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関数列

収束関数列と連続関数列の関係

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連続な関数列

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることの意味は様々な形で表現できますが、イプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。さらに、関数\(f\)が連続であることとは、\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において連続であること、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in
X:\left( |x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、関数\(f\)の定義域上の点\(a\)を任意に選んだ上で、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、点\(a\)からの距離がある値\(\delta \)より近い場所にある任意の点\(x\)について\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離が\(\varepsilon \)より小さくなることが保証されるということです。

定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられている状況を想定します。つまり、この関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の一般項は\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素である関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)がいずれも定義域上の点\(a\in X\)において連続である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f_{n}\left(
a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(a\)において連続である(continuous at \(a\))と言います。さらに、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素である関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)がいずれも定義域\(X\)上の任意の点において連続である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall
x\in X:\left( |x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right)
-f_{n}\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は連続である(continuous)と言います。

 

一様収束する連続関数列の極限関数は連続

定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束することは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様収束するとともに点\(a\)において連続である場合、その極限関数\(f\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(一様収束する連続関数列の極限関数は連続)
関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を一般項とする関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられているものとする。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束するとともに点\(a\in X\)において連続であるならば、\(f\)もまた点\(a\)において連続である。
証明

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例(一様収束する連続関数列の極限関数は連続)
関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を一般項とする関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられているものとします。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束するとともに\(X\)上で連続であるものとします。すると先の命題より、極限関数\(f\)もまた\(X\)上で連続です。
例(一様収束する連続関数列の極限関数は連続)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{\sin \left( nx\right) }{n}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は連続です。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対する関数\(f_{n}\)およびその定義域上の点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f_{n}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sin \left( nx\right) }{n}\quad \because f_{n}\text{の定義}
\\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}\sin \left( nx\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a}n} \\
&=&\frac{\sin \left( \lim\limits_{x\rightarrow a}\left( nx\right) \right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a}n} \\
&=&\frac{\sin \left( na\right) }{n} \\
&=&f_{n}\left( a\right) \quad \because f_{n}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f_{n}\)は点\(a\)において連続です。\(X\)上の任意の点において同様であるため\(f_{n}\)は連続です。任意の\(n\)について同様であるため\(\left\{ f_{n}\right\} \)は連続です。また、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は一様収束します。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)および\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}\right\vert \leq \frac{1}{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-0\right\vert \leq \frac{1}{n}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。そこで、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation}\forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right) \right\vert
\leq \frac{1}{n} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\frac{1}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす番号\(N\in \mathbb{N} \)を選べば、任意の\(x\in \mathbb{R} \)および\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &\frac{1}{n}\leq \frac{1}{N} \\
&\Rightarrow &\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \because \left( 3\right) \\
&\Rightarrow &\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right)
\right\vert \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。したがって、先の命題より極限関数\(f\)は連続であるはずです。実際、\(f\)は定数関数であるため連続であり、これは先の命題の主張と整合的です。

 

各点収束する連続関数列の極限関数は連続であるとは限らない

定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束することは、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点収束するとともに点\(a\)において連続である場合でも、その極限関数\(f\)は点\(a\)において連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(各点収束する連続関数列の極限関数は連続であるとは限らない)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left[0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は連続です。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(x^{n}\)は多項式関数であるため\(\left[ 0,1\right] \)上で連続だからです。また、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は各点収束します。実際、点\(x\in \lbrack 0,1)\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x^{n} \\
&=&0\quad \because x\in \lbrack 0,1)
\end{eqnarray*}となり、点\(x=1\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( 1\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }1^{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点収束し、極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x\in \lbrack 0,1)\right) \\
1 & \left( if\ x=1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。この関数\(f\)は点\(1\)において連続ではありません。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1-}0 \\
&=&0 \\
&\not=&f\left( 1\right) \quad \because f\left( 1\right) =1
\end{eqnarray*}が成り立つからです。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点収束するとともに点\(a\)において連続である一方で、その極限関数\(f\)が点\(a\)において連続ではない状況を想定します。この場合、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束しません。なぜなら、そのような関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様収束するものと仮定した場合、先の命題より極限関数\(f\)もまた点\(a\)において連続であり、これは\(f\)が点\(a\)において連続ではないこと矛盾するからです。

命題(各点収束する連続関数列が一様収束しない場合)
関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を一般項とする関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられているものとする。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束するとともに点\(a\in X\)において連続である一方で\(f\)が点\(a\)において連続ではない場合、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束しない。
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例(各点収束する連続関数列が一様収束しない場合)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left[0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。先に示したように、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は連続かつ各点収束するとともに、その極限関数\(f\)は点\(1\)において連続ではありません。したがって、先の命題より\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束しません(演習問題)。

 

演習問題

問題(各点収束する有界関数列が一様収束しない場合)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left[0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。本文中で示したように、この関数列は連続であると各点収束し、極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x\in \lbrack 0,1)\right) \\
1 & \left( if\ x=1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。その一方で、\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様収束しないことを、一様収束の定義にもとづいて示してください。
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