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ルベーグ積分

有界関数の定数倍のルベーグ積分

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有界なルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数はルベーグ積分可能です。つまり、関数\(f\)の\(X\)上における上ルベーグ積分と下ルベーグ積分は、\begin{eqnarray*}\overline{\int }_{X}f &=&\inf \left\{ \int_{X}g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす単関数}\right\} \\
\underline{\int }_{X}f &=&\sup \left\{ \int_{X}h\in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす単関数}\right\}
\end{eqnarray*}と定義され、これらはそれぞれ有限な実数として定まりますが、これらの間に以下の関係\begin{equation*}
\overline{\int }_{X}f=\underline{\int }_{X}f
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{equation*}\int_{X}f=\overline{\int }_{X}f=\underline{\int }_{X}f
\end{equation*}と定義されます。

以上の状況において、実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ルベーグ可測関数の定数倍として定義される関数はルベーグ可測関数であるため、\(\lambda f\)もまた\(X\)上に定義された有界なルベーグ可測関数です。したがって、関数\(\lambda f\)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\overline{\int }_{X}\lambda f=\underline{\int }_{X}\lambda
f
\end{equation*}として定まります。

以上の状況において、関数\(\lambda f\)のルベーグ積分ともとの関数\(f\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、ルベーグ可測関数\(f\)のルベーグ積分の\(\lambda \)倍をとれば、それはルベーグ可測関数\(\lambda f\)のルベーグ積分と一致します。

命題(有界なルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとする。この場合、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能である。実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、\(\lambda f\)もまた\(X\)上に定義された有界なルベーグ可測関数であるため、\(\lambda f\)もまた\(X\)上で積分可能である。この場合、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(有界なルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。以下の関数\begin{equation*}
-f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これは\(f\)の定数倍(\(-1\)倍)として定義される関数であるため、先の命題より、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}-f=-\int_{X}f
\end{equation*}が成り立ちます。

 

有界かつルベーグ積分可能な関数の定数倍のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界な関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。

加えて、この関数\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合、\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{equation*}\int_{X}f=\overline{\int }_{X}f=\underline{\int }_{X}f
\end{equation*}として定まります。

以上の状況において、実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これもまた\(X\)上に定義された有界な関数ですが、この関数もまた\(X\)上でルベーグ可測になることが保証されます。加えて、関数\(\lambda f\)のルベーグ積分ともとの関数\(f\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、もとの関数\(f\)のルベーグ積分の\(\lambda \)倍をとれば、それは関数\(\lambda f\)のルベーグ積分と一致します。

命題(有界かつルベーグ積分可能な関数の定数倍のルベーグ積分)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとする。実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、\(\lambda f\)もまた\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(有界かつルベーグ積分可能な関数の定数倍のルベーグ積分)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。以下の関数\begin{equation*}-f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これは関数\(f\)の定数倍(\(-1\)倍)として定義される関数であるため、先の命題より、\(-f\)もまた\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}-f=-\int_{X}f
\end{equation*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(有界かつルベーグ積分可能な関数の定数倍のルベーグ積分)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、\(\lambda f\)もまた\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f
\end{equation*}が成り立つことは本文中で示した通りです。ただし、本文中の証明では、有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数が\(X\)上でルベーグ積分可能であることと、その関数がルベーグ可測関数であることは必要十分であるという事実を利用しました。この事実を利用せず、先の主張が成り立つことを示してください。
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