非負値をとるルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分

非負値をとるルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義され、非負値をとる2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。つまり、\begin{eqnarray*}
\forall x &\in &X:0\leq f\left( x\right) \leq +\infty \\
\forall x &\in &X:0\leq g\left( x\right) \leq +\infty
\end{eqnarray*}が成り立つということです。

以上の状況において拡大実数値関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。ルベーグ可測関数どうしの和として定義される関数はルベーグ可測であるため、\(f+g\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数であることに注意してください。また、\(f,g\)はともに非負値をとるため\(f+g\)もまた非負値をとります。関数\(f,g\)のルベーグ積分と関数\(f+g\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) d\mu =\int_{X}fd\mu +\int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。しかも、\(f,g\)がともにルベーグ積分可能である場合には\(f+g\)もまたルベーグ積分可能になります。つまり、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu <+\infty \wedge \int_{X}gd\mu <+\infty \Rightarrow
\int_{X}\left( f+g\right) d\mu <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

非負値をとるルベーグ可測関数どうしの差のルベーグ積分

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられたとき、以下の関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}は定義可能であるとは限りません。具体例を挙げると、何らかの点\(x\in X\)において、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&+\infty \\
g\left( x\right) &=&+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合、その点\(x\)において、\begin{eqnarray*}\left( f-g\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) -g\left( x\right) \\
&=&\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right)
\end{eqnarray*}となり、これは不定形になってしまうからです。