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ルベーグ積分

非負値をとるルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分

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非負値をとるルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられている状況を想定します。加えて、\(f\)は非負値をとるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分は、\begin{eqnarray*}\int_{X}f &=&\sup \left\{ \int_{X}g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq f\wedge \mu \left(
g^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \right) <+\infty \right\} \\
&=&\sup \left\{ \left. \int_{A}g\in \mathbb{R} \right\vert \left.
\begin{array}{c}
g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq f\wedge \\
A\in \mathfrak{M}_{\mu }\wedge A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <+\infty
\wedge \forall x\in X\backslash A:g\left( x\right) =0\end{array}\right. \right\}
\end{eqnarray*}と定義されますが、これは非負の拡大実数として定まります。特に、これが有限な実数として定まる場合、すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}f<+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であると言います。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。これらがともに非負値をとる場合、\(f\)および\(g\)の\(X\)上でのルベーグ積分\begin{eqnarray*}&&\int_{X}f \\
&&\int_{X}g
\end{eqnarray*}が非負の拡大実数としてそれぞれ定まります。

以上の状況において、拡大実数値関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。ルベーグ可測関数どうしの和として定義される関数はルベーグ可測関数であるため\(f+g\)もまたルベーグ可測です。また、\(f\left( x\right) \)と\(g\left(x\right) \)は非負の実数または正の無限大であるため、それらの和もまた非負の実数または正の無限大であり、したがって、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq \left( f+g\right) \left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}を得ます。つまり、\(f+g\)もまた非負値をとるため、\(f+g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right)
\end{equation*}が非負の拡大実数として定まります。

以上の状況において、関数\(f+g\)のルベーグ積分ともとの関数\(f,g\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、非負の値をとるルベーグ可測関数\(f,g\)のルベーグ積分の和をとれば、それは非負の値をとるルベーグ可測関数\(f+g\)のルベーグ積分と一致します。さらに、関数\(f,g\)がともに\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、関数\(f+g\)もまた\(X\)上でルベーグ積分可能になります。

命題(非負値をとるルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとする。関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、\(f+g\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数になる。このとき、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つ。加えて、\(f\)と\(g\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であるならば、\(f+g\)もまた\(X\)上でルベーグ積分可能になる。
証明

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例(非負値をとるルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。正の実数\(\alpha ,\beta >0\)を任意に選んだ上で、以下の関数\begin{equation*}\alpha f+\beta g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、これもまた\(X\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数になります。さらに、\begin{eqnarray*}\int_{X}\left( \alpha f+\beta g\right) &=&\int_{X}\alpha f+\int_{X}\beta
g\quad \because \text{非負値をとるルベーグ可測関数の和のルベーグ積分} \\
&=&\alpha \int_{X}f+\beta \int_{X}g\quad \because \text{非負値をとるルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}\left( \alpha f+\beta g\right) =\alpha \int_{X}f+\beta \int_{X}g
\end{equation*}を得ます。以上の性質を非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分の線形性(linearity)と呼びます。また、\(f\)と\(g\)がともに\(X\)上でルベーグ積分可能である場合、\(\alpha f+\beta g\)もまた\(X\)上でルベーグ積分可能です。

 

非負値をとるルベーグ可測関数どうしの差のルベーグ積分

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられたとき、以下の関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}は定義可能であるとは限りません。具体例を挙げると、何らかの点\(x\in X\)において、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&+\infty \\
g\left( x\right) &=&+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合、その点\(x\)において、\begin{eqnarray*}\left( f-g\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) -g\left( x\right) \\
&=&\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right)
\end{eqnarray*}となり、これは不定形になってしまうからです。

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