ルベーグの支配収束定理
実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。
実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するとともに、\begin{equation*}\forall x\in X:f_{1}\left( x\right) \leq f_{2}\left( x\right) \leq \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu
\end{equation*}が成り立ちます(単調収束定理)。では、非負値をとるとは限らない拡大実数値ルベーグ可測関数列について同様の主張が成り立つことを保証するためには、その間数列はどのような条件を満たしていればよいのでしょうか。順番に考えます。
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するものとします。つまり、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) =f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。ルベーグ可測関数列の各点極限はルベーグ可測であるため、\(f\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数であることに注意してください。
以上の関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)に対して、以下の3つの条件を満たす拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が存在する状況を想定します。
1つ目の条件は、関数\(g\)は\(X\)上において非負値をとること、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq g\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}すなわち、\(X\)上において、\begin{equation*}0\leq g\leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。
2つ目の条件は、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素である任意の関数\(f_{n}\)について、\(g\)が定める値が\(\left\vert f_{n}\right\vert \)が定める値以上であること、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X:\left\vert f_{n}\left( x\right) \right\vert \leq g\left(
x\right)
\end{equation*}すなわち、\(X\)上において、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\left\vert f_{n}\right\vert \leq g
\end{equation*}が成り立つということです。このことを指して、\(X\)上において関数\(g\)は関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)を支配する(dominate)と言います。
3つ目の条件は、\(g\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能であるということ、すなわち、\begin{equation*}\int_{X}gd\mu <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。
以上の条件が満たされる場合、ルベーグ積分に関する比較判定法より、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の要素である関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも\(X\)上においてルベーグ積分可能です。したがって、これらの関数の\(X\)上におけるルベーグ積分からなる実数列\begin{equation*}\left\{ \int_{X}f_{n}d\mu \right\} =\left\{ \int_{X}f_{1}d\mu
,\int_{X}f_{2}d\mu ,\cdots \right\}
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu
\end{equation*}をとることができます。ただし、現時点において、この極限が有限な実数として定まるか明らかではありません。また、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の各点極限である関数\(f\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能であるかも明らかではありません。
関数\(g\)は関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)を支配するため、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X:\left\vert f_{n}\left( x\right) \right\vert \leq g\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、極限についても、\begin{equation*}
\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert f_{n}\left( x\right)
\right\vert \leq \lim_{n\rightarrow +\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert f_{n}\left( x\right)
\right\vert \leq g\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。その一方で、関数\(f\)は関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の各点極限であるため、\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) =f\left(
x\right)
\end{equation*}です。したがって、\begin{equation}
\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert f_{n}\left( x\right)
\right\vert =\left\vert f\left( x\right) \right\vert \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\forall x\in X:\left\vert f\left( x\right) \right\vert \leq g\left( x\right)
\end{equation*}を得るため、ルベーグ積分に関する比較判定法より、関数\(f\)もまた\(X\)上においてルベーグ積分可能であるため、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。しかも、これは先の実数列\(\left\{ \int_{X}f_{n}d\mu \right\} \)の極限と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu =\int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立つということです。これをルベーグの支配収束定理(lebesgue dominated convergence theorem)やルベーグの優収束定理、もしくはルベーグの収束定理などと呼びます。
x\right)
\end{equation*}を満たすとともに\(X\)上でルベーグ積分可能な拡大実数値ルベーグ可測関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が存在するならば、関数\(f_{1},f_{2},\cdots ,f\)はいずれも\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu =\int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立つ。
ルベーグの支配収束定理が要求する条件の吟味
ルベーグ関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)がルベーグ関数\(f\)へ各点収束する状況において、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)を支配するとともにルベーグ積分可能であるような非負値をとる関数\(g\)が存在する場合には、各点極限\(f\)のルベーグ積分と、関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)のルベーグ積分からなる数列の極限が一致すること、すなわち、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。他方で、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)を支配するとともにルベーグ積分可能であるような非負値をとる関数\(g\)が存在しない場合、同様の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
}\right) \left( x\right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
n & \left( if\ 0<x<\frac{1}{n}\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を値として定める関数\begin{equation*}
f_{n}:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。\(f_{n}\)はルベーグ可測集合\(\left( 0,1\right) \)上に定義されたルベーグ可測関数です。さらに、それぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(\left\{f_{n}\right\} \)は\(f\)へ各点収束します。その一方で、以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \left( 0,1\right) :\left\vert f_{n}\left( x\right)
\right\vert \leq g\left( x\right)
\end{equation*}を満たすとともに\(\left(0,1\right) \)上でルベーグ積分可能なルベーグ可測関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は存在しません。したがって、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)はルベーグの支配収束定理が要求する条件を満たしません。さらに、\begin{equation*}\int_{\left( 0,1\right) }fd\mu \not=\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{\left(
0,1\right) }f_{n}d\mu
\end{equation*}が成り立ちます(演習問題)。
ルベーグの支配収束定理を用いたルベーグ積分列の収束判定
ルベーグの支配収束定理を踏まえると、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)のルベーグ積分列\(\left\{ \int_{X}f_{n}\right\} \)の極限を以下の手順によって評価できます。
- 与えられたベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の各点極限に相当する関数\(f\)を特定する。
- 関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)を支配するルベーグ可測関数\(g\)を選んだ上で、\(g\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であることを確認する。以上の条件が満たされる場合、\(\left\{ \int_{X}f_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束する実数列になる。
- 関数\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分を計算する。これは有限な実数として定まるとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu =\int_{X}fd\mu \end{equation*}が成り立つ。
\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{\left[ 0,1\right] }\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}d\mu
\end{equation*}を特定します。関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項である関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}
\end{equation*}と定義します。\(f_{n}\)は連続関数であるためルベーグ可測関数です。点\(x\in (0,1]\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}\quad \because f_{n}\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{\frac{1}{nx}+nx}\quad \because x\in
(0,1] \\
&=&\frac{1}{0+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、点\(x=0\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( 0\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\(\left[ 0,1\right] \)上において\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(f\)へ各点収束します。番号\(n\in \mathbb{N} \)と点\(x\in (0,1]\)については、\begin{eqnarray*}\left\vert f_{n}\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert \frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}\right\vert \quad \because f_{n}\text{の定義}
\\
&=&\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}\quad \because n\in \mathbb{N} \text{かつ}x\in (0,1] \\
&=&\frac{1}{\frac{1}{nx}+nx}\quad \because n\in \mathbb{N} \text{かつ}x\in (0,1] \\
&=&\frac{1}{\left( \sqrt{nx}-\frac{1}{\sqrt{nx}}\right) ^{2}+2} \\
&\leq &\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}が成り立ち、番号\(n\in \mathbb{N} \)と点\(x=0\)については、\begin{eqnarray*}\left\vert f_{n}\left( 0\right) \right\vert &=&\left\vert 0\right\vert \\
&=&0 \\
&\leq &\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}が成り立つため、関数\(g:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}と定義すれば、\(\left[ 0,1\right] \)上において\(\left\vert f_{n}\right\vert \leq g\)が成り立ちます。さらに、\begin{eqnarray*}\int_{\left[ 0,1\right] }gd\mu &=&\int_{\left[ 0,1\right] }\frac{1}{2}d\mu
\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot \mu \left( \left[ 0,1\right] \right) \\
&=&\frac{1}{2}\left( 1-0\right) \\
&=&\frac{1}{2} \\
&<&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、\(g\)は\(\left[ 0,1\right]\)上でルベーグ積分可能です。以上より、\(\left\{ f_{n}\right\} \)と\(g\)はルベーグの支配収束定理が要求する条件を満たすため、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{\left[ 0,1\right] }\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}d\mu &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{\left[ 0,1\right] }f_{n}d\mu
\quad \because f_{n}\text{の定義} \\
&=&\int_{\left[ 0,1\right] }fd\mu \quad \because \text{ルベーグの支配収束定理} \\
&=&\int_{\left[ 0,1\right] }0d\mu \quad \because f\text{の定義} \\
&=&0\cdot \mu \left( \left[ 0,1\right] \right) \\
&=&0\left( 1-0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得ます。
ルベーグの支配収束定理を用いたルベーグ積分可能性の判定
ルベーグの支配収束定理を踏まえると、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)のルベーグ積分可能性およびそのルベーグ積分を以下の手順で判定できます。
- \(X\)上において\(f\)へ各点収束するルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)を選ぶ。
- \(X\)上において\(\left\{ f_{n}\right\} \)を支配するルベーグ可測関数\(g\)を選んだ上で、\(g\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であることを確認する。以上の条件が満たされる場合、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能である。
- 以上の条件が満たされる場合、ルベーグ積分列\(\left\{ \int_{X}f_{n}d\mu \right\} \)は有限な実数へ収束する実数列であるとともに、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu \end{equation*}が成り立つ。
\int_{\lbrack 0,+\infty )}e^{-x^{2}}d\mu
\end{equation*}を特定します。関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項である関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \lbrack 0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =e^{-x^{2}}\cdot \chi _{\left[ 0,n\right] }\left(
x\right)
\end{equation*}と定義します。連続関数はルベーグ可測であるため\(e^{-x^{2}}\)はルベーグ可測であり、ルベーグ可測集合に関する特性関数はルベーグ可測であるため\(\chi _{\left[ 0,n\right] }\left( x\right) \)はルベーグ可測です。また、ルベーグ可測関数どうしの積はルベーグ可測であるため\(f_{n}\)はルベーグ可測です。点\(x\in \lbrack 0,+\infty )\)を任意に選びます。\(n\rightarrow +\infty \)の場合には\(x\in \left[ 0,n\right] \)となるため、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }\left[ e^{-x^{2}}\cdot \chi _{\left[ 0,n\right] }\left( x\right) \right] \\
&=&e^{-x^{2}} \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(f\)へ各点収束します。関数\(g:\mathbb{R} \supset \lbrack 0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}g\left( x\right) =e^{-x^{2}}
\end{equation*}と定義すれば、\([0,+\infty )\)上において\(\left\vert f_{n}\right\vert \leq g\)が成り立ちます。さらに、\begin{eqnarray*}\int_{\lbrack 0,+\infty )}gd\mu &=&\int_{[0,+\infty )}e^{-x^{2}}d\mu \quad
\because g\text{の定義} \\
&=&\int_{[0,+\infty )}e^{-x^{2}}dx\quad \because \text{非負値関数のルベーグ積分と広義積分の関係} \\
&=&\frac{\sqrt{\pi }}{2} \\
&<&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、\(g\)は\([0,+\infty )\)上でルベーグ積分可能です。したがって、\(f\)は\([0,+\infty )\)上においてルベーグ積分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}\int_{\lbrack 0,+\infty )}fd\mu &=&\lim_{n\rightarrow +\infty
}\int_{[0,+\infty )}f_{n}d\mu \quad \because \text{ルベーグの支配収束定理} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{[0,+\infty )}e^{-x^{2}}\cdot \chi _{
\left[ 0,n\right] }d\mu \quad \because f_{n}\text{の定義}
\\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{\left[ 0,n\right] }e^{-x^{2}}d\mu \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{0}^{n}e^{-x^{2}}dx\quad \because \text{有界関数のルベーグ積分とリーマン積分の関係} \\
&=&\frac{\sqrt{\pi }}{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
演習問題
\end{equation*}が成り立ちます。実際には、\(X\)上のほとんどいたるところで\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(f\)へ各点収束し、なおかつ\(X\)上のほとんどいたるところで\(\left\{ f_{n}\right\} \)を支配するとともに\(X\)上でルベーグ積分可能な拡大実数値ルベーグ可測関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が存在する場合にも同様の主張が成り立つことを示してください。
}\right) \left( x\right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
n & \left( if\ 0<x<\frac{1}{n}\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を値として定める関数\begin{equation*}
f_{n}:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。さらに、それぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f_{n}\)はルベーグ可測集合\(\left(0,1\right) \)上に定義されたルベーグ可測関数であるとともに、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(f\)へ各点収束することを示してください。さらに、以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \left( 0,1\right) :\left\vert f_{n}\left( x\right)
\right\vert \leq g\left( x\right)
\end{equation*}を満たすとともに\(\left(0,1\right) \)上でルベーグ積分可能なルベーグ可測関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は存在しないことを示してください。さらに、\begin{equation*}
\int_{\left( 0,1\right) }fd\mu \not=\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{\left(
0,1\right) }f_{n}d\mu
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{\mathbb{R} }\frac{n\sin \left( \frac{x}{n}\right) }{x\left( x^{2}+1\right) }d\mu
\end{equation*}を求めてください。
\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{\left[ 0,1\right] }\frac{n\sin \left(
x\right) }{1+n^{2}\sqrt{x}}d\mu
\end{equation*}を求めてください。
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