可測関数列の一様極限（一様収束する可測関数列の極限）は可測関数

可測関数列の一様極限

測度空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を定義域として共有するルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)一般項は\(X\)上に定義されたルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。加えて、関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。

ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f\)へ各点収束することとは、\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) =f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、どのような点\(x\in X\)が実現した場合においても、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の要素である関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が定める値からなる数列\(f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left(x\right) ,\cdots \)が必ず、関数\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)へ限りなく近づくということです。この場合、関数\(f\)を関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の各点極限と呼び、そのことを、\begin{equation*}f_{n}\rightarrow f\quad \text{pointwise}
\end{equation*}で表記します。ルベーグ可測関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の各点極限\(f\)はルベーグ可測関数になることが保証されます。

改めて整理すると、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束することは、\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) =f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、イプシロン・エヌ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation}
\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。一方、以下の条件\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合、ルベーグ可測関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が関数\(f\)へ一様収束する（converges uniformly）と言います。この場合、関数\(f\)を関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の一様極限（uniform limit）と呼び、そのことを、\begin{equation*}f_{n}\rightarrow f\quad \text{uniformly}
\end{equation*}で表記します。

各点収束の定義\(\left( 1\right) \)と一様収束の定義\(\left(2\right) \)の違いは量化記号\begin{equation*}\forall x\in X
\end{equation*}の相対的な位置だけです。各点収束の定義\begin{equation}
\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}において\(\forall x\in X\)は\(\exists n\in \mathbb{N} \)よりも前に置かれているため、\(\left( 1\right) \)を満たす\(N\)の水準は点\(x\)の位置に依存します。点\(x\)が変われば\(\left( 1\right) \)を満たす\(N\)の値もまた変化するということです。一方、一様収束の定義\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}において\(\forall x\in X\)は\(\exists N\in \mathbb{N} \)よりも後に置かれているため、\(\left( 2\right) \)を満たす\(N\)の水準は点\(x\)のとり方に依存しません。点\(x\)が変わっても\(\left( 2\right) \)を満たす\(N\)の値は変化しないということです。したがって、\(\left( 2\right) \)中の\(N\)に課される制約は\(\left( 1\right) \)中の\(N\)に課される制約よりも厳しいため、\(\left( 2\right) \)を満たす\(N\)は必然的に\(\left(1\right) \)を満たします。つまり、\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合には\(\left( 1\right) \)もまた成り立つこと、すなわち、一様収束する関数列は各点収束するということです。実際、これは正しい予想です。しかも、関数列が一様収束する先の極限関数と、各点収束する先の極限関数は一致します。

ボレル可測関数についても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

可測関数列の一様極限は可測関数

ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f\)へ各点収束する場合には、この関数\(f\)もまたルベーグ可測関数になることが保証されます。

ボレル可測関数についても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

有界な可測関数列とその一様極限の有界性

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を定義域として共有するルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素である関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有界であることとは、その値域\begin{equation*}f_{n}\left( X\right) =\left\{ f_{n}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であることを意味します。さらにそれは、\begin{equation*}\exists M_{n}\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left\vert f_{n}\left( x\right) \right\vert \leq M_{n}
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。一方、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様有界（uniformly bounded）であることとは、\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X:\left\vert f_{n}\left( x\right) \right\vert \leq M
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素である関数がいずれも有界であり、なおかつ\(\left\{f_{n}\right\} \)が関数\(f\)へ一様収束する場合には、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)そのものは一様有界になるとともに、一様極限\(f\)は有界になることが保証されます。さらに先の命題より、この場合には\(f\)はルベーグ可測関数になります。