ヒンチン=コルモゴロフの収束定理（コルモゴロフの二級数定理）

独立な確率変数列に関する無限級数の収束可能性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。その上で、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)に関する無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }X_{n}=X_{1}+X_{2}+\cdots
\end{equation*}を定義します。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んで固定すれば、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)のもとでの実現値の列\(\left\{ X_{n}\left( \omega\right) \right\} \)に関する無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }X_{n}\left( \omega \right) =X_{1}\left( \omega \right)
+X_{2}\left( \omega \right) +\cdots
\end{equation*}が得られます。その上で、この無限級数\(\sum X_{n}\left( \omega \right) \)の和が有限な実数として定まる場合には、すなわち、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }X_{n}\left( \omega \right) <\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=1}^{N}X_{n}\left( \omega \right) <\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、この無限級数\(\sum X_{n}\)は標本点\(\omega \)において収束すると言います。無限級数\(\sum X_{n}\)が収束する標本点からなる事象は、\begin{equation*}A=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \sum_{n=1}^{\infty }X_{n}\left( \omega
\right) <\infty \right\}
\end{equation*}ですが、その確率が、\begin{equation*}
P\left( A\right) =1
\end{equation*}である場合には、この無限級数\(\sum X_{n}\)はほとんど確実に収束する（convergent almost surely）と言います。

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の項に関する無限級数\(\sum X_{n}\)が収束するという事象は、\begin{equation*}A=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \sum_{n=1}^{\infty }X_{n}\left( \omega
\right) <\infty \right\}
\end{equation*}ですが、これは確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の末尾事象です。したがって、コルモゴロフの0-1法則より、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が独立である場合、その確率\begin{equation*}P\left( A\right)
\end{equation*}が\(0\)または\(1\)のどちらか一方に定まることが保証されます。ただ、コルモゴロフの0-1法則は、この確率\(P\left(A\right) \)が\(0\)または\(1\)のどちらか一方に定まるということを教えてくれるものの、その確率が\(0\)と\(1\)のどちらであるか判定する基準までは与えてくれません。この確率\(P\left( A\right) \)が\(1\)に定まるための条件を与えるのが以下のヒンチン=コルモゴロフの収束定理（Khintchine-Kolmogorov convergence theorem）です。

ヒンチン=コルモゴロフの収束定理

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)を構成する確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)が独立であるとともに、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :E\left( X_{n}\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Var}\left( E_{n}\right)
<\infty
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。つまり、確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)は独立であるとともに、期待値はいずれも\(0\)であり、分散の総和が有限な実数として定まるということです。ただし、条件\(\left( b\right) \)の左辺は無限級数であるため、\(\left( b\right) \)が成り立つことは、\begin{equation*}\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=1}^{N}\mathrm{Var}\left( X_{n}\right)
<\infty
\end{equation*}であることを意味します。

以上の条件が満たされる場合、無限級数\(\sum X_{n}\)はほとんど確実に収束することが保証されます。つまり、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \sum_{n=1}^{\infty }X_{n}\left(
\omega \right) <\infty \right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つということです。これをヒンチン=コルモゴロフの収束定理（Khintchine-Kolmogorov convergence theorem）と呼びます。証明ではコルモゴロフの不等式を利用します。

コルモゴロフの二級数定理

先の命題を以下の形で表現する場合もあります。これをコルモゴロフの二級数定理（Kolmogorov’s two series theorem）と呼びます。

演習問題