有界関数どうしの差のルベーグ積分
実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}0\leq \mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。その上で、\(X\)を定義域とする2つの有界な関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)および\(g\)の値域\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
g\left( X\right) &=&\left\{ g\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。
以上の状況において関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。関数\(f,g\)がともにルベーグ積分可能である場合には関数\(f-g\)もまたルベーグ積分可能であるとともに、これらの関数のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f-g\right) d\mu =\int_{X}fd\mu -\int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、関数\(f,g\)のルベーグ積分の差をとれば、それは関数\(f-g\)のルベーグ積分と一致します。
\end{equation*}が成り立つ。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数はルベーグ積分可能であるため\(f,g\)は\(X\)上においてルベーグ積分可能です。関数\begin{equation*}f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。すると先の命題より\(f-g\)もまた\(X\)上においてルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f-g\right) d\mu =\int_{X}fd\mu -\int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに\(X\)上においてルベーグ積分可能であるものとします。実数\(\alpha ,\beta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の関数\begin{equation*}\alpha f-\beta g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これもまた\(X\)上に定義された有界関数であるとともにルベーグ積分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}\int_{X}\left( \alpha f-\beta g\right) d\mu &=&\int_{X}\alpha fd\mu
-\int_{X}\beta gd\mu \quad \because \text{有界関数の差のルベーグ積分} \\
&=&\alpha \int_{X}fd\mu -\beta \int_{X}gd\mu \quad \because \text{有界関数の定数倍のルベーグ積分}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}\left( \alpha f-\beta g\right) d\mu =\alpha \int_{X}fd\mu -\beta
\int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。
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