線型結合の一意性
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底を任意に選び、それを、\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \mathbb{R} ^{n}=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ \left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。条件\(\left( a\right) \)は、基底\(\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)を張ること、すなわち、\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在するベクトルはいずれも基底ベクトル\(\boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\)の線型結合としてそれぞれの表現できることを意味し、条件\(\left( b\right) \)は、基底\(\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\right\} \)の中のどのベクトルも他の\(n-1\)個のベクトルの線型結合として表現できないことを意味します。\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元は\(n\)であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の基底は\(n\)個のベクトルを要素として持つことに注意してください。
実ベクトル空間上に存在するベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(\left( a\right) \)より、\(\boldsymbol{x}\)は基底ベクトル\(\boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\)の何らかの線型結合として表現することができます。つまり、\begin{equation*}\exists a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{b}_{1}+\cdots +a_{n}\boldsymbol{b}_{n}
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\)に対して、それに対応する\(\boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\)の線型結合は一意的に定まることが保証されます。
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)の組合せはそれぞれ一意的に定まる。
=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合、先の命題より、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{e}_{1}+a_{2}\boldsymbol{e}_{2}+a_{3}\boldsymbol{e}_{3}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =a_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) +a_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) +a_{3}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)は一意的に定まります。実際、\(\left( 1\right) \)は以下の条件\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}と必要十分であるため、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =x_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) +x_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) +x_{3}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。以上より、基底\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\right\} \)を採用した場合、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{e}_{1}+x_{2}\boldsymbol{e}_{2}+x_{3}\boldsymbol{e}_{3}
\end{equation*}という形の線型結合でのみ表現されることが明らかになりました。
=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合、先の命題より、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{b}_{1}+a_{2}\boldsymbol{b}_{2}+a_{3}\boldsymbol{b}_{3}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =a_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) +a_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) +a_{3}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)は一意的に定まります。実際、\(\left( 1\right) \)は以下の条件\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{1}+a_{2} \\
a_{1}+a_{2}+a_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}と必要十分であるため、これを解くことにより、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}-x_{1} \\
x_{3}-x_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を得るため、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =x_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) +\left( x_{2}-x_{1}\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) +\left( x_{3}-x_{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}となります。以上より、基底\(\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\boldsymbol{b}_{3}\right\} \)を採用した場合、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{b}_{1}+\left( x_{2}-x_{1}\right) \boldsymbol{b}_{2}+\left( x_{3}-x_{2}\right) \boldsymbol{b}_{3}
\end{equation*}という形の線型結合でのみ表現されることが明らかになりました。
実ベクトル空間上のベクトルの座標
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底を任意に選んだ上で、それを、\begin{equation*}\beta =\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。先の命題より、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{b}_{1}+\cdots +a_{n}\boldsymbol{b}_{n}
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)の組合せは一意的に定まることが保証されます。そこで、これらのスカラーを成分とするベクトルを、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}で表記し、これを基底\(\beta \)のもとでのベクトル\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトル(coordinate vector of \(\boldsymbol{x}\) with respect to the basis \(\beta \))と呼びます。
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合、先に示したように、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{e}_{1}+x_{2}\boldsymbol{e}_{2}+x_{3}\boldsymbol{e}_{3}
\end{equation*}と表現されるため、標準基底\(\varepsilon \)のもとでの\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\varepsilon }=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合、先に示したように、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{b}_{1}+\left( x_{2}-x_{1}\right) \boldsymbol{b}_{2}+\left( x_{3}-x_{2}\right) \boldsymbol{b}_{3}
\end{equation*}と表現されるため、基底\(\beta \)のもとでの\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}-x_{1} \\
x_{3}-x_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
同一のベクトルを対象としていても、採用する基底が変われば、そのベクトルの座標ベクトルは変化します。以下の例より明らかです。
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)の座標ベクトルが、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\varepsilon }=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}である一方で、以下の基底\begin{equation*}
\beta =\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\boldsymbol{b}_{3}\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)の座標ベクトルが、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}-x_{1} \\
x_{3}-x_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}であることは先に示した通りです。したがって、例えば、以下のベクトル\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
\left[ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \right] _{\varepsilon } &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \\
\left[ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \right] _{\beta } &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left[ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \right] _{\varepsilon }\not=\left[ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \right] _{\beta }
\end{equation*}が成り立ちます。
標準基底のもとでの座標
基底として標準基底を採用した場合、それぞれのベクトルの座標ベクトルは自身と一致します。
\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表記する。このとき、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\varepsilon }=\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つ。
部分空間上のベクトルの座標
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底を用いて\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点の座標を定義しましたが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間の基底を利用すれば、部分空間上の点の座標を同様に定義できます。具体的には以下の通りです。
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:a\boldsymbol{x}\in X
\end{eqnarray*}をすべて満たすということです。
部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)の基底を任意に選び、それを、\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\right\} \subset X \\
&&\left( b\right) \ X=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots
,\boldsymbol{b}_{m}\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ \left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。条件\(\left( a\right) \)は、基底ベクトル\(\boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\)がいずれも部分空間\(X\)の要素であることを意味し、\(\left( b\right) \)は基底\(\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\right\} \)が\(X\)を張ること、すなわち、\(X\)上に存在するベクトルはいずれも基底ベクトル\(\boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\)の線型結合としてそれぞれの表現できることを意味します。条件\(\left( c\right) \)は、基底\(\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\right\} \)の中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できないことを意味します。
部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)の基底を、\begin{equation*}\beta =\left\{ \boldsymbol{b}_{1},\cdots ,\boldsymbol{b}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。部分空間上に存在するそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{b}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{b}_{m}
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)の組合せは一意的に定まることが保証されます。そこで、これらのスカラーを成分とするベクトルを、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right)
\end{equation*}で表記し、これを基底\(\beta \)のもとでのベクトル\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトル(coordinate vector of \(\boldsymbol{x}\) with respect to the basis \(\beta \))と呼びます。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}
\end{equation*}に注目します。\(P\)は原点を通過する平面であるため、これは\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。以下のベクトル集合\begin{equation*}\beta =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
-1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}は\(P\)の基底です。\(P\)の基底として\(\beta \)を採用した場合、平面\(P\)上に存在する点\(\boldsymbol{x}\in P\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
-x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}と定まります(演習問題)。
演習問題
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
3\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
-1\end{array}\right) \right\} \\
\beta &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。以下のベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
3 \\
5 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}について、\begin{eqnarray*}
&&\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\alpha } \\
&&\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\beta }
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を任意に選んだとき、\(\beta \)のもとでのゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)の座標は、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{0}\right] _{\beta }=\boldsymbol{0}
\end{equation*}となることを示してください。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}
\end{equation*}に注目します。\(P\)は原点を通過する平面であるため、これは\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。以下のベクトル集合\begin{equation*}\beta =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
-1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}が\(P\)の基底であることを示してください。その上で、\(P\)上の基底として\(\beta \)を採用した場合、平面\(P\)上に存在する点\(\boldsymbol{x}\in P\)の座標ベクトルが、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
-x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}と定まることを示してください。
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