可測関数どうしの上限と下限は可測関数

可算個の可測関数の上限は可測関数

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、可算個のルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
f_{2}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots
\end{gather*}を定義します。加えて、これらの可測関数はいずれも上に有界であるものとします。

点\(x\in X\)を選んだ上で固定し、\(x\)に対してそれぞれの可測関数が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。すべての可測関数が上に有界である状況を想定しているため、これは非空かつ上に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であり、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。

このような事情を踏まえると、それぞれの点\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( \sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) =\sup \left\{ f_{1}\left( x\right)
,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまたルベーグ可測関数になることが保証されます。

まずは以下の補題を示します。

上の命題より、以下の関係\begin{equation*}
\left\{ x\in X\ |\ \left( \sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) <y\right\} =\bigcap\limits_{n\in \mathbb{N} }\left\{ x\in X\ |\ f_{n}\left( x\right) <y\right\}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、点\(x\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left( \sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) <y\Leftrightarrow \forall n\in \mathbb{N} :f_{n}\left( x\right) <y
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、写像\(\sup\limits_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\)が定める値が\(y\)より小さいことと、すべての可測関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が定める値が\(y\)より小さいことは必要十分です。

以上の補題を踏まえた上で以下を示します。

ルベーグ可測関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が上に有界であるとは限らない場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、可算個の拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
f_{2}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots
\end{gather*}を定義します。先とは異なり、これらの可測関数は上に有界であるとは限らない状況を想定します。

点\(x\in X\)を選んだ上で固定し、\(x\)に対してそれぞれの可測関数が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。先とは異なり\(f_{1},f_{2},\cdots \)は上に有界であるとは限らないため、これは上に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるとは限らず、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まるとは限りません。つまり、上限が正の無限大になり得るということです。

このような事情を踏まえると、それぞれの点\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\left( \sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) =\sup \left\{ f_{1}\left( x\right)
,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できます。ただし、\(\overline{\mathbb{R} }\)は拡大実数系です。この関数は拡大実数値ルベーグ可測関数になります。証明は先の命題と同様です。

ボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

可算個の可測関数の下限は可測関数

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、可算個のルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
f_{2}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots
\end{gather*}を定義します。加えて、これらの可測関数はいずれも下に有界であるものとします。

点\(x\in X\)を選んだ上で固定し、\(x\)に対してそれぞれの可測関数が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。すべての可測関数が下に有界である状況を想定しているため、これは非空かつ下に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であり、したがって、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。

このような事情を踏まえると、それぞれの点\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( \inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) =\inf \left\{ f_{1}\left( x\right)
,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまたルベーグ可測関数になることが保証されます。

まずは以下の補題を示します。

上の命題より、以下の関係\begin{equation*}
\left\{ x\in X\ |\ \left( \inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) <y\right\} =\bigcup\limits_{n\in \mathbb{N} }\left\{ x\in X\ |\ f_{n}\left( x\right) <y\right\}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、点\(x\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left( \inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) <y\Leftrightarrow \exists n\in \mathbb{N} :f_{n}\left( x\right) <y
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、写像\(\inf\limits_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\)が定める値が\(y\)より小さいことと、少なくとも1つの可測関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が定める値が\(y\)より小さいことは必要十分です。

以上の補題を踏まえた上で以下を示します。

ルベーグ可測関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が下に有界であるとは限らない場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、可算個の拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
f_{2}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots
\end{gather*}を定義します。先とは異なり、これらの可測関数は下に有界であるとは限らない状況を想定します。

点\(x\in X\)を選んだ上で固定し、\(x\)に対してそれぞれの可測関数が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。先とは異なり\(f_{1},f_{2},\cdots \)は下に有界であるとは限らないため、これは下に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるとは限らず、したがって、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まるとは限りません。つまり、下限が負の無限大になり得るということです。

このような事情を踏まえると、それぞれの点\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\left( \inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) =\inf \left\{ f_{1}\left( x\right)
,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できます。ただし、\(\overline{\mathbb{R} }\)は拡大実数系です。この関数は拡大実数値ルベーグ可測関数になります。証明は先の命題と同様です。

ボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

可算個の拡大実数値可測関数の上限は拡大実数値可測関数

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、可算個の拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
f_{2}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots
\end{gather*}を定義します。

点\(x\in X\)を選んだ上で固定し、\(x\)に対してそれぞれの可測関数が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であり、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まることが保証されます。

このような事情を踏まえると、それぞれの点\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) =\sup \left\{ f_{1}\left( x\right)
,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。

拡大実数値ボレル可測関数についても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

可算個の拡大実数値可測関数の下限は拡大実数値可測関数

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、可算個の拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
f_{2}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots
\end{gather*}を定義します。

点\(x\in X\)を選んだ上で固定し、\(x\)に対してそれぞれの可測関数が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であり、したがって、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まることが保証されます。

このような事情を踏まえると、それぞれの点\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) =\inf \left\{ f_{1}\left( x\right)
,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。

拡大実数値ボレル可測関数についても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。