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漸近理論

各点収束する確率変数列

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各点収束する確率変数列

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)とは無限個の実数を順番に並べたもの\begin{equation*}x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)がある有限な実数\(a\)へ限りなく近づく場合、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は実数\(a\)に収束するといい、そのことを、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}で表記します。また、このような実数\(a\)を数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と呼びます。また、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が実数\(a\)へ収束することをイプシロン・エヌ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。

一方、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)とは定義域である標本空間\(\Omega \)を共有する無限個の確率変数を順番に並べたもの\begin{equation*}X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の極限を何らかの形で定義できるでしょうか。1つの考え方は、\(n\)が大きくなるにつれて確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の項である確率変数\(X_{n}\)がある確率変数\(X\)へ限りなく近づくのであれば、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の極限は\(X\)であるものとみなす、というものです。この場合、確率変数\(X_{n}\)が確率変数\(X\)へ近づくことをどのように定義するかが問題になります。確率変数は標本空間\(\Omega \)上に定義された関数であるため、確率変数である\(X_{n}\)と\(X\)が等しいこととは、任意の標本点\(\omega \in \Omega \)に対して\(X_{n}\left( \omega \right) =X\left( \omega \right) \)が成り立つこととして定義されます。したがって、標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\(n\)が大きくなるにつれて\(X_{n}\left( \omega \right) \)が\(X\left( \omega \right) \)へ限りなく近づくのであれば、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の項である確率変数\(X_{n}\)は確率変数\(X\)へ限りなく近づくと言えそうです。以上の考え方をもとに、確率変数列の極限を以下で定義します。

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。この確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)の項であるすべての確率変数\begin{equation*}X_{1},X_{2},X_{3},\cdots
\end{equation*}は定義域である標本空間\(\Omega \)を共有するため、標本点\(\omega \in \Omega \)を選んで固定すると、これらの確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)が先の標本点\(\omega \)に対して定める値を項とする数列\begin{equation*}X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left( \omega
\right) ,\cdots
\end{equation*}を得ることができます。つまり、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)と標本点\(\omega \in \Omega \)が与えられれば、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right)
\end{equation*}を一般項として持つ数列\begin{equation*}
\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}が定義可能です。数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} \)が得られれば、それが有限な実数へ収束するか検討できます。数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} \)が有限な実数へ収束する場合、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、もとの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は標本点\(\omega \in \Omega \)において各点収束する(pointwise convergent at \(\omega \))と言います。

標本点\(\omega \in \Omega \)を変えればそれに応じて異なる数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} \)が得られますが、それらの数列の中には有限な実数へ収束するものとそうでないものが存在する可能性があります。特に、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が標本空間\(\Omega \)上の任意の標本点において各点収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、もとの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は各点収束する(pointwise convergent)と言います。確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が各点収束する場合には、任意の標本点\(\omega \in \Omega \)に対して\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right) \)は有限な実数として定まることが保証されるため、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right)
\end{equation*}を値として定める確率変数\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。つまり、標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\(n\)が大きくなるにつれて\(X_{n}\left( \omega \right) \)は\(X\left( \omega \right) \)へ限りなく近づくため、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)の項である確率変数\(X_{n}\)は確率変数\(X\)へ限りなく近づくと言えます。このような事情を踏まえた上で、この確率変数\(X\)を確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の各点極限(pointwise limit)と呼びます。その上で、確率変数\(X\)が確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の各点極限であることを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{pointwise}
\end{equation*}で表記します。以上が各点収束という収束概念にもとづく確率変数列の極限の定義です。

各点収束の定義を踏まえると、標本空間\(\Omega \)を共有する確率変数からなる確率変数列\(\left\{ \Omega _{n}\right\} \)の各点極限が\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)であることは、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) =X\left( \omega \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。イプシロン・エヌ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left(
\omega \right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。

例(各点収束する確率変数列)
標本空間\begin{equation*}
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\frac{\omega }{n+1}
\end{equation*}を定める確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。標本点\(\omega \in \left[ 0,1\right] \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{\omega }{n+1}\right) \\
&=&\frac{\omega }{+\infty } \\
&=&0\quad \because \omega \in \left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となるため、もとの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(\omega \)において各点収束です。したがって、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は各点収束であり、各点極限である確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}X\left( \omega \right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) \quad \because \text{各点極限の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。

例(各点収束する確率変数列)
標本空間\begin{equation*}
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\omega ^{n}
\end{equation*}を定める確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。標本点\(\omega =1\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( 1\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }1^{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は標本点\(1\)において各点収束です。\(\omega \in \lbrack 0,1)\)を満たす任意の\(\omega \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\omega ^{n} \\
&=&0\quad \because \omega \in \lbrack 0,1)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は標本点\(\omega \)において各点収束です。したがって、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は各点収束であり、各点極限である確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}X\left( \omega \right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) \quad \because \text{各点極限の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega =1\right) \\
0 & \left( if\ \omega \in \lbrack 0,1)\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。

 

確率変数列は各点収束するとは限らない

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。この場合、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は定義域である標本空間\(\Omega \)上の任意の点において各点収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(各点収束しない確率変数列)
標本空間\begin{equation*}
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =n\omega
\end{equation*}を定める確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。標本点\(\omega \in \left[ 0,1\right] \)を選んで固定すれば、数列\begin{equation*}\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} =\left\{ n\omega \right\}
\end{equation*}が得られます。特に、\(\omega =0\)については、\begin{eqnarray*}\left\{ X_{n}\left( 0\right) \right\} &=&\left\{ n\cdot 0\right\} \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( 0\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }0 \\
&=&0 \\
&\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(0\)において各点収束です。一方、\(\omega \in (0,1]\)を満たす\(\omega \)については、\begin{equation*}\left\{ X_{n}\left( x\right) \right\} =\left\{ n\omega \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }n\omega \\
&=&\omega \lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&\omega \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty \quad \because \omega \in (0,1] \end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(x\)において各点収束ではありません。以上より、\(\left\{X_{n}\right\} \)は点\(0\)においてのみ各点収束であり、他の任意の標本点において各点収束ではないことが明らかになりました。したがって、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は各点収束しません。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点収束な点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(各点収束しない確率変数列)
標本空間\begin{equation*}
\Omega =\left( 0,1\right)
\end{equation*}上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =n\omega
\end{equation*}を定める確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。標本点\(\omega \in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }n\omega \\
&=&\omega \lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&\omega \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty \quad \because \omega \in \left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は点\(\omega \)において各点収束ではありません。\(\left( 0,1\right) \)上の任意の点において同様であるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束な点は存在せず、したがって\(\left\{ X_{n}\right\} \)は各点収束しません。

 

確率変数列の各点極限の一意性

関数変数列の収束概念として各点収束を採用した上で、確率変数の各点極限が存在する場合、それは1つの確率変数として定まります。言い換えると、確率変数列が異なる複数の確率変数へ各点収束することはありません。

命題(確率変数列の各点極限の一意性)
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束する場合、その各点極限である確率変数は一意的である。
証明

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演習問題

問題(各点収束する確率変数列)
標本空間\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \omega _{1},\omega _{2}\right\}
\end{equation*}上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{n} & \left( if\ \omega =\omega _{1}\right) \\
1+\frac{2}{n} & \left( if\ \omega =\omega _{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束することを示すとともに、各点極限である確率変数を特定してください。
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問題(各点収束する確率変数列)
標本空間\begin{equation*}
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\frac{n}{n\omega +1}
\end{equation*}を定める確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束することを示すとともに、各点極限である確率変数を特定してください。
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問題(各点収束する確率変数列)
標本空間\begin{equation*}
\Omega =\left[ -1,1\right] \end{equation*}上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\sqrt{\frac{n\omega ^{2}+1}{n}}
\end{equation*}を定める確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束することを示すとともに、各点極限である確率変数を特定してください。
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問題(各点収束する確率変数列)
標本空間\begin{equation*}
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\frac{2n\omega }{e^{n\omega ^{2}}}
\end{equation*}を定める確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)が各点収束することを示すとともに、各点極限である確率変数を特定してください。
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