有界関数の定数倍のルベーグ積分

有界なルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数はルベーグ積分可能です。つまり、関数\(f\)の\(X\)上における上ルベーグ積分と下ルベーグ積分は、\begin{eqnarray*}\overline{\int }_{X}f &=&\inf \left\{ \int_{X}g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす単関数}\right\} \\
\underline{\int }_{X}f &=&\sup \left\{ \int_{X}h\in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす単関数}\right\}
\end{eqnarray*}と定義され、これらはそれぞれ有限な実数として定まりますが、これらの間に以下の関係\begin{equation*}
\overline{\int }_{X}f=\underline{\int }_{X}f
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{equation*}\int_{X}f=\overline{\int }_{X}f=\underline{\int }_{X}f
\end{equation*}と定義されます。

以上の状況において、実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ルベーグ可測関数の定数倍として定義される関数はルベーグ可測関数であるため、\(\lambda f\)もまた\(X\)上に定義された有界なルベーグ可測関数です。したがって、関数\(\lambda f\)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\overline{\int }_{X}\lambda f=\underline{\int }_{X}\lambda
f
\end{equation*}として定まります。

以上の状況において、関数\(\lambda f\)のルベーグ積分ともとの関数\(f\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、ルベーグ可測関数\(f\)のルベーグ積分の\(\lambda \)倍をとれば、それはルベーグ可測関数\(\lambda f\)のルベーグ積分と一致します。

有界かつルベーグ積分可能な関数の定数倍のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界な関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。

加えて、この関数\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合、\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{equation*}\int_{X}f=\overline{\int }_{X}f=\underline{\int }_{X}f
\end{equation*}として定まります。

以上の状況において、実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これもまた\(X\)上に定義された有界な関数ですが、この関数もまた\(X\)上でルベーグ可測になることが保証されます。加えて、関数\(\lambda f\)のルベーグ積分ともとの関数\(f\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、もとの関数\(f\)のルベーグ積分の\(\lambda \)倍をとれば、それは関数\(\lambda f\)のルベーグ積分と一致します。

演習問題