LEBESGUE INTEGRAL

ルベーグ積分

OVERVIEW

ルベーグ積分

ルベーグ積分とは測度論を用いてより一般的な関数に対して積分を定義する手法です。ルベーグ積分を用いることにより、リーマン積分では積分できなかった様々な関数が積分可能になります。

OUTLINE

TABLE OF CONTENTS

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの単関数がとり得る値の間に一方的な大小関係が成立する場合、両者のルベーグ積分の間にも同様の大小関係が成立します。また、単関数の絶対値のルベーグ積分は、もとの単関数のルベーグ積分の絶対値以上になります。

LEBESGUE INTEGRAL OF BOUNDED FUNCTION

有界関数のルベーグ積分

単関数のルベーグ積分を踏まえた上で、有限測度を持つ可測集合上に定義された有界関数のルベーグ積分を定義します。

有界関数のルベーグ積分（上ルベーグ積分・下ルベーグ積分）

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された有界関数の上ルベーグ積分と下ルベーグ積分の値が一致する場合、この関数はルベーグ積分可能であると言います。

有界関数のルベーグ積分とリーマン積分の関係

有界閉区間上に定義された有界関数がリーマン積分可能である場合にはルベーグ積分可能である一方で、ルベーグ積分可能な関数はリーマン積分可能であるとは限りません。したがって、ルベーグ積分はリーマン積分の拡張です。

有界関数のルベーグ積分可能性とルベーグ可測性の関係

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数がルベーグ可測関数である場合には、その関数はルベーグ積分可能であることが保証されます。

有界関数の定数倍のルベーグ積分

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数がルベーグ積分可能である場合、その定数倍として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。

有界関数どうしの和のルベーグ積分

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された2つの有界関数がルベーグ積分可能である場合、それらの和として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。

有界関数どうしの差のルベーグ積分

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された2つの有界関数がルベーグ積分可能である場合、それらの差として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。

有界関数のルベーグ積分の加法性

有限測度を持つルベーグ可測集合上に有界なルベーグ可測関数が定義されている状況においてその集合を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分が得られます。

有界関数のルベーグ積分の単調性

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された2つの有界関数の間に一方的な大小関係が成立する場合、両者のルベーグ積分の間にも同様の大小関係が成立します。また、有界関数の絶対値のルベーグ積分は、もとの関数のルベーグ積分の絶対値以上になります。

有界収束定理（有界なルベーグ可測関数列の極限のルベーグ積分）

有界なルベーグ可測関数列が一様収束する場合、その関数列のルベーグ積分からなる数列の極限は、一様極限のルベーグ積分と一致します。また、一様有界なルベーグ可測関数列が各点収束する場合、その関数列のルベーグ積分からなる数列の極限は、各点極限のルベーグ積分と一致します。

LEBESGUE INTEGRAL OF NONNEGATIVE LEGESGUE MEASURABLE FUNCTION

非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分

有限測度を持つとは限らないルベーグ可測集合上に定義されるとともに、有界であるとは限らない非負値をとる一般のルベーグ可測を対象に、そのルベーグ積分を定義します。

非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分

有限な台を持つ有界なルベーグ可測関数のルベーグ積分の概念を定義するとともに、それを土台に、非負値をとる一般的なルベーグ可測関数のルベーグ積分の概念を定義します。

非負値をとるルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分

非負値をとるルベーグ可測関数の定数倍として定義されるルベーグ可測関数のルベーグ積分は、もとの可測関数のルベーグ積分の定数倍と一致します。

非負値をとるルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分

非負値をとるルベーグ可測関数のどうしの和として定義されるルベーグ可測関数のルベーグ積分は、もとの可測関数のルベーグ積分どうしの和と一致します。

非負値をとるルベーグ可測関のルベーグ積分の加法性

ルベーグ可測集合上に定義された非負値をとるルベーグ可測関数が定義されている状況においてその集合を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分が得られます。

非負値をとるルベーグ可測関のルベーグ積分の単調性

非負値をとる2つのルベーグ可測関数の間に一方的な大小関係が成立する場合、両者のルベーグ積分の間にも同様の大小関係が成立します。以上の性質を単調性と呼びます。

非負値をとるルベーグ可測関数に関するチェビシェフの不等式

非負値をとるルベーグ可測関数の形状が分からない場合でも、ルベーグ積分の値さえ明らかであれば、その関数が特定の値以上になるような変数の値からなるルベーグ可測集合の測度が収まる範囲を特定できます。

ファトゥの補題と単調収束定理

非負値をとるルベーグ可測関数列が各点収束する場合、各点極限のルベーグ積分は、関数列の要素である個々の関数のルベーグ積分からなる列の下極限以下になります（ファトゥの補題）。特に、関数列が増加列である場合、両者は一致します（単調収束定理）。

非負値関数のルベーグ積分と第2種の広義リーマン積分の関係

区間上に定義された非負値をとるルベーグ可測関数が第2種の広義リーマン積分可能である場合、その関数はルベーグ積分可能になるとともに、両者の積分の値は一致します。

非負値関数のルベーグ積分と第1種の広義リーマン積分の関係

無限区間上に定義された非負値をとるルベーグ可測関数が第1種の広義リーマン積分可能である場合、その関数はルベーグ積分可能になるとともに、両者の積分の値は一致します。

LEBESGUE INTEGRAL OF GENERAL LEGESGUE MEASURABLE FUNCTION

一般のルベーグ可測関数のルベーグ積分

一般のルベーグ可測関数を対象としたルベーグ積分を定義します。

一般のルベーグ可測関数のルベーグ積分

非負値をとるルベーグ可測関数を対象としたルベーグ積分を前提とした上で、一般のルベーグ可測関数のルベーグ積分を定義します。

ルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分

ルベーグ可測関数がルベーグ積分可能である場合、その定数倍として定義されるルベーグ可測関数もまたルベーグ積分可能であるとともに、そのルベーグ積分はもとの関数のルベーグ積分の定数倍と一致します。

ルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分

2つのルベーグ可測関数がルベーグ積分可能である場合、それらの和として定義されるルベーグ可測関数もまたルベーグ積分可能であるとともに、そのルベーグ積分はもとの2つの関数のルベーグ積分の和と一致します。

ルベーグ可測関数どうしの差のルベーグ積分

2つのルベーグ可測関数がルベーグ積分可能である場合、それらの差として定義されるルベーグ可測関数もまたルベーグ積分可能であるとともに、そのルベーグ積分はもとの2つの関数のルベーグ積分の差と一致します。