各点収束する確率変数列は概収束する
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。加えて、確率変数\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が標本点\(\omega \in \Omega \)において確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束することとは、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right)
=X\left( \omega \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、標本点\(\omega \)が実現した場合には、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の要素である確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)のもとでの実現値からなる数列\(X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left(\omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots \)が、確率変数\(X\)のもとでの実現値\(X\left( \omega \right) \)へ限りなく近づくことを意味します。同じことをイプシロン・エヌ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left(
\omega \right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束することとは、任意の標本点\(\omega \in \Omega \)において\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ各点収束すること、すなわち、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) =X\left( \omega \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これは、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ各点収束する標本点からなる集合が標本空間\(\Omega \)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{n\rightarrow \infty
}X_{n}\left( \omega \right) =X\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。このとき、\(X\)を\(\left\{ X_{n}\right\} \)の各点極限と呼び、そのことを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{pointwise}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{p.w.}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ概収束することとは、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ各点収束する標本点からなる事象\begin{equation*}A=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left(
\omega \right) =X\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}の確率が、\begin{equation*}
P\left( A\right) =1
\end{equation*}であることを意味します。このとき、\(X\)を\(\left\{ X_{n}\right\} \)の概極限と呼び、そのことを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{a.s.}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。
定義から明らかであるように、各点収束する確率変数列は概収束します。また、各点収束する確率変数列の各点極限は一意的に定まりますが、それは概極限でもあります。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であるとともに、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\omega ^{n}
\end{equation*}を定めるものとします。また、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega =1\right) \\
0 & \left( if\ \omega \in \lbrack 0,1)\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。標本点\(1\in \Omega \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( 1\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }1^{n}\quad \because \left\{ X_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1 \\
&=&1 \\
&=&X\left( 1\right) \quad \because X\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、標本点\(1\)において\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ各点収束します。\(\omega \in\lbrack 0,1)\)を満たす任意の標本点\(\omega \in \Omega \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\omega ^{n}\quad \because \left\{ X_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&0\quad \because \omega \in \lbrack 0,1) \\
&=&X\left( \omega \right) \quad \because X\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\omega \in \lbrack 0,1)\)を満たす任意の標本点\(\omega \)において\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ各点収束します。したがって、\(\left\{X_{n}\right\} \)が\(X\)へ各点収束する標本点からなる事象は、\begin{equation*}\Omega
\end{equation*}であり、その確率は、\begin{equation*}
P\left( \Omega \right) =1
\end{equation*}であるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ各点収束します。したがって、先の命題より、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ概収束します。
概収束する確率変数列は各点収束するとは限らない
各点収束する確率変数列は概収束することが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、概収束する確率変数列は各点収束するとは限らないということです。以下の例より明らかです。
\end{equation*}であり、確率関数\(P\)はルベーグ測度\begin{equation*}\mu :B\left( \left[ 0,1\right] \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。以上のように定義される\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。標本空間\(\Omega \)上に定義された確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
n & \left( if\ \omega =0\right) \\
\frac{1}{n} & \left( if\ \omega \not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。その一方で、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall \omega \in (0,1]:X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を満たすものとします。\(X\left( 0\right) \)は任意の実数です。\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ概収束する一方で、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ各点収束しません（演習問題）。
演習問題
\end{equation*}であり、確率関数\(P\)はルベーグ測度\begin{equation*}\mu :B\left( \left[ 0,1\right] \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。以上のように定義される\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。標本空間\(\Omega \)上に定義された確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
n & \left( if\ \omega =0\right) \\
\frac{1}{n} & \left( if\ \omega \not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。その一方で、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall \omega \in (0,1]:X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を満たすものとします。\(X\left( 0\right) \)は任意の実数です。\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ概収束する一方で、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ各点収束しないことを示してください。
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