弧の定義とその表現

弧のベクトル方程式

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する曲線について簡単に復習します。媒介変数\(t\)が区間\(I\subset \mathbb{R} \)上の値をとり得る状況を想定した上で、媒介変数のそれぞれの値\(t\in I\)に対して、その値に対応する点の位置ベクトル\begin{equation*}f\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を特定する1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、このベクトル値関数\(f\)の値域\begin{eqnarray*}C\left( f\right) &=&\left\{ f\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in I\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in I\right\}
\end{eqnarray*}を\(f\)から定義される曲線（curve）やパラメータ付き曲線（parametrized curve）などと呼びます。

曲線\(C\left( f\right) \)の要素であるそれぞれの点\(X\)の位置ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は何らかのスカラー\(t\in I\)を用いて、\begin{equation*}x=f\left( t\right)
\end{equation*}という形で表すことができます。そのことを、\begin{equation*}
x=f\left( x\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}で表記し、これを曲線のベクトル方程式（vector equation of a curve）と呼びます。このとき、曲線\(C\left( f\right) \)上に存在するすべての点の位置ベクトルからなる集合は、\begin{eqnarray*}C\left( f\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in I:x=f\left( t\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in I:\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となるため、これをベクトル値関数\(f\)から定義される曲線の定義とすることもできます。

\(t_{0}<t_{1}\)を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in I\)を任意に選んだ上で、曲線のベクトル方程式\begin{equation*}x=f\left( t\right)
\end{equation*}の媒介変数\(t\)がとり得る値の範囲を\(t_{0},t_{1}\)を端点とする有界閉区間\begin{equation*}\left[ t_{0},t_{1}\right] =\left\{ t\in I\ |\ t_{0}\leq t\leq t_{1}\right\}
\end{equation*}に制限します。そのことを、\begin{equation*}
x=f\left( t\right) \quad \left( t_{0}\leq t\leq t_{1}\right)
\end{equation*}で表記し、これを弧のベクトル方程式（vector equation of an arc）と呼びます。媒介変数\(t\)がとり得る値の範囲を\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)に制限した場合には曲線\(C\left( f\right) \)の部分集合\begin{equation*}C\left( f,\left[ t_{0},t_{1}\right] \right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] :x=f\left( t\right) \right\}
\end{equation*}が得られますが、これを弧（arc）と呼びます。

媒介変数の値が\(t=t_{0}\)である場合の点の位置ベクトルは、\begin{equation*}f\left( t_{0}\right)
\end{equation*}ですが、これを弧の始点（initial point）の位置ベクトルと呼びます。また、媒介変数の値が\(t=t_{1}\)である場合の点の位置ベクトルは、\begin{equation*}f\left( t_{1}\right)
\end{equation*}ですが、これを弧の終点（terminal point）の位置ベクトルと呼びます。媒介変数\(t\)の値が\(t_{0}\)から\(t_{1}\)まで変化するにともない、点は弧の始点を出発点として曲線\(C\left( f\right) \)上を移動し、最終的に弧の終点へ到達します。

弧の定義を踏まえると、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の関係\begin{equation*}x\in C\left( f,\left[ t_{0},t_{1}\right] \right) \Leftrightarrow \exists
t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] :x=f\left( t\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、点\(x\)が弧\(C\left( f,\left[t_{0},t_{1}\right] \right) \)上の点であることとベクトル方程式\(x=f\left( t\right) \)の解が\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上に存在することは必要十分です。逆に、以下の関係\begin{equation*}x\not\in C\left( f,\left[ t_{0},t_{1}\right] \right) \Leftrightarrow \forall
t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] :x\not=f\left( t\right)
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、点\(x\)が弧\(C\left(f,\left[ t_{0},t_{1}\right] \right) \)上の点ではないこととベクトル方程式\(x=f\left( t\right) \)の解が\(\left[t_{0},t_{1}\right] \)上に存在しないことは必要十分です。

弧の媒介変数表示

繰り返しになりますが、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)から定義される曲線\(C\left( f\right) \)のベクトル方程式\begin{equation*}x=f\left( t\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}および\(t_{0}<t_{1}\)を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in I\)が与えられれば、曲線\(C\left( f\right) \)上に存在する弧のベクトル方程式は、\begin{equation*}x=f\left( t\right) \quad \left( t_{0}\leq t\leq t_{1}\right)
\end{equation*}と表現されます。このベクトル方程式を成分ごとに分解して表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
x_{n}=f_{n}\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t_{0}\leq t\leq t_{1}\right)
\end{equation*}を得ます。これを弧の媒介変数表示（parametric equatioins of an arc）と呼びます。

演習問題