線型結合の一意性
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底を任意に選び、それを、\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。つまり、\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \)は\(n\)個のベクトルを要素として持つ線型独立なベクトル集合であるとともに、\begin{equation}\mathbb{R} ^{n}=\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。
ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(\left( 1\right) \)より、\(x\)は基底ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の何らかの線型結合として表現することができます。つまり、\begin{equation*}\exists a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} :x=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、それぞれのベクトル\(x\)に対して、それに対応する\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の線型結合は一意的に定まることが保証されます。
命題（線型結合の一意性）
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとする。ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、以下の条件\begin{equation*}x=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)の組合せはそれぞれ一意的に定まる。
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)の組合せはそれぞれ一意的に定まる。
例（線型結合の一意性）
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の基底として標準基底\begin{equation*}\left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合、上の命題より、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}x=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =a_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) +a_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) +a_{3}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)は一意的に定まります。実際、\(\left( 1\right) \)は以下の条件\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}と必要十分であるため、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =x_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) +x_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) +x_{3}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}
\end{equation*}という形の線型結合でのみ表現されることが明らかになりました。
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合、上の命題より、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}x=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =a_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) +a_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) +a_{3}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)は一意的に定まります。実際、\(\left( 1\right) \)は以下の条件\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}と必要十分であるため、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =x_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) +x_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) +x_{3}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}
\end{equation*}という形の線型結合でのみ表現されることが明らかになりました。
例（線型結合の一意性）
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の基底として、\begin{equation*}\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合、上の命題より、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}x=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =a_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) +a_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) +a_{3}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)は一意的に定まります。実際、\(\left( 1\right) \)は以下の条件\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{1}+a_{2} \\
a_{1}+a_{2}+a_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}と必要十分であるため、これを解くことにより、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}-x_{1} \\
x_{3}-x_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を得るため、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =x_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) +\left( x_{2}-x_{1}\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) +\left( x_{3}-x_{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x=x_{1}v_{1}+\left( x_{2}-x_{1}\right) v_{2}+\left( x_{3}-x_{2}\right) v_{3}
\end{equation*}という形の線型結合でのみ表現されることが明らかになりました。
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合、上の命題より、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}x=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =a_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) +a_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) +a_{3}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)は一意的に定まります。実際、\(\left( 1\right) \)は以下の条件\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{1}+a_{2} \\
a_{1}+a_{2}+a_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}と必要十分であるため、これを解くことにより、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}-x_{1} \\
x_{3}-x_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を得るため、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =x_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) +\left( x_{2}-x_{1}\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) +\left( x_{3}-x_{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x=x_{1}v_{1}+\left( x_{2}-x_{1}\right) v_{2}+\left( x_{3}-x_{2}\right) v_{3}
\end{equation*}という形の線型結合でのみ表現されることが明らかになりました。
実ベクトル空間上のベクトルの座標
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底を任意に選んだ上で、それを、\begin{equation*}\beta =\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。先の命題より、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の条件\begin{equation*}x=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)の組合せは一意的に定まることが保証されます。そこで、これらのスカラーを成分とするベクトルを、\begin{equation*}\left[ x\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}で表記し、これを\(\beta \)に関する\(x\)の座標ベクトル（coordinate vector）と呼びます。
例（実ベクトル空間上のベクトルの座標）
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の基底として標準基底\begin{equation*}e=\left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合、先に示したように、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)は、\begin{equation*}x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}
\end{equation*}と表現されるため、\(e\)に関する\(x\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ x\right] _{e}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合、先に示したように、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)は、\begin{equation*}x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}
\end{equation*}と表現されるため、\(e\)に関する\(x\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ x\right] _{e}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
例（実ベクトル空間上のベクトルの座標）
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の基底として、\begin{equation*}\beta =\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合、先に示したように、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)は、\begin{equation*}x=x_{1}v_{1}+\left( x_{2}-x_{1}\right) v_{2}+\left( x_{3}-x_{2}\right) v_{3}
\end{equation*}と表現されるため、\(\beta \)に関する\(x\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ x\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}-x_{1} \\
x_{3}-x_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合、先に示したように、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)は、\begin{equation*}x=x_{1}v_{1}+\left( x_{2}-x_{1}\right) v_{2}+\left( x_{3}-x_{2}\right) v_{3}
\end{equation*}と表現されるため、\(\beta \)に関する\(x\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ x\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}-x_{1} \\
x_{3}-x_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
同じベクトルを対象としていても、採用する基底が変われば、そのベクトルの座標ベクトルは変化します。以下の例より明らかです。
例（ベクトルの座標は基底に依存する）
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の基底として標準基底\begin{equation*}e=\left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ x\right] _{e}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}である一方、基底として、\begin{equation*}
\beta =\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ x\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}-x_{1} \\
x_{3}-x_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、例えば、以下のベクトル\begin{equation*}
x=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
\left[ x\right] _{e} &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \\
\left[ x\right] _{\beta } &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left[ x\right] _{e}\not=\left[ x\right] _{\beta }
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ x\right] _{e}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}である一方、基底として、\begin{equation*}
\beta =\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を採用した場合のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ x\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}-x_{1} \\
x_{3}-x_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、例えば、以下のベクトル\begin{equation*}
x=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
\left[ x\right] _{e} &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \\
\left[ x\right] _{\beta } &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left[ x\right] _{e}\not=\left[ x\right] _{\beta }
\end{equation*}となります。
標準基底のもとでの座標
基底として標準基底を採用した場合、それぞれのベクトルの座標ベクトルは自身と一致します。
命題（標準基底のもとでの座標）
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底を\begin{equation*}e=\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記する。このとき、任意のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left[ x\right] _{e}=x
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}で表記する。このとき、任意のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left[ x\right] _{e}=x
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
問題（ベクトルの座標ベクトル）
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における以下の2つの基底\begin{eqnarray*}v &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
3\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
-1\end{array}\right) \right\} \\
w &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。以下のベクトル\begin{equation*}
x=\left(
\begin{array}{c}
3 \\
5 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}について、\begin{eqnarray*}
&&\left[ x\right] _{v} \\
&&\left[ x\right] _{w}
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
3\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
-1\end{array}\right) \right\} \\
w &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。以下のベクトル\begin{equation*}
x=\left(
\begin{array}{c}
3 \\
5 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}について、\begin{eqnarray*}
&&\left[ x\right] _{v} \\
&&\left[ x\right] _{w}
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。
問題（ゼロベクトルの座標）
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における基底\begin{equation*}\beta =\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\}
\end{equation*}を任意に選んだとき、\(\beta \)のもとでのゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)の座標は、\begin{equation*}\left[ 0\right] _{\beta }=0
\end{equation*}となることを示してください。
\end{equation*}を任意に選んだとき、\(\beta \)のもとでのゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)の座標は、\begin{equation*}\left[ 0\right] _{\beta }=0
\end{equation*}となることを示してください。
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