\end{equation*}に注目します。点\(X\)の位置ベクトルが\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)であり、点\(Y\)の位置ベクトルが\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)であるものとします。2つの点\(X,Y\)の間の距離は、\begin{equation*}\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\cdots +\left( x_{n}-y_{n}\right) ^{2}}
\end{equation*}となりますが、これは有向線分\(\overrightarrow{XY}\)の長さ、すなわちベクトルの大きさに相当します。一方、ノルムの定義より、ベクトル差\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\)のノルムは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert =\sqrt{\left(
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\cdots +\left( x_{n}-y_{n}\right) ^{2}}
\end{equation*}を得ます。つまり、ベクトル差\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\)のノルムをとれば有向線分\(\overrightarrow{XY}\)の長さが得られますが、これは2つの点\(X,Y\)の間の距離と一致します。

以上を踏まえた上で、2つの点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、それらの間の距離（distance）を、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert =\sqrt{\left(
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\cdots +\left( x_{n}-y_{n}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定義します。

演習問題