有界関数のルベーグ積分可能性とルベーグ可測性の関係

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数はルベーグ積分可能

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられた状況において、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、ルベーグ測度\(\mu:\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)のもとで、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、\(X\)上に定義された有界な関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられている状況を想定します。つまり、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:L\leq f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(U\)は\(f\)の値域の上界であり、\(L\)は下界です。

加えて、この関数\(f\)はルベーグ可測関数であるものとします。有界なルベーグ可測関数に対しては単関数による近似補題が適用可能であるため、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合、それに対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ L_{\varepsilon }\leq f\leq U_{\varepsilon } \\
&&\left( b\right) \ 0\leq U_{\varepsilon }-L_{\varepsilon }<\varepsilon
\end{eqnarray*}を満たす単関数\begin{eqnarray*}
L_{\varepsilon } &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
U_{\varepsilon } &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在することが保証されます。

以上の事実を利用することにより、\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であることを示すことができます。つまり、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\)上に定義された有界なルベーグ可測関数は\(X\)上でルベーグ積分可能であるということです。