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漸近理論

概収束する(ほとんど確実に収束する)確率変数列

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概収束する確率変数列

問題としている試行に関する確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている状況を想定します。加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。標本点\(\omega \in \Omega \)を選べば確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)から数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega\right) \right\} \)が得られますが、この数列が有限な実数へ収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、もとの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は標本点\(\omega \in \Omega \)において各点収束すると言います。特に、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が任意の標本点において各点収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、もとの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は各点収束すると言います。この場合、それぞれの\(\omega \in\Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right)
\end{equation*}を値として定める確率変数\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であるため、これを確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の各点極限と呼びます。その上で、確率変数\(X\)が確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の各点極限であることを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{pointwise}
\end{equation*}で表記します。

各点収束および極限関数の定義を踏まえると、標本空間\(\Omega \)を共有する確率変数からなる確率変数列\(\left\{\Omega _{n}\right\} \)が各点極限である確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ収束することとは、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) =X\left( \omega \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。イプシロン・エヌ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left(
\omega \right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。

標本空間\(\Omega \)を共有する確率変数の列\(\left\{X_{n}\right\} \)が各点収束であるためには、\(\Omega \)上の任意の標本点において\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束する必要がありますが、これは要求として厳しすぎます。そこで、\(\Omega \)上のほとんどすべての標本点において確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が各点収束であれば、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は収束するものとみなす立場もあります。具体的には以下の通りです。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が与えられている状況を想定します。つまり、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束であるような標本点からなる事象を\(A\subset \Omega \)で表記します。つまり、\begin{equation*}\left( a\right) \ \forall \omega \in A:\lim_{n\rightarrow \infty
}X_{n}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つということです。この事象\(A\)は必ずしも可測であるとは限りません。つまり、\(A\in \mathcal{F}\)が成り立つとは限らないということです。いずれにせよ、以上の状況において、問題としている事象\(A\)の余事象\(A^{c}=\Omega \backslash A\)が何らかの零事象の部分事象である場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( b\right) \ A^{c}\subset B \\
&&\left( c\right) \ P\left( B\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす可測事象\(B\in \mathcal{F}\)が存在する場合には、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)は概収束する(convergent almost surely)とかほとんど確実に収束する(almost sure convergent)などと言います。

以上の定義において、問題としている事象\(A\)は可測であるとは限らないため、その余事象\(A^{c}\)もまた可測であるとは限りません。ただ、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が概収束する場合には、\(A^{c}\)を部分事象として持つ可測な零事象\(B\)が存在することが保証されるため、\(A^{c}\)が起こる確率を何らかの形で評価するのであれば、それは無視できるほど小さくなります。特に、問題としている事象\(A\)が可測である場合には、すなわち、\begin{equation*}A\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つ場合には、事象空間\(\mathcal{F}\)は補集合について閉じていることから、\begin{equation*}A^{c}\in \mathcal{F}
\end{equation*}もまた成立し、したがって確率関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はこれらの事象\(A,A^{c}\)に対して確率\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &\in &\mathbb{R} \\
P\left( A^{c}\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を定めることが保証されます。その上で、\begin{eqnarray*}
0 &\leq &P\left( A^{c}\right) \quad \because P\text{の非負性} \\
&\leq &P\left( B\right) \quad \because \left( b\right) \text{および}P\text{の単調性} \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( A^{c}\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束することが明らかではない標本点\(\omega \)からなる集合\(A^{c}\)は零集合になります。加えて、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &=&P\left( \Omega \backslash A^{c}\right) \\
&=&P\left( \Omega \right) -P\left( A^{c}\right) \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束するような標本点\(\omega \)からなる集合\(A\)の確率は\(1\)になります。つまり、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{n\rightarrow \infty
}X_{n}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つということです。

改めて整理すると、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が概収束することとは、何らかの事象\(A\subset \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \omega \in A:\lim_{n\rightarrow \infty
}X_{n}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ A^{c}\subset B \\
&&\left( c\right) \ P\left( B\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす可測事象\(B\in \mathcal{F}\)が存在することを意味します。この場合、以下の条件\begin{equation*}\forall \omega \in A:X\left( \omega \right) =\lim_{n\rightarrow \infty
}X_{n}\left( \omega \right)
\end{equation*}を満たす確率変数\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選べば、\(\Omega \)上のほとんどすべての標本点\(\omega \)について(ほとんど確実な事象\(A\)上のすべての標本点について)、\(n\)が大きくなるにつれて\(X_{n}\left(\omega \right) \)は\(X\left( \omega \right) \)へ限りなく近づくため、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の項である確率変数\(X_{n}\)は確率変数\(X\)へ限りなく近づくとみなしても問題はありません。このような事情を踏まえた上で、この確率変数\(X\)を確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の概極限(almost sure limit)やほとんど確実な極限などと呼び、そのことを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{a.s.}
\end{equation*}で表記します。以上が概極限という収束概念にもとづく確率変数列の極限の定義です。

概極限の定義を踏まえると、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が概極限である確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ収束することとは、何らかの事象\(A\subset \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \omega \in A:\lim_{n\rightarrow \infty
}X_{n}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ A^{c}\subset B \\
&&\left( c\right) \ P\left( B\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす可測事象\(B\in \mathcal{F}\)が存在することを意味します。特に、イプシロン・エヌ論法を用いて\(\left( a\right) \)を表現すると、\begin{equation*}\forall \omega \in A,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left(
\omega \right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。

例(概収束する確率変数列)
標本空間が、\begin{equation*}
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であるものとします。\(\Omega \)上の開集合系\(\mathcal{O}_{\Omega }\)から生成されるボレル集合族を\(\sigma \left( \mathcal{O}_{\Omega }\right) \)で表記します。その上で、事象空間を、\begin{equation*}\mathcal{F}=\sigma \left( \mathcal{O}_{\Omega }\right)
\end{equation*}と定めます。ルベーグ測度を\(\mu :\sigma \left( \mathcal{O}_{\Omega}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。その上で、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}P=\mu
\end{equation*}と定めます。以上のように定義される\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。標本空間\(\Omega \)上に定義された確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
n & \left( if\ \omega =0\right) \\
\frac{1}{n} & \left( if\ \omega \not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。\(\omega \in (0,1]\)を満たす標本点\(\omega \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{n}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(\omega \)において各点収束します。標本点\(\omega =0\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( 0\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(0\)において各点収束しません。以上より、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(\Omega \backslash \left\{0\right\} \)上の任意の点において各点収束であることが明らかになりました。\(\Omega \backslash \left\{ 0\right\} \)の補集合は根元事象\(\left\{ 0\right\} \)ですが、根元事象はボレル集合であるため、\begin{equation*}\left\{ 0\right\} \in \sigma \left( \mathcal{O}_{\Omega }\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ 0\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、その確率は、\begin{eqnarray*}
P\left( \left\{ 0\right\} \right) &=&\mu \left( \left\{ 0\right\} \right)
\quad \because P\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{ルベーグ測度の定義}
\end{eqnarray*}であるため、これは零集合です。以上より、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は概収束することが明らかになりました。概極限である確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall \omega \in (0,1]:X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を満たします。\(X\left( 0\right) \)の値は任意です。

 

確率変数列は概収束するとは限らない

確率変数列は概収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(概収束しない確率変数列)
標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \omega _{1},\omega _{2}\right\}
\end{equation*}であり、事象空間は、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}であり、確率関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega _{1}\right\} \right) =P\left( \left\{ \omega
_{2}\right\} \right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}を満たすものとします。以上のように定義される\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。標本空間\(\Omega \)上に定義された確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{n} & \left( if\ \omega =\omega _{1}\right) \\
n & \left( if\ \omega =\omega _{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。標本点\(\omega _{1}\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega _{1}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n}{n+1}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right) \\
&=&\frac{1}{1+0} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(\omega _{1}\)において各点収束します。標本点\(\omega _{2}\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega _{2}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(\omega _{2}\)において各点収束しません。以上より、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(\Omega \backslash\left\{ \omega _{2}\right\} \)上の任意の点において各点収束であることが明らかになりました。\(\Omega \backslash \left\{\omega _{2}\right\} \)の補集合は根元事象\(\left\{ \omega _{1}\right\} \)ですが、\(\left\{ \omega _{1}\right\} \subset A\)を満たす任意の事象\(A\in \mathcal{F}\)について、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &\geq &P\left( \left\{ \omega _{1}\right\} \right) \quad
\because \left\{ \omega _{1}\right\} \subset A\text{および}P\text{の単調性} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は概収束しないことが明らかになりました。
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