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ルベーグ積分

有界関数どうしの差のルベーグ積分

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有界なルベーグ可測関数どうしの差のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの有界なルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)および\(g\)の値域\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
g\left( X\right) &=&\left\{ g\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}がともに有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数はルベーグ積分可能であるため、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上でルベーグ積分可能です。したがって、\(f\)および\(g\)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{eqnarray*}\int_{X}f &=&\overline{\int }_{X}f=\underline{\int }_{X}f \\
\int_{X}g &=&\overline{\int }_{X}g=\underline{\int }_{X}g
\end{eqnarray*}としてそれぞれ定まります。

以上の状況において、関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ルベーグ可測関数どうしの差として定義される関数はルベーグ可測関数であるため、\(f-g\)もまた\(X\)上に定義された有界なルベーグ可測関数です。したがって、\(f-g\)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{equation*}\int_{X}\left( f-g\right) =\overline{\int }_{X}\left( f-g\right) =\underline{\int }_{X}\left( f-g\right)
\end{equation*}として定まります。

以上の状況において、関数\(f-g\)のルベーグ積分ともとの関数\(f,g\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f-g\right) =\int_{X}f-\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、ルベーグ可測関数\(f,g\)のルベーグ積分の差をとれば、それはルベーグ可測関数\(f-g\)のルベーグ積分と一致します。

命題(有界なルベーグ可測関数どうしの差のルベーグ積分)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとする。この場合、\(f\)と\(g\)はともに\(X\)上でルベーグ積分可能である。関数\begin{equation*}f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、\(f-g\)もまた\(X\)上に定義された有界なルベーグ可測関数であるため、\(f-g\)もまた\(X\)上で積分可能である。この場合、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f-g\right) =\int_{X}f-\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つ。

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例(有界なルベーグ可測関数どうしの差のルベーグ積分)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。実数\(\alpha,\beta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の関数\begin{equation*}\alpha f-\beta g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これもまた\(X\)上に定義された有界なルベーグ可測関数になります。さらに、\begin{eqnarray*}\int_{X}\left( \alpha f-\beta g\right) &=&\int_{X}\alpha f-\int_{X}\beta
g\quad \because \text{有界なルベーグ可測関数の差のルベーグ積分} \\
&=&\alpha \int_{X}f-\beta \int_{X}g\quad \because \text{有界なルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}\left( \alpha f-\beta g\right) =\alpha \int_{X}f-\beta \int_{X}g
\end{equation*}を得ます。

 

有界かつルベーグ積分可能な関数どうしの差のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの有界な関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)および\(g\)の値域\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
g\left( X\right) &=&\left\{ g\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}がともに有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。

加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合、\(f\)および\(g\)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{eqnarray*}\int_{X}f &=&\overline{\int }_{X}f=\underline{\int }_{X}f \\
\int_{X}g &=&\overline{\int }_{X}g=\underline{\int }_{X}g
\end{eqnarray*}としてそれぞれ定まります。

以上の状況において、関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これもまた\(X\)上に定義された有界な関数ですが、この関数もまた\(X\)上でルベーグ可測になることが保証されます。加えて、関数\(f-g\)のルベーグ積分ともとの2つの関数\(f,g\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f-g\right) =\int_{X}f-\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、もとの関数\(f,g\)のルベーグ積分の差をとれば、それは関数\(f-g\)のルベーグ積分と一致します。

命題(有界かつルベーグ積分可能な関数の差のルベーグ積分)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとする。関数\begin{equation*}f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、\(f-g\)もまた\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f-g\right) =\int_{X}f-\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つ。

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例(有界関数どうしの差のルベーグ積分)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。実数\(\alpha,\beta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の関数\begin{equation*}\alpha f-\beta g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これもまた\(X\)上に定義された有界関数になります。さらに、\begin{eqnarray*}\int_{X}\left( \alpha f-\beta g\right) &=&\int_{X}\alpha f-\int_{X}\beta
g\quad \because \text{有界関数の差のルベーグ積分} \\
&=&\alpha \int_{X}f-\beta \int_{X}g\quad \because \text{有界関数の定数倍のルベーグ積分}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}\left( \alpha f-\beta g\right) =\alpha \int_{X}f-\beta \int_{X}g
\end{equation*}を得ます。

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