確率変数列の確率収束と概収束の関係

概収束と確率収束の違い

確率変数列の概収束と確率収束について簡単に復習した上で、両者の違いを説明します。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。加えて、確率変数\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が標本点\(\omega \in \Omega \)において確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束することとは、\begin{equation*}\forall \omega \in A:\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right)
=X\left( \omega \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、標本点\(\omega \)が実現した場合には、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の要素である確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)のもとでの実現値からなる数列\(X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left(\omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots \)が、確率変数\(X\)のもとでの実現値\(X\left( \omega \right) \)へ限りなく近づくということです。その上で、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ概収束することとは、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ各点収束する標本点からなる事象\begin{equation*}A=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left(
\omega \right) =X\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}の確率が、\begin{equation*}
P\left( A\right) =1
\end{equation*}であることを意味します。つまり、ほとんどすべての標本点\(\omega \)について、\(\omega \)が実現した場合には、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の要素である確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)のもとでの実現値からなる数列\(X_{1}\left(\omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots \)が、確率変数\(X\)のもとでの実現値\(X\left( \omega \right) \)へ限りなく近づくということです。このとき、\(X\)を\(\left\{ X_{n}\right\} \)の概極限と呼び、そのことを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{a.s.}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。

一方、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ確率収束することとは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\lim_{n\rightarrow \infty }P\left( \left\{ \omega \in
\Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right)
\right\vert <\varepsilon \right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(n\)を限りなく大きくすれば、ほとんどすべての標本点\(\omega \in \Omega \)について、\(\omega \)が実現した場合の確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)のもとでの実現値と確率変数\(X\)のもとでの実現値の差\(\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert \)が限りなく小さくなるということです。このとき、\(X\)を\(\left\{ X_{n}\right\} \)の確率極限と呼び、そのことを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{c.p.}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)のもとでの実現値と確率変数\(X\)のもとでの実現値の乖離をある一定の値\(\varepsilon \)よりも小さい範囲に抑えたい状況を想定します。\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ概収束する場合には、ほとんどすべての標本点\(\omega \)について数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega\right) \right\} \)が実数\(X\left( \omega \right) \)へ収束するため、十分大きい\(N\)をとれば、\(N\)よりも大きい任意の\(n\)について\(X_{n}\left( \omega \right) \)と\(X\left( \omega \right) \)の差が先に指定した\(\varepsilon \)よりも小さくなります。一方、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ確率収束する場合には、ほとんどすべての標本点\(\omega \)について、\(X_{n}\left( \omega\right) \)と\(X\left( \omega \right) \)の差が先に指定した\(\varepsilon \)よりも小さくなる確率が\(1\)になるものの、どれほど大きい\(N\)をとっても、\(N\)よりも大きい何らかの\(n\)のもとで\(X_{n}\left(\omega \right) \)と\(X\left( \omega \right) \)の差が先に指定した\(\varepsilon \)よりも大きくなる可能性を完全に排除することはできません。

概収束する確率変数列は確率収束する

概収束する確率変数列は確率収束します。

確率収束する確率変数列は概収束するとは限らない

概収束する確率変数列は確率収束することが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、確率収束する確率変数列は概収束するとは限らないということです。以下の例より明らかです。

確率変数列の収束概念どうしの関係

これまで登場した確率変数列の収束概念どうしの関係を整理します。

確率変数\(\left\{ X_{n}\right\} \)と確率変数\(X\)が与えられたとき、以下の関係\begin{eqnarray*}X_{n}\overset{p.w.}{\rightarrow }X &\Rightarrow &X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X \\
X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X &\Rightarrow &X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X
\end{eqnarray*}がともに成り立ちますが、それぞれの逆は成り立つとは限りません。以上より、\begin{equation*}
X_{n}\overset{p.w.}{\rightarrow }X\Rightarrow X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X\Rightarrow X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\text{各点収束}\Rightarrow \text{概収束}\Rightarrow \text{確率収束}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

演習問題