ルベーグ可測関数の定数倍はルベーグ可測
実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。
実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( kf\right) \left( x\right) =kf\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
kf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、これもまたルベーグ可測になることが保証されます。
ルベーグ可測関数\(f\)が拡大実数値関数である場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。
実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( kf\right) \left( x\right) =kf\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
kf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測になることが保証されます。
\end{equation*}は拡大実数値ルベーグ可測関数\(f\)の定数倍（\(-1\)倍）であるため、先の命題より\(-f\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数です。
ボレル可測関数の定数倍はボレル可測
実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、ボレル可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。
実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( kf\right) \left( x\right) =kf\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
kf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、これもまたボレル可測になることが保証されます。
ボレル可測関数\(f\)が拡大実数値関数である場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、拡大実数値ボレル可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。
実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( kf\right) \left( x\right) =kf\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
kf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、これもまた拡大実数値ボレル可測になることが保証されます。
\end{equation*}は拡大実数値ボレル可測関数\(f\)の定数倍（\(-1\)倍）であるため、先の命題より\(-f\)もまた拡大実数値ボレル可測関数です。
演習問題
\frac{\sin \left( x^{2}+x+1\right) }{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。
-\ln \left( x+1\right) :\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。
\end{equation*}は常に成り立つでしょうか。議論してください。
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