ルベーグ可測関数列の上限関数と下限関数はルベーグ可測関数

ルベーグ可測関数列の上限関数はルベーグ可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値ルベーグ可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。

点\(x\in X\)を選んだ上で固定し、\(x\)に対してそれぞれの関数\(f_{n}\)が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であり、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) =\sup \left\{ f_{n}\left( x\right) \right\}
_{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

まずは以下の補題を示します。

先の命題より、以下の関係\begin{equation*}
\left\{ x\in X\ |\ -\infty \leq \left( \sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) <c\right\} =\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty
}\left\{ x\in X\ |\ -\infty \leq f_{n}\left( x\right) <c\right\}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(x\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}-\infty \leq \left( \sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) <c\Leftrightarrow \forall n\in \mathbb{N} :-\infty \leq f_{n}\left( x\right) <c
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、関数\(\sup\limits_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\)が定める値が\(c\)より小さいことと、すべての関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が定める値が\(c\)より小さいことは必要十分です。

以上の補題を踏まえた上で以下を示します。

ルベーグ可測関数列の下限関数はルベーグ可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値ルベーグ可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。

点\(x\in X\)を選んだ上で固定し、\(x\)に対してそれぞれの関数\(f_{n}\)が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であり、したがって、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) =\inf \left\{ f_{n}\left( x\right) \right\}
_{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

まずは以下の補題を示します。

先の命題より、以下の関係\begin{equation*}
\left\{ x\in X\ |\ -\infty \leq \left( \inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) <c\right\} =\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty
}\left\{ x\in X\ |\ -\infty \leq f_{n}\left( x\right) <c\right\}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(x\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}-\infty \leq \left( \inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) <c\Leftrightarrow \exists n\in \mathbb{N} :-\infty \leq f_{n}\left( x\right) <c
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、関数\(\inf\limits_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\)が定める値が\(c\)より小さいことと、\(f_{1},f_{2},\cdots \)の中の少なくとも1つの関数が定める値が\(c\)より小さいことは必要十分です。

以上の補題を踏まえた上で以下を示します。

ボレル可測関数列の上限関数はボレル可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値ボレル可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。

点\(x\in X\)を選んだ上で固定し、\(x\)に対してそれぞれの関数\(f_{n}\)が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であり、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) =\sup \left\{ f_{n}\left( x\right) \right\}
_{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。

ボレル可測関数列の下限関数はボレル可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値ボレル可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。

点\(x\in X\)を選んだ上で固定し、\(x\)に対してそれぞれの関数\(f_{n}\)が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であり、したがって、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) =\inf \left\{ f_{n}\left( x\right) \right\}
_{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。