概収束する確率変数列
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の項であるすべての確率変数\begin{equation*}X_{1},X_{2},X_{3},\cdots
\end{equation*}は同一の標本空間\(\Omega \)を定義域として共有するため、標本点\(\omega \in\Omega \)を選んで固定すると、それぞれの確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)のもとでの実現値からなる数列\begin{equation*}X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left( \omega
\right) ,\cdots
\end{equation*}が得られます。つまり、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)と標本点\(\omega \in \Omega \)が与えられれば、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right)
\end{equation*}を一般項として持つ数列\begin{equation*}
\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}が定義可能であるということです。数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} \)が得られれば、それが有限な実数へ収束するか検討できます。数列\(\left\{X_{n}\left( \omega \right) \right\} \)が有限な実数へ収束する場合、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は標本点\(\omega \in \Omega \)において各点収束する（pointwise convergent at \(\omega \)）と言います。これは、標本点\(\omega \)が実現した場合には、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)の要素である確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)のもとでの実現値からなる数列\(X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left(\omega \right) ,\cdots \)が有限な実数へ限りなく近づくことを意味します。
標本点\(\omega \in \Omega \)を変えればそれに応じて異なる数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} \)が得られますが、それらの数列の中には有限な実数へ収束するものとそうでないものが存在する可能性があります。そこで、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が各点収束するような標本点からなる事象を、\begin{equation*}A=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left(
\omega \right) \in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}で表記します。その上で、この事象の確率が\(1\)である場合には、すなわち、\begin{equation*}P\left( A\right) =1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{n\rightarrow \infty
}X_{n}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つ場合には、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は概収束する（convergent almost surely）とかほとんど確実に収束する（almost sure convergent）などと言います。
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が概収束する場合には以下の条件\begin{equation*}\forall \omega \in A:\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right)
\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つため、以下の条件\begin{equation*}
\forall \omega \in A:X\left( \omega \right) =\lim_{n\rightarrow \infty
}X_{n}\left( \omega \right)
\end{equation*}を満たす新たな確率変数\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。つまり、事象\(A\)に属するどのような標本点\(\omega \)が実現した場合においても、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の要素である確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)のもとでの実現値からなる数列\(X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right),X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots \)が必ず、確率変数\(X\)のもとでの実現値\(X\left( \omega \right) \)へと限りなく近づくということです。このような事情を踏まえた上で、以上のように定義される確率変数\(X\)を確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の概極限（almost sure limit）やほとんど確実な極限と呼びます。その上で、確率変数\(X\)が確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の概極限であることを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{a.s.}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。以上が概収束という収束概念にもとづく確率変数列の極限の定義です。
改めて整理すると、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の概極限が\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)であることは、以下の事象\begin{equation*}A=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left(
\omega \right) =X\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}の確率が、\begin{equation*}
P\left( A\right) =1
\end{equation*}であることを意味します。
\Omega =\left\{ \omega _{1},\omega _{2}\right\}
\end{equation*}であるとともに、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{n} & \left( if\ \omega =\omega _{1}\right) \\
1+\frac{2}{n} & \left( if\ \omega =\omega _{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は概収束することを示します。標本点\(\omega _{1}\in \Omega \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega _{1}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) \quad \because
\left\{ X_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(\omega _{1}\)において各点収束します。標本点\(\omega_{2}\in \Omega \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega _{2}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{2}{n}\right) \quad \because
\left\{ X_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&1+0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(\omega _{2}\)において各点収束します。以上より、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(\Omega \)上の任意の点において各点収束であることが明らかになりました。全事象\(\Omega \)は可測であるとともに、\begin{equation*}P\left( \Omega \right) =1
\end{equation*}であるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は概収束することが明らかになりました。概極限\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ \omega =\omega _{1}\right) \\
1 & \left( if\ \omega =\omega _{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であるとともに、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\frac{\omega }{n+1}
\end{equation*}を定めるものとします。標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{\omega }{n+1}\right) \quad \because \left\{
X_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\omega }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( n+1\right) } \\
&=&\frac{\omega }{+\infty } \\
&=&0\quad \because \omega \in \left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となるため、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(\omega \)において各点収束です。以上より、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(\Omega \)上の任意の点において各点収束であることが明らかになりました。全事象\(\Omega \)は可測であるとともに、\begin{equation*}P\left( \Omega \right) =1
\end{equation*}であるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は概収束することが明らかになりました。概極限\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を定めます。
\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間\(\mathcal{F}\)は\(\left[ 0,1\right] \)上の開集合系から生成されるボレル集合族\begin{equation*}B\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、確率測度\(P\)はルベーグ測度\begin{equation*}\mu :B\left( \left[ 0,1\right] \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。以上のように定義される\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。標本空間\(\Omega \)上に定義された確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
n & \left( if\ \omega =0\right) \\
\frac{1}{n} & \left( if\ \omega \not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\omega \in (0,1]\)を満たす任意の標本点\(\omega \in \Omega \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{n}\right) \quad \because \left\{ X_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(\omega \)において各点収束します。標本点\(\omega =0\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( 0\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }n\quad \because \left\{ X_{n}\right\} \text{の定義}
\\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(0\)において各点収束しません。以上より、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\((0,1]\)上の任意の点において各点収束であることが明らかになりました。半開区間\((0,1]\)はボレル集合であるため、\begin{equation*}(0,1]\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つとともに、その確率は、\begin{eqnarray*}
P\left( (0,1]\right) &=&\mu \left( (0,1]\right) \quad \because P\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{ルベーグ測度の定義}
\end{eqnarray*}です。以上より、\(\left\{X_{n}\right\} \)は概収束することが明らかになりました。概極限\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall \omega \in (0,1]:X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を満たします。\(X\left( 0\right) \)の値は任意です。
確率変数列は概収束するとは限らない
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が概収束することとは、以下の事象\begin{equation*}A=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left(
\omega \right) \in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}の確率が、\begin{equation*}
P\left( A\right) =1
\end{equation*}であることとして定義されます。したがって、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が概収束しないこととは、\begin{equation*}P\left( A\right) <1
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束する標本点からなる事象の確率が\(1\)より小さい場合、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は概収束しません。
確率変数列は概収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\Omega =\left\{ \omega _{1},\omega _{2}\right\}
\end{equation*}であり、事象空間は、\begin{equation*}
\mathcal{F}=\left\{ \phi ,\left\{ \omega _{1}\right\} ,\left\{ \omega
_{2}\right\} ,\left\{ \omega _{1},\omega _{2}\right\} \right\}
\end{equation*}であり、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}P\left( \phi \right) &=&0 \\
P\left( \left\{ \omega _{1}\right\} \right) &=&\frac{1}{2} \\
P\left( \left\{ \omega _{2}\right\} \right) &=&\frac{1}{2} \\
P\left( \left\{ \omega _{1},\omega _{2}\right\} \right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとします。以上のように定義される\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{n} & \left( if\ \omega =\omega _{1}\right) \\
n & \left( if\ \omega =\omega _{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。標本点\(\omega _{1}\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega _{1}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\quad \because \left\{
X_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(\omega _{1}\)において各点収束します。標本点\(\omega _{2}\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega _{2}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n\quad \because \left\{ X_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(\omega _{2}\)において各点収束しません。以上より、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束する標本点からなる事象は\(\left\{ \omega _{1}\right\} \)であることが明らかになりました。この事象の確率は、\begin{eqnarray*}P\left( \left\{ \omega _{1}\right\} \right) &=&\frac{1}{2}\quad \because P\text{の定義} \\
&<&1
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\left\{X_{n}\right\} \)は概収束しません。
概極限はほとんどいたるところで等しい
確率変数列が概収束する場合、概極限に相当する確率変数は一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}であり、確率関数\(P\)はルベーグ測度\begin{equation*}\mu :B\left( \left[ 0,1\right] \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。以上のように定義される\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。標本空間\(\Omega \)上に定義された確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
n & \left( if\ \omega =0\right) \\
\frac{1}{n} & \left( if\ \omega \not=0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は概収束するとともに、概極限である確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall \omega \in (0,1]:X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を満たします。\(X\left( 0 \right) \)の値は任意であるため、\(X\left( 0 \right) \)の選び方に応じて異なる概極限\(X\)が得られます。したがって、\(\left\{ X_{n}\right\} \)の概極限は一意的に定まりません。
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が概収束する場合、その概極限は一意的に定まるとは限らないことが明らかになりました。ただ、\(\left\{X_{n}\right\} \)の異なる概極限\(X,Y\)を任意に選んだとき、それらはほとんどいたるところで等しいことは保証されます。つまり、\(X\)が定める値と\(Y\)が定める値が一致するような事象の確率は\(1\)になること、すなわち、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) =Y\left(
\omega \right) \right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つことは保証されるということです。
\omega \right) \right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
\end{equation*}であり、確率関数\(P\)はルベーグ測度\begin{equation*}\mu :B\left( \left[ 0,1\right] \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。以上のように定義される\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。標本空間\(\Omega \)上に定義された確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\frac{n}{n+1}\omega +\left( 1-\omega \right) ^{n}
\end{equation*}を定めるものとします。その一方で、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を定めるものとします。以下\begin{equation*}
X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\Omega =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であり、事象空間は、\begin{equation*}
\mathcal{F}=\left\{ \phi ,\left\{ 0\right\} ,\left\{ 1\right\} ,\left\{
0,1\right\} \right\}
\end{equation*}であり、確率関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}P\left( \phi \right) &=&0 \\
P\left( \left\{ 0\right\} \right) &=&\frac{1}{2} \\
P\left( \left\{ 1\right\} \right) &=&\frac{1}{2} \\
P\left( \left\{ 0,1\right\} \right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとします。以上のように定義される\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{n}{n+1} & \left( if\ \omega =0\right) \\
\left( -1\right) ^{n} & \left( if\ \omega =1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は概収束するでしょうか。議論してください。
\end{equation*}であり、確率関数\(P\)はルベーグ測度\begin{equation*}\mu :B\left( \left[ 0,1\right] \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。以上のように定義される\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。標本空間\(\Omega \)上に定義された確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq \omega <\frac{n+1}{2n}\right) \\
0 & \left( if\ \frac{n+1}{2n}\leq \omega \leq 1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。その一方で、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq \omega <\frac{1}{2}\right) \\
0 & \left( if\ \frac{1}{2}\leq \omega \leq 1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下\begin{equation*}
X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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