コルモゴロフの三級数定理

独立な確率変数列に関する無限級数の収束可能性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。その上で、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)に関する無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }X_{n}=X_{1}+X_{2}+\cdots
\end{equation*}を定義します。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んで固定すれば、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)のもとでの実現値の列\(\left\{ X_{n}\left( \omega\right) \right\} \)に関する無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }X_{n}\left( \omega \right) =X_{1}\left( \omega \right)
+X_{2}\left( \omega \right) +\cdots
\end{equation*}が得られます。その上で、この無限級数\(\sum X_{n}\left( \omega \right) \)の和が有限な実数として定まる場合には、すなわち、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }X_{n}\left( \omega \right) <+\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=1}^{N}X_{n}\left( \omega \right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、この無限級数\(\sum X_{n}\)は標本点\(\omega \)において収束すると言います。無限級数\(\sum X_{n}\)が収束する標本点からなる事象は、\begin{equation*}A=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \sum_{n=1}^{\infty }X_{n}\left( \omega
\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}ですが、その確率が、\begin{equation*}
P\left( A\right) =1
\end{equation*}である場合には、この無限級数\(\sum X_{n}\)はほとんど確実に収束する（convergent almost surely）と言います。

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の項に関する無限級数\(\sum X_{n}\)が収束するという事象は、\begin{equation*}A=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \sum_{n=1}^{\infty }X_{n}\left( \omega
\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}ですが、これは確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の末尾事象です。したがって、コルモゴロフの0-1法則より、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が独立である場合、その確率\begin{equation*}P\left( A\right)
\end{equation*}が\(0\)または\(1\)のどちらか一方に定まることが保証されます。ただ、コルモゴロフの0-1法則は、この確率\(P\left(A\right) \)が\(0\)または\(1\)のどちらか一方に定まるということを教えてくれるものの、その確率が\(0\)と\(1\)のどちらであるか判定する基準までは与えてくれません。この確率\(P\left( A\right) \)が\(1\)に定まるための十分条件を与えるのがコルモゴロフの二級数定理（Kolmogorov’s two series theorem）です。結果だけを復習します。

コルモゴロフの二級数定理は、独立な確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の項に関する無限級数\(\sum X_{n}\)がほぼ確実に収束するための十分条件を与えていますが、これは必要十分条件ではありません。無限級数\(\sum X_{n}\)がほぼ確実に収束するための必要十分条件を与えるのが以下のコルモゴロフの三級数定理（Kolmogorov’s three series theorem）です。

コルモゴロフの三級数定理

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が与えられているものとします。ただし、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)を構成する確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)は独立であるものとします。その上で、無限級数\(\sum X_{n}\)がほとんど確実に収束する状況を想定します。つまり、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \sum_{n=1}^{\infty }X_{n}\left(
\omega \right) <+\infty \right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つということです。以上の条件のもとでは以下の3つの無限級数が有限な実数へ収束することが保証されます。

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が与えられれば、それぞれの確率変数\(X_{n}\)の実現値の絶対値が正の実数\(c>0\)より大きくなる確率が、\begin{equation*}P\left( \left\vert X_{n}\right\vert >1\right) =P\left( \left\{ \omega \in
\Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right) \right\vert >c\right\}
\right)
\end{equation*}として定まりまるため、この確率を項として持つ数列\begin{equation*}
\left\{ P\left( \left\vert X_{n}\right\vert >c\right) \right\} =\left\{
P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right)
\right\vert >c\right\} \right) \right\}
\end{equation*}が得られます。独立な確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の無限級数\(\sum X_{n}\)がほとんど確実に収束する場合、この数列の項の無限級数が収束することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }P\left( \left\vert X_{n}\right\vert >c\right) <+\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a\right) \ \sum_{n=1}^{\infty }P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
\left\vert X_{n}\left( \omega \right) \right\vert >c\right\} \right)
<+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)と正の定数\(c>0\)が与えられれば、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
X_{n}\left( \omega \right) & \left( if\ X_{n}\left( \omega \right) \leq
c\right) \\
0 & \left( if\ X_{n}\left( \omega \right) >c\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める確率変数\(Y_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を一般項として持つ確率変数列\(\left\{ Y_{n}\right\} \)が定義可能です。つまり、\(X_{n}\)のもとでの実現値が\(c\)以下である場合にはそれをそのまま返し、そうではない場合には\(0\)を返すということです。ただし、\begin{equation*}1_{\left\{ \left\vert X_{n}\left( \omega \right) \right\vert \leq c\right\}
}=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ X_{n}\left( \omega \right) \leq c\right) \\
0 & \left( if\ X_{n}\left( \omega \right) >c\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}とおけば、これを、\begin{equation*}
Y_{n}\left( \omega \right) =X_{n}\left( \omega \right) \cdot 1_{\left\{
\left\vert X_{n}\left( \omega \right) \right\vert \leq c\right\} }
\end{equation*}と表現できます。独立な確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)の無限級数\(\sum X_{n}\)がほとんど確実に収束する場合、この確率変数列\(\left\{ Y_{n}\right\} \)の期待値の総和と分散の総和がともに収束することが保証されます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( b\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }E\left( Y_{n}\right) <\infty \\
&&\left( c\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }V\left( Y_{n}\right) <\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。

独立な確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)の無限級数がほとんど確実に収束する場合、先に提示した3つの級数もまた収束することが明らかになりました。実は、逆の議論もまた成立します。つまり、先に提示した3つの級数が収束する場合には、独立な確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の無限級数がほとんど確実に収束することが保証されるということです。

以上の2つの命題より、独立な確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の無限級数がほとんど確実に収束するための必要十分条件が明らかになりました。この条件は3つの無限級数の収束可能性に関する主張であるため、これをコルモゴロフの三級数定理（Kolmogorov’s three series theorem）と呼びます。