実ベクトル空間におけるベクトルの座標

線型結合の一意性

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底を任意に選び、それを、\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \mathbb{R} ^{n}=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ \left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。条件\(\left( a\right) \)は、基底\(\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)を張ること、すなわち、\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在するベクトルはいずれも基底ベクトル\(\boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\)の線型結合としてそれぞれの表現できることを意味し、条件\(\left( b\right) \)は、基底\(\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\right\} \)の中のどのベクトルも他の\(n-1\)個のベクトルの線型結合として表現できないことを意味します。\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元は\(n\)であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の基底は\(n\)個のベクトルを要素として持つことに注意してください。

実ベクトル空間上に存在するベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(\left( a\right) \)より、\(\boldsymbol{x}\)は基底ベクトル\(\boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\)の何らかの線型結合として表現することができます。つまり、\begin{equation*}\exists a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{b}_{1}+\cdots +a_{n}\boldsymbol{b}_{n}
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\)に対して、それに対応する\(\boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\)の線型結合は一意的に定まることが保証されます。

実ベクトル空間上のベクトルの座標

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底を任意に選んだ上で、それを、\begin{equation*}\beta =\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。先の命題より、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{b}_{1}+\cdots +a_{n}\boldsymbol{b}_{n}
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)の組合せは一意的に定まることが保証されます。そこで、これらのスカラーを成分とするベクトルを、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}で表記し、これを基底\(\beta \)のもとでのベクトル\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトル（coordinate vector of \(\boldsymbol{x}\) with respect to the basis \(\beta \)）と呼びます。

同一のベクトルを対象としていても、採用する基底が変われば、そのベクトルの座標ベクトルは変化します。以下の例より明らかです。

標準基底のもとでの座標

基底として標準基底を採用した場合、それぞれのベクトルの座標ベクトルは自身と一致します。

部分空間上のベクトルの座標

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底を用いて\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点の座標を定義しましたが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間の基底を利用すれば、部分空間上の点の座標を同様に定義できます。具体的には以下の通りです。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:a\boldsymbol{x}\in X
\end{eqnarray*}をすべて満たすということです。

部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)の基底を任意に選び、それを、\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\right\} \subset X \\
&&\left( b\right) \ X=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots
,\boldsymbol{b}_{m}\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ \left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。条件\(\left( a\right) \)は、基底ベクトル\(\boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\)がいずれも部分空間\(X\)の要素であることを意味し、\(\left( b\right) \)は基底\(\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\right\} \)が\(X\)を張ること、すなわち、\(X\)上に存在するベクトルはいずれも基底ベクトル\(\boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\)の線型結合としてそれぞれの表現できることを意味します。条件\(\left( c\right) \)は、基底\(\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\right\} \)の中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できないことを意味します。

部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)の基底を、\begin{equation*}\beta =\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。部分空間上に存在するそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{b}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{b}_{m}
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)の組合せは一意的に定まることが保証されます。そこで、これらのスカラーを成分とするベクトルを、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right)
\end{equation*}で表記し、これを基底\(\beta \)のもとでのベクトル\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトル（coordinate vector of \(\boldsymbol{x}\) with respect to the basis \(\beta \)）と呼びます。

演習問題