ルベーグ可測関数列の一様極限はルベーグ可測関数

ルベーグ可測関数列の一様極限はルベーグ可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とするルベーグ可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義されたルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数の列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点収束することとは、\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つこととして定義されます。この場合、以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) =f\left(
x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能ですが、これを\(\left\{ f_{n}\right\} \)の各点極限と呼びます。この場合、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(f\)へ各点収束すると言います。加えて、ルベーグ可測関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の各点極限\(f\)もまたルベーグ可測関数になることが保証されます。

一方、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数の列\(\left\{ f_{n}\right\} \)に対して、以下の条件\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、これを\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一様極限（uniform limit）と呼びます。この場合、\(\left\{f_{n}\right\} \)は\(f\)へ一様収束する（converges uniformly）と言います。

各点収束の定義\(\left( 1\right) \)と一様収束の定義\(\left(2\right) \)の違いは量化記号\begin{equation*}\forall x\in X
\end{equation*}の相対的な位置だけです。各点収束の定義\begin{equation}
\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}において\(\forall x\in X\)は\(\exists n\in \mathbb{N} \)よりも前に置かれているため、\(\left( 1\right) \)を満たす\(N\)の水準は点\(x\)の位置に依存します。点\(x\)が変われば\(\left( 1\right) \)を満たす\(N\)の値もまた変化するということです。一方、一様収束の定義\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}において\(\forall x\in X\)は\(\exists N\in \mathbb{N} \)よりも後に置かれているため、\(\left( 2\right) \)を満たす\(N\)の水準は点\(x\)のとり方に依存しません。点\(x\)が変わっても\(\left( 2\right) \)を満たす\(N\)の値は変化しないということです。したがって、\(\left( 2\right) \)中の\(N\)に課される制約は\(\left( 1\right) \)中の\(N\)に課される制約よりも厳しいため、\(\left( 2\right) \)を満たす\(N\)は必然的に\(\left(1\right) \)を満たします。つまり、\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合には\(\left( 1\right) \)もまた成り立つこと、すなわち、一様収束するルベーグ可測関数列は各点収束するということです。実際、これは正しい予想です。しかも、ルベーグ可測関数列の一様極限は各点極限と一致します。

ルベーグ可測関数列の一様極限もまたルベーグ可測関数になることが保証されます。

ボレル可測関数列の一様極限はボレル可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とするボレル可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義されたボレル可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。

ボレル集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたボレル可測関数の列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束することは、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味する一方で、\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(f\)へ一様収束することは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、一様収束するボレル可測関数列は各点収束します。しかも、ボレル可測関数列の一様極限は各点極限と一致します。

ボレル可測関数列の一様極限もまたボレル可測関数になることが保証されます。

有界なルベーグ可測関数列とその一様極限の有界性

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数の列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素であるルベーグ可測関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有界であることとは、その値域\begin{equation*}f_{n}\left( X\right) =\left\{ f_{n}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であることを意味します。さらにそれは、\begin{equation*}\exists M_{n}\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left\vert f_{n}\left( x\right) \right\vert \leq M_{n}
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。一方、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様有界（uniformly bounded）であることとは、\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X:\left\vert f_{n}\left( x\right) \right\vert \leq M
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素である関数がいずれも有界であり、なおかつ\(\left\{f_{n}\right\} \)が関数\(f\)へ一様収束する場合には、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様有界になるとともに、一様極限\(f\)は有界になることが保証されます。さらに先の命題より、この場合には\(f\)はルベーグ可測関数になります。