各点収束する確率変数列
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)とは無限個の実数を順番に並べたもの\begin{equation*}x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)がある有限な実数\(a\)へ限りなく近づく場合、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は実数\(a\)に収束するといい、そのことを、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}で表記します。また、このような実数\(a\)を数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と呼びます。また、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が実数\(a\)へ収束することをイプシロン・エヌ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。では、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)についても、その収束可能性や極限を何らかの形で定義できるでしょうか。
問題としている試行に関する確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)は無限個の確率変数の並び\begin{equation*}X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、その収束可能性や極限を何らかの形で定義できるでしょうか。1つの考え方は、\(n\)が大きくなるにつれて確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の項である確率変数\(X_{n}\)が何らかの確率変数\(X\)へ限りなく近づくのであれば、この確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)の極限は\(X\)であるものとみなす、というものです。この場合、確率変数\(X_{n}\)が確率変数\(X\)へ近づくことをどのように定義するかが問題になります。
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数が、\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。この確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)の項であるすべての確率変数\begin{equation*}X_{1},X_{2},X_{3},\cdots
\end{equation*}は同一の標本空間\(\Omega \)を定義域として共有するため、標本点\(\omega \in\Omega \)を選んで固定すると、それぞれの確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)のもとでの実現値からなる数列\begin{equation*}X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left( \omega
\right) ,\cdots
\end{equation*}が得られます。つまり、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)と標本点\(\omega \in \Omega \)が与えられれば、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right)
\end{equation*}を一般項として持つ数列\begin{equation*}
\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}が定義可能であるということです。数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} \)が得られれば、それが有限な実数へ収束するか検討できます。数列\(\left\{X_{n}\left( \omega \right) \right\} \)が有限な実数へ収束する場合、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は標本点\(\omega \in \Omega \)において各点収束する（pointwise convergent at \(\omega \)）と言います。これは、標本点\(\omega \)が実現した場合には、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)の要素である確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)のもとでの実現値からなる列\(X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left(\omega \right) ,\cdots \)が有限な実数へ限りなく近づくことを意味します。
標本点\(\omega \in \Omega \)を変えればそれに応じて異なる数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} \)が得られますが、それらの数列の中には有限な実数へ収束するものとそうでないものが存在する可能性があります。ただ、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が標本空間\(\Omega \)上の任意の標本点において各点収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は各点収束する（pointwise convergent）とか確実収束する（sure convergent）などと言います。これは、どのような標本点\(\omega \)が実現した場合においても、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の要素である確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)のもとでの実現値からなる列\(X_{1}\left( \omega\right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots \)が必ず有限な実数へ限りなく近づくことを意味します。
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束する場合には以下の条件\begin{equation}\forall \omega \in \Omega :\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) \in \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation}X\left( \omega \right) =\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を値として定める新たな確率変数\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、以下の条件\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) =X\left( \omega \right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、どのような標本点\(\omega \)が実現した場合においても、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の要素である確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)のもとでの実現値からなる列\(X_{1}\left( \omega \right),X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots \)が必ず、確率変数\(X\)のもとでの実現値\(X\left( \omega \right) \)へと必ず近づくことを意味します。このような事情を踏まえた上で、以上のように定義される確率変数\(X\)を確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)の各点極限（pointwise limit）と呼びます。その上で、確率変数\(X\)が確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の各点極限であることを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{pointwise}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{p.w.}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。以上が各点収束という収束概念にもとづく確率変数列の極限の定義です。
改めて整理すると、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の各点極限が\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)であることは、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) =X\left( \omega \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。イプシロン・エヌ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left(
\omega \right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。
\Omega =\left\{ \omega _{1},\omega _{2}\right\}
\end{equation*}であるとともに、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{n} & \left( if\ \omega =\omega _{1}\right) \\
1+\frac{2}{n} & \left( if\ \omega =\omega _{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は各点収束することを示します。標本点\(\omega _{1}\in \Omega \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega _{1}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) \quad \because
\left\{ X_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(\omega _{1}\)において各点収束します。標本点\(\omega_{2}\in \Omega \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega _{2}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{2}{n}\right) \quad \because
\left\{ X_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&1+0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(\omega _{2}\)において各点収束します。したがって\(\left\{ X_{n}\right\} \)は各点収束します。各点極限\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ \omega =\omega _{1}\right) \\
1 & \left( if\ \omega =\omega _{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であるとともに、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\frac{\omega }{n+1}
\end{equation*}を定めるものとします。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は各点収束することを示します。標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{\omega }{n+1}\right) \quad \because \left\{
X_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\omega }{+\infty } \\
&=&0\quad \because \omega \in \left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となるため、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(\omega \)において各点収束します。任意の標本点\(\omega \)について同様であるため\(\left\{ X_{n}\right\} \)は各点収束します。各点極限\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を定めます。
確率変数列は各点収束するとは限らない
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束することは、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つこととして定義されます。したがって、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束しないこととは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists \omega \in \Omega :\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) \not\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、少なくとも1つの標本点\(\omega \)のもとでの実現値の列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} \)が有限な実数へ収束しない場合、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は各点収束しません。
以下は各点収束する標本点と各点収束しない標本点の双方が存在するケースです。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であるとともに、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =n\omega
\end{equation*}を定めるものとします。標本点\(\omega =0\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( 0\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }n0\quad \because \left\{ X_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(0\)において各点収束です。その一方で、\(\omega \in (0,1]\)を満たす任意の標本点\(\omega \in \Omega \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }n\omega \quad \because \left\{ X_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\omega \lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&\omega \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty \quad \because \omega \in (0,1] \end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(\omega \)において各点収束ではありません。以上より、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(0\)においてのみ各点収束であり、他の任意の標本点において各点収束ではないことが明らかになりました。したがって、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は各点収束しません。
以下は各点収束する標本点が存在しないケースです。
\Omega =\left( 0,1\right)
\end{equation*}であるとともに、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =n\omega
\end{equation*}を定めるものとします。標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }n\omega \quad \because \left\{ X_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\omega \lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&\omega \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty \quad \because \omega \in \left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(\omega \)において各点収束ではありません。任意の標本点\(\omega \)について同様であるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束する標本点は存在せず、したがって\(\left\{X_{n}\right\} \)は各点収束しません。
確率変数列の各点極限の一意性
確率変数列が各点収束する場合、その各点極限に相当する確率変数は一意的に定まります。つまり、確率変数列が異なる複数の確率変数へ各点収束するという事態は起こり得ません。
演習問題
\right) =X\left( \omega \right) \right\} =\Omega
\end{equation*}が成り立つことは必要十分であることを示してください。また、このとき、\begin{equation*}
P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{n\rightarrow \infty
}X_{n}\left( \omega \right) =X\left( \omega \right) \right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\left( \text{表},\text{裏},\text{裏},\text{表},\cdots \right)
\end{equation*}のような「表」と「裏」から構成される無限列として表されます。\(n\)回目のコイン投げの結果を、\begin{equation*}\omega _{n}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}と表記するのであれば、それぞれの標本点を、\begin{equation*}
\omega =\left( \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right)
\end{equation*}と定式化できます。この試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\} ^{\mathbb{N} }
\end{equation*}です。自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}X_{n}\left( \omega \right) &=&n\text{回目に表が出た回数} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega _{n}=\text{表}\right) \\
0 & \left( if\ \omega _{n}=\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定める確率変数\begin{equation*}
X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。以上の確率変数\(X_{n}\)を一般項とする確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束しないことを示してください。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であるとともに、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\omega ^{n}
\end{equation*}を定めるものとします。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束することを示した上で、各点極限\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を特定してください。
\Omega =\left( 0,1\right)
\end{equation*}上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\frac{n}{n\omega +1}
\end{equation*}を定めるものとします。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束することを示した上で、各点極限\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を特定してください。
\Omega =\left[ -1,1\right] \end{equation*}上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\sqrt{\frac{n\omega ^{2}+1}{n}}
\end{equation*}を定めるものとします。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束することを示した上で、各点極限\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を特定してください。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\frac{2n\omega }{e^{n\omega ^{2}}}
\end{equation*}を定めるものとします。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束することを示した上で、各点極限\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を特定してください。
\right)
\end{equation*}を定める確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義した上で、この\(X_{n}\)を一般項とする確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)を構成します。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は先の確率変数\(X\)へ各点収束することを示してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】