ルベーグ可測関数の定数倍はルベーグ可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。加えて、この関数\(f\)は\(X\)上において拡大実数値ルベーグ可測関数であるものとします。

実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( kf\right) \left( x\right) =kf\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
kf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、この関数\(kf\)もまた\(X\)上において拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

命題（ルベーグ可測関数の定数倍はルベーグ可測関数）

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとする。実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で拡大実数値関数\(kf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義する。\(kf\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数である。

証明

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例（全区間上に定義されたルベーグ可測関数の定数倍）

全区間\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合であるため、全区間上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}をとることができます。実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で拡大実数値関数\begin{equation*}kf:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、先の命題よりこれもまた拡大実数値ルベーグ可測関数です。

例（ルベーグ可測関数の定数倍）

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の拡大実数値関数\begin{equation*}
-f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}は拡大実数値ルベーグ可測関数\(f\)の定数倍（\(-1\)倍）であるため、先の命題より\(-f\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数です。

例（ルベーグ可測関数の定数倍）

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}kf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数値関数がルベーグ可測であることと、その関数が拡大実数値ルベーグ可測であることは必要十分であるため、\(f\)は拡大実数値ルベーグ可測です。すると先の命題より\(kf\)は拡大実数値ルベーグ可測ですが、\(kf\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(kf\)がルベーグ可測であることを意味します。結論を整理すると、実数値関数であるルベーグ可測関数\(f\)の定数倍である実数値関数\(kf\)はルベーグ可測関数であるということです。

ボレル可測関数の定数倍はボレル可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。加えて、この関数\(f\)は\(X\)上において拡大実数値ボレル可測関数であるものとします。

実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( kf\right) \left( x\right) =kf\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
kf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、この関数\(kf\)もまた\(X\)上において拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。

命題（ボレル可測関数の定数倍はボレル可測関数）

実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとする。実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で拡大実数値関数\(kf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義する。\(kf\)もまた拡大実数値ボレル可測関数である。

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例（全区間上に定義されたボレル可測関数の定数倍）

全区間\(\mathbb{R} \)はボレル集合であるため、全区間上に定義された拡大実数値ボレル可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}をとることができます。実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で拡大実数値関数\begin{equation*}kf:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、先の命題よりこれもまた拡大実数値ボレル可測関数です。

例（ボレル可測関数の定数倍）

実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の拡大実数値関数\begin{equation*}
-f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}は拡大実数値ボレル可測関数\(f\)の定数倍（\(-1\)倍）であるため、先の命題より\(-f\)もまた拡大実数値ボレル可測関数です。

例（ボレル可測関数の定数倍）

実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) _{\mu }\)上に定義されたボレル可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}kf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数値関数がボレル可測であることと、その関数が拡大実数値ボレル可測であることは必要十分であるため、\(f\)は拡大実数値ボレル可測です。すると先の命題より\(kf\)は拡大実数値ボレル可測ですが、\(kf\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(kf\)がボレル可測であることを意味します。結論を整理すると、実数値関数であるボレル可測関数\(f\)の定数倍である実数値関数\(kf\)はボレル可測関数であるということです。

演習問題

問題（ルベーグ可測関数の定数倍）

以下の関数\begin{equation*}
\frac{\sin \left( x^{2}+x+1\right) }{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測関数でしょうか。議論してください。

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問題（ルベーグ可測関数の定数倍）

以下の関数\begin{equation*}
-\ln \left( x+1\right) :\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測関数でしょうか。議論してください。

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