有界関数の定数倍のルベーグ積分
実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}0\leq \mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。その上で、\(X\)を定義域とする有界な関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:L\leq f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(U\)は\(f\)の値域の上界であり、\(L\)は下界です。
有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況において、実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。関数\(f\)がルベーグ積分可能である場合には関数\(\lambda f\)もまたルベーグ積分可能であるとともに、両者のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda fd\mu =\lambda \int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、関数\(f\)のルベーグ積分の\(\lambda \)倍をとれば、それは関数\(\lambda f\)のルベーグ積分と一致します。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立ちます。
-f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能である場合には、先の命題より\(-f\)もまた\(X\)上においてルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}-fd\mu =-\int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。
演習問題
\end{equation*}が成り立ちます。本文中の証明では、有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数がルベーグ積分可能であることと、その関数がルベーグ可測関数であることは必要十分であるという事実を利用しました。この事実を利用せず、同様の主張が成り立つことを示してください。
ログイン
会員向けコンテンツです。
まだ会員登録がお済みでない方は、会員登録ページよりアカウントを作成してください。