可測関数列の上極限・下極限・極限は可測関数

可測関数列の上極限は可測関数

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、\(X\)を定義域として共有するルベーグ可測関数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義されたルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。加えて、これらの関数はいずれも有界であるものとします。

点\(x\in X\)を選んで固定します。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\)番目以降の可測関数\(f_{n},f_{n+1},\cdots \)が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が得られます。すべての関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が有界である状況を想定しているため、これは非空かつ上に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であり、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。

それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の上限を特定することにより、数列\begin{gather*}\sup \left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\} \\
\sup \left\{ f_{2}\left( x\right) ,X_{3}\left( x\right) ,\cdots \right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \sup \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots
\right\} \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left(
x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。すべての可測関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が有界である状況を想定しているため、この極限は有限な実数として定まることに注意してください。これを点\(x\in X\)に対して可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が定める値からなる数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限（limit superior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup f_{n}\left( x\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\sup \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}で表記します。

このような事情を踏まえると、それぞれの点\(x\in X\)に対して、数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限\begin{eqnarray*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup f_{n}\right) \left( x\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup f_{n}\left( x\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ f_{n}\left( x\right)
,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できます。これをもとの可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限（limit superior）と呼びます。

有界な可測関数列\(\left\{f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられれば、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) =\sup \left\{ f_{1}\left( x\right)
,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
\sup_{n\in \mathbb{N} }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) =\inf \left\{ f_{1}\left( x\right)
,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
\inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がそれぞれ定義可能です。これらの写像を用いることにより、可測関数列の上極限を以下のように表現することもできます。

有界なルベーグ可測関数列の上極限はルベーグ可測関数になることが保証されます。

ルベーグ可測関数列\(f_{1},f_{2},\cdots \)が有界であるとは限らない場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、\(X\)を定義域として共有するルベーグ可測関数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義されたルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。先とは異なり、これらの関数は有界であるとは限らない状況を想定します。

点\(x\in X\)を選んで固定します。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\)番目以降の可測関数\(f_{n},f_{n+1},\cdots \)が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が得られます。先とは異なり関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)は有界であるとは限らないため、これは上に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるとは限らず、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まるとは限りません。つまり、上限が正の無限大になり得るということです。

それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の上限を特定することにより、拡大実数列\begin{gather*}\sup \left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\} \\
\sup \left\{ f_{2}\left( x\right) ,X_{3}\left( x\right) ,\cdots \right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \sup \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots
\right\} \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left(
x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。先とは異なり可測関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が有界であるとは限らないため、この極限は有限な実数として定まるとは限らないことに注意してください。これを点\(x\in X\)のもとでの可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が定める値からなる拡大実数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right)\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限（limit superior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup f_{n}\left( x\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\sup \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}で表記します。

このような事情を踏まえると、それぞれの点\(x\in X\)に対して、拡大実数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の上極限\begin{eqnarray*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup f_{n}\right) \left( x\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup f_{n}\left( x\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ f_{n}\left( x\right)
,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できます。これをもとの可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限（limit superior）と呼びますが、これは拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。

ボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

可測関数列の下極限は可測関数

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、\(X\)を定義域として共有するルベーグ可測関数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義されたルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。加えて、これらの関数はいずれも有界であるものとします。

点\(x\in X\)を選んで固定します。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\)番目以降の可測関数\(f_{n},f_{n+1},\cdots \)が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が得られます。すべての関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が有界である状況を想定しているため、これは非空かつ下に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であり、したがって、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。

それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の下限を特定することにより、数列\begin{gather*}\inf \left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\} \\
\inf \left\{ f_{2}\left( x\right) ,X_{3}\left( x\right) ,\cdots \right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \inf \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots
\right\} \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left(
x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。すべての可測関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が有界である状況を想定しているため、この極限は有限な実数として定まることに注意してください。これを点\(x\in X\)に対して可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が定める値からなる数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限（limit inferior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}\left( x\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\inf \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}で表記します。

このような事情を踏まえると、それぞれの点\(x\in X\)に対して、数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限\begin{eqnarray*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}\right) \left( x\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}\left( x\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ f_{n}\left( x\right)
,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できます。これをもとの可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限（limit inferior）と呼びます。

有界な可測関数列\(\left\{f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられれば、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) =\inf \left\{ f_{1}\left( x\right)
,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
\inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}\right) \left( x\right) =\inf \left\{ f_{1}\left( x\right)
,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
\inf_{n\in \mathbb{N} }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がそれぞれ定義可能です。これらの写像を用いることにより、可測関数列の上極限を以下のように表現することもできます。

有界なルベーグ可測関数列の下極限はルベーグ可測関数になることが保証されます。

ルベーグ可測関数列\(f_{1},f_{2},\cdots \)が有界であるとは限らない場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、\(X\)を定義域として共有するルベーグ可測関数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義されたルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。先とは異なり、これらの関数は有界であるとは限らない状況を想定します。

点\(x\in X\)を選んで固定します。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\)番目以降の可測関数\(f_{n},f_{n+1},\cdots \)が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が得られます。先とは異なり関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)は有界であるとは限らないため、これは下に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるとは限らず、したがって、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まるとは限りません。つまり、下限が負の無限大になり得るということです。

それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の下限を特定することにより、拡大実数列\begin{gather*}\inf \left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\} \\
\inf \left\{ f_{2}\left( x\right) ,X_{3}\left( x\right) ,\cdots \right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \inf \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots
\right\} \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left(
x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。先とは異なり可測関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が有界であるとは限らないため、この極限は有限な実数として定まるとは限らないことに注意してください。これを点\(x\in X\)のもとでの可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が定める値からなる拡大実数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right)\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限（limit inferior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}\left( x\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\inf \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}で表記します。

このような事情を踏まえると、それぞれの点\(x\in X\)に対して、拡大実数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の下極限\begin{eqnarray*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}\right) \left( x\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}\left( x\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ f_{n}\left( x\right)
,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できます。これをもとの可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限（limit inferior）と呼びますが、これは拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。

ボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

可測関数列の極限は可測関数

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、\(X\)を定義域として共有するルベーグ可測関数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義されたルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。

点\(x\in X\)を選んで固定すれば、可測関数列\(\left\{f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の要素である個々の関数が定める値からなる数列\begin{equation*}f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られます。数列が得られれば有限な実数へ収束するか検討できます。どの点\(x\in X\)が実現した場合においても、この数列が有限な実数へ収束することが保証される場合には、つまり、\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの点\(x\in X\)に対して、数列\(\left\{ f_{n}\left(x\right) \right\} \)の極限に相当する有限な実数\begin{equation*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\right) \left( x\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、これは可測関数になることが保証されます。

ボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

拡大実数値可測関数列の上極限は拡大実数値可測関数

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、\(X\)を定義域として共有する拡大実数値ルベーグ可測関数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。

点\(x\in X\)を選んで固定します。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\)番目以降の可測関数\(f_{n},f_{n+1},\cdots \)が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が得られます。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であるため、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの拡大実数値として定まることが保証されます。

それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の上限を特定することにより、拡大実数列\begin{gather*}\sup \left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\} \\
\sup \left\{ f_{2}\left( x\right) ,X_{3}\left( x\right) ,\cdots \right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \sup \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots
\right\} \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left(
x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これは1つの拡大実数として定まることに注意してください。これを点\(x\in X\)に対して拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が定める値からなる拡大実数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right)\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限（limit superior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup f_{n}\left( x\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\sup \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}で表記します。

このような事情を踏まえると、それぞれの点\(x\in X\)に対して、拡大実数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の上極限\begin{eqnarray*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup f_{n}\right) \left( x\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup f_{n}\left( x\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ f_{n}\left( x\right)
,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できます。これをもとの拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限（limit superior）と呼びますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。

拡大実数値ボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

拡大実数値可測関数列の下極限は拡大実数値可測関数

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、\(X\)を定義域として共有する拡大実数値ルベーグ可測関数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。

点\(x\in X\)を選んで固定します。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\)番目以降の可測関数\(f_{n},f_{n+1},\cdots \)が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が得られます。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であるため、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの拡大実数値として定まることが保証されます。

それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の下限を特定することにより、拡大実数列\begin{gather*}\inf \left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\} \\
\inf \left\{ f_{2}\left( x\right) ,X_{3}\left( x\right) ,\cdots \right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \inf \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots
\right\} \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left(
x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これは1つの拡大実数として定まることに注意してください。これを点\(x\in X\)に対して拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が定める値からなる拡大実数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right)\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限（limit inferior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}\left( x\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\inf \left\{ f_{n}\left( x\right) ,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}で表記します。

このような事情を踏まえると、それぞれの点\(x\in X\)に対して、拡大実数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の下極限\begin{eqnarray*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}\right) \left( x\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}\left( x\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ f_{n}\left( x\right)
,f_{n+1}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できます。これをもとの拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限（limit inferior）と呼びますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。

拡大実数値ボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

拡大実数値可測関数列の極限は拡大実数値可測関数

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、\(X\)を定義域として共有する拡大実数値ルベーグ可測関数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。

点\(x\in X\)を選んで固定すれば、可測関数列\(\left\{f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の要素である個々の関数が定める値からなる拡大実数列\begin{equation*}f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られます。拡大実数列が得られれば何らかの拡大実数へ収束するか検討できます。どの点\(x\in X\)が実現した場合においても、この拡大実数列が何らかの拡大実数へ収束することが保証される場合には、つまり、\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( \omega \right) \in
\overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの点\(x\in X\)に対して、拡大実数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)の極限に相当する拡大実数\begin{equation*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\right) \left( x\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、これは拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。

拡大実数値ボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。