曲線（媒介変数曲線）の定義とその表現

曲線（媒介変数曲線）

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する曲線をどのような形で定式化できるでしょうか。直線は特別な曲線であるため、直線の定義について復習した後に、それを一般化する形で曲線の概念を定式化します。

直線上にある点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と直線の方向ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、直線のベクトル方程式は、媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}と表現されるため、直線上のすべての点の位置ベクトルからなる集合、すなわち直線は、\begin{equation*}
L\left( p,v\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\}
\end{equation*}と定まります。以上がベクトル方程式を用いた直線の定義です。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\left( p,v\right) \)がベクトル方程式\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}によって表現されているものとします。このとき、媒介変数のそれぞれの値\(t\in \mathbb{R} \)に対して、その値に対応する直線上の点の位置ベクトル\begin{equation*}f\left( t\right) =p+tv
\end{equation*}を特定する1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。すると、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in L\left( p,v\right) &\Leftrightarrow &\exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\quad \because L\left( p,v\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists t\in \mathbb{R} :x=f\left( t\right) \quad \because f\left( t\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、直線を、\begin{equation*}
L\left( p,v\right) =\left\{ f\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\left( p,v\right) \)を上のように定義されたベクトル値関数\(f\)の値域として表現できるということです。

以上を念頭においた上で、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線に限定されない曲線についても、それをベクトル値関数の値域として定義します。つまり、媒介変数\(t\)が区間\(I\subset \mathbb{R} \)上の値をとり得る状況を想定した上で、媒介変数のそれぞれの値\(t\in I\)に対して、その値に対応する点の位置ベクトル\begin{equation*}f\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を特定する1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、このベクトル値関数の値域\begin{equation*}
\left\{ f\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in I\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in I\right\}
\end{equation*}を曲線（curve）や媒介変数曲線（parametrized curve）またはパラメータ付き曲線などと呼びます。その上で、ベクトル値関数\(f\)から定義される曲線を、\begin{equation*}C\left( f\right) =\left\{ f\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in I\right\}
\end{equation*}で表記するものと定めます。

例（円）

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このベクトル値関数\(f\)から定義される平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の曲線は、\begin{equation*}C\left( f\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、これを円（circle）と呼びます。

例（螺旋）

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このベクトル値関数\(f\)から定義される空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲線は、\begin{equation*}C\left( f\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、これを螺旋（helix）と呼びます。

曲線のベクトル方程式

繰り返しになりますが、区間上に定義されたベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられれば、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の曲線が、\begin{equation*}C\left( f\right) =\left\{ f\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in I\right\}
\end{equation*}と定義されます。この曲線上に存在するそれぞれの点\(X\)の位置ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は何らかのスカラー\(t\in I\)を用いて、\begin{equation*}x=f\left( t\right)
\end{equation*}という形で表すことができます。そのことを、\begin{equation*}
x=f\left( t\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}で表記し、これを曲線のベクトル方程式（vector equation of a curve）と呼びます。ちなみに、ベクトル値関数\(f\)の定義域\(I\)が全区間\(\mathbb{R} \)である場合には、曲線\(C\left( f\right) \)のベクトル方程式を、\begin{equation*}x=f\left( t\right)
\end{equation*}と簡略的に表記することもできます。

改めて整理すると、区間上に定義されたベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、曲線\(C\left( f\right) \)のベクトル方程式は、\begin{equation*}x=f\left( t\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}と表現されるため、曲線\(C\left( f\right) \)上のすべての点の位置ベクトルからなる集合は、\begin{equation*}C\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in I:x=f\left( t\right) \right\}
\end{equation*}となるため、これをベクトル値関数\(f\)から定義される曲線の定義とすることもできます。

曲線の定義を踏まえると、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の関係\begin{equation*}x\in C\left( f\right) \Leftrightarrow \exists t\in I:x=f\left( t\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、点\(x\)が曲線\(C\left( f\right) \)上の点であることとベクトル方程式\(x=f\left( t\right) \)の解\(t\in I\)が存在することは必要十分です。逆に、以下の関係\begin{equation*}x\not\in C\left( f\right) \Leftrightarrow \forall t\in \mathbb{R} :x\not=f\left( t\right)
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、点\(x\)が曲線\(C\left( f\right) \)上の点ではないこととベクトル方程式\(x=f\left( t\right) \)の解\(t\in I\)が存在しないことは必要十分です。

曲線の媒介変数表示

繰り返しになりますが、区間上に定義されたベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)から定義される空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の曲線\(C\left( f\right) \)のベクトル方程式は、\begin{equation*}x=f\left( t\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}と定義されます。このベクトル方程式を成分ごとに分解して表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
x_{n}=f_{n}\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}を得ます。ただし、\(x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)はベクトル\(x\)の第\(i\)成分であり、\(f_{i}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はベクトル値関数\(f\)の成分関数です。これを曲線の媒介変数表示（parametric equations of a curve）と呼びます。

曲線の方程式

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線のベクトル方程式は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、その一方で、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線は方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0
\end{equation*}を用いて表現することもできます。ただし、\(a_{1},a_{2},b\in \mathbb{R} \)であるとともに\(a_{1}\)と\(a_{2}\)の少なくとも一方は非ゼロです。いずれにせよ、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線については、媒介変数\(t\)を利用せずに方程式を用いて表現できるということです。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する曲線についても、媒介変数を使わずに方程式を用いてそれを表現できるのでしょうか。まずは具体例を挙げます。

改めて整理すると、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)から定義される曲線は、\begin{equation*}C\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in I:x=f\left( t\right) \right\}
\end{equation*}ですが、この曲線\(C\left(f\right) \)を念頭においたとき、何らかの多変数関数\(F:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のもとで、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の関係\begin{equation*}\exists t\in I:x=f\left( t\right) \Leftrightarrow F\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つのであれば、先の曲線を、\begin{equation*}
C\left( f\right) =\left\{ x\in X\ |\ F\left( x\right) =0\right\}
\end{equation*}と表現できます。つまり、曲線\(C\left( f\right) \)に対して以上の条件を満たす多変数関数\(F\)が存在する場合、方程式\begin{equation*}F\left( x\right) =0
\end{equation*}によって曲線\(C\left( f\right) \)を表現できるということです。この方程式を曲線の方程式（equation of a curve）と呼びます。

演習問題