ルベーグ積分
ルベーグ積分とは測度論を用いてより一般的な関数に対して積分を定義する手法です。ルベーグ積分を用いることにより、リーマン積分では積分できなかった様々な関数が積分可能になります。
学習内容
単関数のルベーグ積分
単関数を対象にルベーグ積分の概念を定義するとともに、その性質について解説します。
有界関数のルベーグ積分
単関数のルベーグ積分を踏まえた上で、有限測度を持つ可測集合上に定義された有界関数のルベーグ積分を定義します。
非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分
有限測度を持つとは限らないルベーグ可測集合上に定義されるとともに、有界であるとは限らない非負値をとる一般のルベーグ可測を対象に、そのルベーグ積分を定義します。
一般のルベーグ可測関数のルベーグ積分
一般のルベーグ可測関数を対象としたルベーグ積分を定義します。
一様可積分性
ルベーグ可測関数系が一様可積分であることの意味を定義します。
関連分野
論理学は、数学における証明や推論の基礎となる分野です。命題論理や述語論理を通じて、論理式、真理値、量化記号、証明の考え方を体系的に解説します。大学数学や理論的な学問を学ぶための出発点となる教材を提供しています。
集合論は現代数学の共通言語です。集合、写像、関係、濃度、順序関係を中心に、数学のさまざまな分野を理解するための基礎概念を体系的に解説します。実数論、線形代数学、位相空間論などへ進むための土台を築きます。
ユークリッド空間は、現代数学における解析学と幾何学の出発点です。点列、位相、ベクトル値関数、多変数関数を通じて、高次元空間における極限・連続性・収束の概念を学びます。位相空間論や最適化理論へ進むための重要な基礎を体系的に解説します。
微分積分学では、関数の変化や空間の構造を解析するための基礎理論を学びます。1変数関数からベクトル値関数、スカラー場・ベクトル場、最適化問題までを体系的に扱い、多変数解析学や最適化理論への橋渡しを行います。
長さや面積、体積などはいずれも同一種類の小さい量を加え合わせることでより大きな量をつくることができるという意味において外延的な量です。一般に、外延量は測度と呼ばれる概念として一般化されます。ここでは実数空間（数直線）の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。
ルベーグ集合上に定義された関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数をルベーグ可測関数と呼びます。代表的な可測関数について、その性質を解説します。
