可測関数どうしの商は可測関数

ルベーグ可測関数どうしの商はルベーグ可測

実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( \frac{1}{f}\right) \left( x\right) =\frac{1}{f\left( x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
\frac{1}{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまたルベーグ可測になることが保証されます。

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、2つのルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}を定義します。ただし、以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:g\left( x\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つものとします。すると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、これもまたルベーグ可測になることが保証されます。

ルベーグ可測関数\(f,g\)が拡大実数値関数である場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。

上の命題では2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす状況を想定しています。この条件が成り立たない場合、すなわち、\begin{equation*}
\exists x\in X:\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\not\in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、そもそも関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるため、\(\frac{f}{g}\)がルベーグ可測であるか検討することさえできません。具体例を挙げると、何らかの\(x\in X\)のもとで、\begin{equation*}g\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\frac{f\left( x\right) }{0}
\end{equation*}となってしまいます。拡大実数をゼロで割ることはできません。また、何らかの\(x\in X\)のもとで、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&+\infty \\
g\left( x\right) &=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つ場合、これらの商\begin{equation*}
\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\frac{+\infty }{+\infty }
\end{equation*}は不定形になってしまいます。いずれにせよ、このような場合、関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義できず、したがって\(\frac{f}{g}\)はルベーグ可測ではありません。

ボレル可測関数どうしの商はボレル可測

実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、ボレル可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( \frac{1}{f}\right) \left( x\right) =\frac{1}{f\left( x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
\frac{1}{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまたボレル可測になることが保証されます。

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、2つのボレル可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}を定義します。ただし、以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:g\left( x\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つものとします。すると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、これもまたボレル可測になることが保証されます。

ボレル可測関数\(f,g\)が拡大実数値関数である場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選び、2つの拡大実数値ボレル可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、これもまた拡大実数値ボレル可測になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。

演習問題