空間の座標軸
第\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分が\(1\)であり他の任意の成分が\(0\)であるような\(n\)次元ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{i}=\left( 0,\cdots ,1,\cdots ,0\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{e}_{1} &=&\left( 1,0,\cdots ,0,0\right) \\
&&\vdots \\
\boldsymbol{e}_{n} &=&\left( 0,0,\cdots ,0,1\right)
\end{eqnarray*}です。以上の\(n\)個のベクトルからなる集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\}
\end{equation*}を\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底（standard basis）と呼びます。
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する点\(X\)を任意に選んだ上で、その位置ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{v}=\left( v_{1},\cdots ,v_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{v} &=&\left( v_{1},\cdots ,v_{n}\right) \\
&=&\left( v_{1},\cdots ,0\right) +\cdots +\left( 0,\cdots ,v_{n}\right) \\
&=&v_{1}\left( 1,\cdots ,0\right) +\cdots +v_{n}\left( 0,\cdots ,1\right) \\
&=&v_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\cdots +v_{n}\boldsymbol{e}_{n}
\end{eqnarray*}が成り立つため、点\(X\)の位置は標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)を基準に表現されます。その上で、ベクトル\(\boldsymbol{e}_{i}\)と平行な直線を\(x_{i}\)軸と呼ぶこととします。
\boldsymbol{e}_{2} &=&\left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}です。平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する点\(X\)を任意に選んだ上で、その位置ベクトルを、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}で表記すると、以下の関係\begin{eqnarray*}
\left( x,y\right) &=&x\left( 1,0\right) +y\left( 0,1\right) \\
&=&x\boldsymbol{e}_{1}+y\boldsymbol{e}_{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1}\)と平行な直線を\(x\)軸と呼び、ベクトル\(\boldsymbol{e}_{2}\)と平行な直線を\(y\)軸と呼びます。
\boldsymbol{e}_{2} &=&\left( 0,1,0\right) \\
\boldsymbol{e}_{3} &=&\left( 0,0,1\right)
\end{eqnarray*}です。空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点\(X\)を任意に選んだ上で、その位置ベクトルを、\begin{equation*}\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}で表記すると、以下の関係\begin{eqnarray*}
\left( x,y,z\right) &=&x\left( 1,0,0\right) +y\left( 0,1,0\right) +z\left(
0,0,1\right) \\
&=&x\boldsymbol{e}_{1}+y\boldsymbol{e}_{2}+z\boldsymbol{e}_{3}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1}\)と平行な直線を\(x\)軸と呼び、ベクトル\(\boldsymbol{e}_{2}\)と平行な直線を\(y\)軸と呼び、ベクトル\(\boldsymbol{e}_{3}\)と平行な直線を\(z\)軸と呼びます。
ベクトルの方向余弦
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する非ゼロベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{v}\)と同一方向にある単位ベクトルは、\begin{equation*}\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert }\boldsymbol{v}=\left( \frac{v_{1}}{\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert },\cdots ,\frac{v_{n}}{\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert }\right)
\end{equation*}と定まりますが、このベクトルの成分\begin{equation*}
\frac{v_{1}}{\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert },\cdots ,\frac{v_{n}}{\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert }
\end{equation*}をもとのベクトル\(\boldsymbol{v}\)の方向余弦（direction cosines）と呼びます。つまり、ベクトルの方向余弦とは、そのベクトルと同一方向にある単位ベクトルの成分です。
2つの非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)のなす角が\(\theta \)である場合には、以下の関係\begin{equation}\cos \left( \theta \right) =\frac{\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}}{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert }
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。さて、非ゼロベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)と\(x_{i}\)軸のなす角を\(\theta _{i}\)で表記します。\(x_{i}\)軸は標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{i}\)と平行であるため、以下の関係\begin{eqnarray*}\cos \left( \theta _{i}\right) &=&\frac{\boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{e}_{i}}{\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{e}_{i}\right\Vert }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{v_{i}}{\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert }
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\(\boldsymbol{v}\)と同一方向にある単位ベクトルを、\begin{equation*}\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert }\boldsymbol{v}=\left( \cos
\left( \theta _{1}\right) ,\cdots ,\cos \left( \theta _{n}\right) \right)
\end{equation*}と表現できることが明らかになりました。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{v}\)の方向余弦は、\begin{equation*}\cos \left( \theta _{1}\right) ,\cdots ,\cos \left( \theta _{n}\right)
\end{equation*}と一致します。
\end{equation*}と一致する。
平面ベクトルの方向余弦
平面においても同様の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する非ゼロベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \)と同一方向にある単位ベクトルは、\begin{eqnarray*}\frac{1}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\left( x,y\right)
&=&\left( \frac{x}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert },\frac{y}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\right) \\
&=&\left( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)
\end{eqnarray*}と定まりますが、このベクトルの成分\begin{equation*}
\frac{x}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert },\frac{y}{\left\Vert
\left( x,y\right) \right\Vert }
\end{equation*}をもとのベクトル\(\left(x,y\right) \)の方向余弦（direction cosines）と呼びます。
\left( 1,0\right)
\end{equation*}の方向余弦は、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\left\Vert \left( 1,0\right) \right\Vert } &=&1 \\
\frac{0}{\left\Vert \left( 1,0\right) \right\Vert } &=&0
\end{eqnarray*}です。
\left( -1,0\right)
\end{equation*}の方向余弦は、\begin{eqnarray*}
\frac{-1}{\left\Vert \left( -1,0\right) \right\Vert } &=&-1 \\
\frac{0}{\left\Vert \left( -1,0\right) \right\Vert } &=&0
\end{eqnarray*}です。
\left( 1,1\right)
\end{equation*}の方向余弦は、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\left\Vert \left( 1,1\right) \right\Vert } &=&\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\left\Vert \left( 1,1\right) \right\Vert } &=&\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}です。
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する非ゼロベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)と\(x\)軸のなす角を\(\theta _{x}\)で表記し、\(\left(x,y\right) \)と\(y\)軸のなす角を\(\theta _{y}\)で表記します。\(x\)軸は標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1}\)と平行であるため、\begin{equation*}\cos \left( \theta _{x}\right) =\frac{\left( x,y\right) \cdot \boldsymbol{e}_{1}}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \left\Vert \boldsymbol{e}_{1}\right\Vert }=\frac{x}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }
\end{equation*}が成り立ち、\(y\)軸は標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{2}\)と平行であるため、\begin{equation*}\cos \left( \theta _{y}\right) =\frac{\left( x,y\right) \cdot \boldsymbol{e}_{2}}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \left\Vert \boldsymbol{e}_{2}\right\Vert }=\frac{y}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\(\left( x,y\right) \)と同一方向にある単位ベクトルを、\begin{equation*}\frac{1}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\left( x,y\right) =\left(
\cos \left( \theta _{x}\right) ,\cos \left( \theta _{y}\right) \right)
\end{equation*}と表現できることが明らかになりました。つまり、ベクトル\(\left( x,y\right) \)の方向余弦は、\begin{equation*}\cos \left( \theta _{x}\right) ,\cos \left( \theta _{y}\right)
\end{equation*}と一致します。
\end{equation*}と一致する。
\left( 1,0\right)
\end{equation*}の方向余弦を定義にもとづいて求めると、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\left\Vert \left( 1,0\right) \right\Vert } &=&1 \\
\frac{0}{\left\Vert \left( 1,0\right) \right\Vert } &=&0
\end{eqnarray*}を得ます。以上の事実は、\begin{eqnarray*}
\cos \left( \theta _{x}\right) &=&1 \\
\cos \left( \theta _{y}\right) &=&0
\end{eqnarray*}であることを意味します。実際、\(\theta _{x}=0\)かつ\(\theta _{y}=\frac{\pi }{2}\)であるため上の等式が成立しています。
\left( -1,0\right)
\end{equation*}の方向余弦を定義にもとづいて求めると、\begin{eqnarray*}
\frac{-1}{\left\Vert \left( -1,0\right) \right\Vert } &=&-1 \\
\frac{0}{\left\Vert \left( -1,0\right) \right\Vert } &=&0
\end{eqnarray*}を得ます。以上の事実は、\begin{eqnarray*}
\cos \left( \theta _{x}\right) &=&-1 \\
\cos \left( \theta _{y}\right) &=&0
\end{eqnarray*}であることを意味します。実際、\(\theta _{x}=\pi \)かつ\(\theta _{y}=\frac{\pi }{2}\)であるため上の等式が成立しています。
\left( 1,1\right)
\end{equation*}の方向余弦を定義にもとづいて求めると、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\left\Vert \left( 1,1\right) \right\Vert } &=&\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\left\Vert \left( 1,1\right) \right\Vert } &=&\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}を得ます。以上の事実は、\begin{eqnarray*}
\cos \left( \theta _{x}\right) &=&\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\cos \left( \theta _{y}\right) &=&\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}であることを意味します。実際、\(\theta _{x}=\frac{\pi }{4}\)かつ\(\theta _{y}=\frac{\pi }{4}\)であるため上の等式が成立しています。
空間ベクトルの方向余弦
空間においても同様の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する非ゼロベクトル\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(\left( x,y,z\right) \)と同一方向にある単位ベクトルは、\begin{eqnarray*}\frac{1}{\left\Vert \left( x,y,z\right) \right\Vert }\left( x,y,z\right)
&=&\left( \frac{x}{\left\Vert \left( x,y,z\right) \right\Vert },\frac{y}{\left\Vert \left( x,y,z\right) \right\Vert },\frac{z}{\left\Vert \left(
x,y,z\right) \right\Vert }\right) \\
&=&\left( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)
\end{eqnarray*}と定まりますが、このベクトルの成分\begin{equation*}
\frac{x}{\left\Vert \left( x,y,z\right) \right\Vert },\frac{y}{\left\Vert
\left( x,y,z\right) \right\Vert },\frac{z}{\left\Vert \left( x,y,z\right)
\right\Vert }
\end{equation*}をもとのベクトル\(\left(x,y,z\right) \)の方向余弦（direction cosines）と呼びます。
\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}の方向余弦は、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\left\Vert \left( 1,0,0\right) \right\Vert } &=&1 \\
\frac{0}{\left\Vert \left( 1,0,0\right) \right\Vert } &=&0 \\
\frac{0}{\left\Vert \left( 1,0,0\right) \right\Vert } &=&0
\end{eqnarray*}です。
\left( -1,0,0\right)
\end{equation*}の方向余弦は、\begin{eqnarray*}
\frac{-1}{\left\Vert \left( -1,0,0\right) \right\Vert } &=&-1 \\
\frac{0}{\left\Vert \left( -1,0,0\right) \right\Vert } &=&0 \\
\frac{0}{\left\Vert \left( -1,0,0\right) \right\Vert } &=&0
\end{eqnarray*}です。
\left( 1,1,1\right)
\end{equation*}の方向余弦は、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\left\Vert \left( 1,1,1\right) \right\Vert } &=&\frac{1}{\sqrt{3}}
\\
\frac{1}{\left\Vert \left( 1,1,1\right) \right\Vert } &=&\frac{1}{\sqrt{3}}
\\
\frac{1}{\left\Vert \left( 1,1,1\right) \right\Vert } &=&\frac{1}{\sqrt{3}}
\end{eqnarray*}です。
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する非ゼロベクトル\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)と\(x\)軸のなす角を\(\theta _{x}\)で表記し、\(\left(x,y,z\right) \)と\(y\)軸のなす角を\(\theta _{y}\)で表記し、\(\left( x,y,z\right) \)と\(z\)軸のなす角を\(\theta _{z}\)で表記します。\(x\)軸は標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1}\)と平行であるため、\begin{equation*}\cos \left( \theta _{x}\right) =\frac{\left( x,y,z\right) \cdot \boldsymbol{e}_{1}}{\left\Vert \left( x,y,z\right) \right\Vert \left\Vert \boldsymbol{e}_{1}\right\Vert }=\frac{x}{\left\Vert \left( x,y,z\right) \right\Vert }
\end{equation*}が成り立ち、\(y\)軸は標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{2}\)と平行であるため、\begin{equation*}\cos \left( \theta _{y}\right) =\frac{\left( x,y,z\right) \cdot \boldsymbol{e}_{2}}{\left\Vert \left( x,y,z\right) \right\Vert \left\Vert \boldsymbol{e}_{2}\right\Vert }=\frac{y}{\left\Vert \left( x,y,z\right) \right\Vert }
\end{equation*}が成り立ち、\(z\)軸は標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{3}\)と平行であるため、\begin{equation*}\cos \left( \theta _{z}\right) =\frac{\left( x,y,z\right) \cdot \boldsymbol{e}_{3}}{\left\Vert \left( x,y,z\right) \right\Vert \left\Vert \boldsymbol{e}_{3}\right\Vert }=\frac{z}{\left\Vert \left( x,y,z\right) \right\Vert }
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\(\left( x,y,z\right) \)と同一方向にある単位ベクトルを、\begin{equation*}\frac{1}{\left\Vert \left( x,y,z\right) \right\Vert }\left( x,y,z\right)
=\left( \cos \left( \theta _{x}\right) ,\cos \left( \theta _{y}\right) ,\cos
\left( \theta _{z}\right) \right)
\end{equation*}と表現できることが明らかになりました。つまり、ベクトル\(\left( x,y,z\right) \)の方向余弦は、\begin{equation*}\cos \left( \theta _{x}\right) ,\cos \left( \theta _{y}\right) ,\cos \left(
\theta _{z}\right)
\end{equation*}と一致します。
\theta _{z}\right)
\end{equation*}と一致する。
\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}の方向余弦を定義にもとづいて求めると、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\left\Vert \left( 1,0,0\right) \right\Vert } &=&1 \\
\frac{0}{\left\Vert \left( 1,0,0\right) \right\Vert } &=&0 \\
\frac{0}{\left\Vert \left( 1,0,0\right) \right\Vert } &=&0
\end{eqnarray*}を得ます。以上の事実は、\begin{eqnarray*}
\cos \left( \theta _{x}\right) &=&1 \\
\cos \left( \theta _{y}\right) &=&0 \\
\cos \left( \theta _{z}\right) &=&0
\end{eqnarray*}であることを意味します。実際、\(\theta _{x}=0\)かつ\(\theta _{y}=\frac{\pi }{2}\)かつ\(\theta _{z}=\frac{\pi }{2}\)であるため上の等式が成立します。
\left( -1,0,0\right)
\end{equation*}の方向余弦を定義にもとづいて求めると、\begin{eqnarray*}
\frac{-1}{\left\Vert \left( -1,0,0\right) \right\Vert } &=&-1 \\
\frac{0}{\left\Vert \left( -1,0,0\right) \right\Vert } &=&0 \\
\frac{0}{\left\Vert \left( -1,0,0\right) \right\Vert } &=&0
\end{eqnarray*}を得ます。以上の事実は、\begin{eqnarray*}
\cos \left( \theta _{x}\right) &=&-1 \\
\cos \left( \theta _{y}\right) &=&0 \\
\cos \left( \theta _{z}\right) &=&0
\end{eqnarray*}であることを意味します。実際、\(\theta _{x}=\pi \)かつ\(\theta _{y}=\frac{\pi }{2}\)かつ\(\theta _{z}=\frac{\pi }{2}\)であるため上の等式が成立します。
\left( 1,1,1\right)
\end{equation*}の方向余弦を定義にもとづいて求めると、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\left\Vert \left( 1,1,1\right) \right\Vert } &=&\frac{1}{\sqrt{3}}
\\
\frac{1}{\left\Vert \left( 1,1,1\right) \right\Vert } &=&\frac{1}{\sqrt{3}}
\\
\frac{1}{\left\Vert \left( 1,1,1\right) \right\Vert } &=&\frac{1}{\sqrt{3}}
\end{eqnarray*}を得ます。以上の事実は、\begin{eqnarray*}
\cos \left( \theta _{x}\right) &=&\frac{1}{\sqrt{3}} \\
\cos \left( \theta _{y}\right) &=&\frac{1}{\sqrt{3}} \\
\cos \left( \theta _{z}\right) &=&\frac{1}{\sqrt{3}}
\end{eqnarray*}であることを意味します。
方向余弦からベクトルを特定する
ベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert }\boldsymbol{v}=\left( \cos
\left( \theta _{1}\right) ,\cdots ,\cos \left( \theta _{n}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{v} &=&\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \left( \cos \left(
\theta _{1}\right) ,\cdots ,\cos \left( \theta _{n}\right) \right) \\
&=&\left( \left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \cos \left( \theta
_{1}\right) ,\cdots ,\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \cos \left( \theta
_{n}\right) \right)
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{v}\)のノルム\(\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \)と方向余弦\(\cos \left( \theta _{1}\right) ,\cdots ,\cos \left( \theta_{n}\right) \)が与えられればもとのベクトル\(\boldsymbol{v}\)を特定できます。
\theta _{1}\right) ,\cdots ,\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \cos \left(
\theta _{n}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、方向余弦は、\begin{eqnarray*}
\cos \left( \theta _{x}\right) &=&\frac{5}{8} \\
\cos \left( \theta _{y}\right) &=&-\frac{3}{8}
\end{eqnarray*}であるものとします。すると先の命題より、\begin{eqnarray*}
x &=&\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \cos \left( \theta _{x}\right)
=32\cdot \frac{5}{8}=20 \\
y &=&\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \cos \left( \theta _{y}\right)
=32\cdot \left( -\frac{3}{8}\right) =-12
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left( x,y\right) =\left( 20,-12\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
演習問題
\end{equation*}であるものとします。ベクトル\(\overrightarrow{OP}\)の方向余弦を求めてください。
\boldsymbol{q} &=&\left( 2,-3,2\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。ベクトル\(\overrightarrow{PQ}\)の方向余弦を求めてください。
\end{equation*}であるとともに、方向余弦が、\begin{eqnarray*}
\cos \left( \theta _{x}\right) &=&-\frac{3}{4} \\
\cos \left( \theta _{y}\right) &=&-\frac{1}{4} \\
\cos \left( \theta _{z}\right) &=&\frac{7}{8}
\end{eqnarray*}であるものとします。ベクトル\(\left( x,y,z\right) \)を特定してください。
\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\cos \left( \alpha -\beta \right) =\cos \left( \alpha \right) \cos \left(
\beta \right) +\sin \left( \alpha \right) \sin \left( \beta \right)
\end{equation*}が成り立つことをベクトルの内積を用いて証明してください。
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