公理主義的確率論の考え方
公理主義的確率論の舞台は3つの要素から構成されます。1つ目は、試行において起こり得るすべての標本点からなる集合であり、これは標本空間\begin{equation*}
\Omega
\end{equation*}として定式化されます。
事象は標本空間\(\Omega \)の部分集合として定義されますが、確率を記述する際に、確率の測定対象となる事象を定めておく必要があります。そこで、確率空間の2つ目の要素として、確率の測定対象となる事象をすべて集めてできる\(\Omega \)の部分集合族\begin{equation*}\mathcal{F}
\end{equation*}を導入します。つまり、\(A\in \mathcal{F}\)を満たす事象\(A\subset \Omega \)のみを確率の測定対象とするということです。
確率を記述するために残された課題は、事象空間\(\mathcal{F}\)に属するそれぞれの事象に対して、その起こりやすさを特定することです。そこで、確率空間を構成する3つ目の要素として、事象空間に属するそれぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、それが起こる確率に相当する実数\(P\left(A\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ割り当てる集合関数\begin{equation*}P:\mathcal{F\rightarrow \mathbb{R} }
\end{equation*}を導入します。
公理主義的確率論では、以上の3つの要素から構成される概念\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}が満たすべき性質を公理として定めた上で、そこを出発点に議論を行うことになります。
標本空間\(\Omega \)が有限集合や可算集合である場合には、事象空間\(\mathcal{F}\)として標本空間のベキ集合\begin{equation*}2^{\Omega }
\end{equation*}を採用した上で、集合関数\(P:2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \)が確率論の公理\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \omega \in \Omega :P\left( \left\{ \omega
\right\} \right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{\omega \in \Omega }P\left( \left\{ \omega \right\}
\right) =1 \\
&&\left( c\right) \ \forall A\in 2^{\Omega }:P\left( A\right) =\sum_{\omega
\in A}P\left( \left\{ \omega \right\} \right)
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。条件\(\left( a\right) \)は、根元事象の確率は非負の実数であることを意味し、条件\(\left( b\right) \)は、すべての根元事象の確率の総和が\(1\)と一致することを意味します。ただし、\(\Omega \)が有限集合である場合には\(\left( b\right) \)の左辺は有限個の実数の和である一方で、\(\Omega \)が可算集合である場合には\(\left( b\right) \)の左辺は無限個の実数の和、すなわち無限級数です。条件\(\left(c\right) \)は、事象の確率はそこに含まれるすべての根元事象の確率の和と一致することを意味します。ただし、\(A\)が有限集合である場合の\(P\left( A\right) \)は有限個の実数の和である一方で、\(A\)が可算集合である場合の\(P\left( A\right) \)は無限級数です。確率論の公理を満たす集合関数\(P\)を確率測度と呼んだ上で、標本空間\(\Omega \)と確率空間\(2^{\Omega }\)および確率測度\(P\)の組\begin{equation*}\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right)
\end{equation*}を確率空間と呼びました。
\end{equation*}と表記できます。ただし、それぞれの\(i\in\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について\(\omega _{i}\in\left\{ 1,0\right\} \)です。この試行の標本空間は、\begin{eqnarray*}\Omega &=&\left\{ \omega \ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\}
:\omega _{i}\in \left\{ 1,0\right\} \right\} \\
&=&\left\{ 1,0\right\} ^{n}
\end{eqnarray*}であり、これは\(2^{n}\)個の標本点を持つ有限集合です。そこで、事象空間\(\mathcal{F}\)として、\begin{equation*}2^{\Omega }
\end{equation*}を採用します。コインに偏りがなく、各回のコイン投げにおいて表と裏が同じ割合で出るものと仮定するのであれば、集合関数\(P:2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの根元事象\(\{\omega \}\in 2^{\Omega }\)に対して定める確率として、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega \right\} \right) =\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}
\end{equation*}採用するのがもっともらしいと言えます。標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}P\left( \left\{ \omega \right\} \right) &=&\left( \frac{1}{2}\right)
^{n}\quad \because P\text{の定義} \\
&\geq &0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ \forall \omega \in \Omega :P\left( \left\{ \omega \right\}
\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。また、\begin{eqnarray*}
\sum_{\omega \in \Omega }P\left( \left\{ \omega \right\} \right)
&=&2^{n}\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}\quad \because P\text{の定義および}\left\vert \Omega \right\vert =2^{n} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( b\right) \ \sum_{\omega \in \Omega }P\left( \left\{ \omega \right\}
\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、事象\(A\in 2^{\Omega }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( A\right) =\sum_{\omega \in A}P\left( \left\{ \omega \right\} \right)
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
\left( c\right) \ \forall A\in 2^{\Omega }:P\left( A\right) =\sum_{\omega
\in A}P\left( \left\{ \omega \right\} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right)
\end{equation*}は確率空間であることが明らかになりました。
標本空間が非可算集合である場合の問題
標本空間\(\Omega \)が有限集合や可算集合であるとは限らない一般の集合である場合、確率空間をどのように定義すべきでしょうか。
\end{equation*}と表記できます。ただし、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)について\(\omega _{n}\in \left\{ 1,0\right\} \)です。この試行の標本空間は、\begin{eqnarray*}\Omega &=&\left\{ \omega \ |\ \forall n\in \mathbb{N} :\omega _{n}\in \left\{ 1,0\right\} \right\} \\
&=&\left\{ 1,0\right\} ^{\mathbb{N} }
\end{eqnarray*}であり、これは非可算集合です（演習問題）。では、事象空間\(\mathcal{F}\)と集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれどのように定義すべきでしょうか。試しに、有限回のコイン投げの場合と同様に、事象空間\(\mathcal{F}\)として、\begin{equation*}2^{\Omega }
\end{equation*}を採用し、集合関数\(P:2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの根元事象\(\{\omega \}\in 2^{\Omega }\)に対して定める確率として、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega \right\} \right) =\prod_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{2}
\end{equation*}を採用します。標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}P\left( \left\{ \omega \right\} \right) &=&\prod_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{2}
\\
&=&\lim_{N\rightarrow +\infty }\prod_{n=1}^{N}\frac{1}{2} \\
&=&\lim_{N\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{N}\quad \because P\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\forall \omega \in \Omega :P\left( \left\{ \omega \right\} \right) =0
\quad \cdots (1)
\end{equation}となるため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ \forall \omega \in \Omega :P\left( \left\{ \omega \right\}
\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{eqnarray*}
\sum_{\omega \in \Omega }P\left( \left\{ \omega \right\} \right)
&=&\sum_{\omega \in \Omega }0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( b\right) \ \sum_{\omega \in \Omega }P\left( \left\{ \omega \right\}
\right) =1
\end{equation*}は成り立ちません。したがって、\begin{equation*}
\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right)
\end{equation*}は確率空間ではないことが明らかになりました。
標本空間\(\Omega \)が有限集合や可算集合である場合、事象空間\(\mathcal{F}\)として標本空間のベキ集合\(2^{\Omega }\)を採用した上で、集合関数\(P\)に対して確率論の公理を設けました。一方、先の例が示唆するように、標本空間\(\Omega \)が非可算集合である場合には、事象空間\(\mathcal{F}\)として\(2^{\Omega }\)を採用するとともに、有限ないし可算な標本空間\(\Omega \)のもとで確率論の公理を満たしていた集合関数\(P\)をそのまま採用しようとしても、\(P\)はもはや確率論の公理を満たさなくなってしまう事態が起こり得ます。そこで、標本空間\(\Omega \)が非可算集合を含めた一般の集合である場合には、事象空間\(\mathcal{F}\)として無批判に\(2^{\Omega }\)を採用するのではなく、一定の公理を満たす集合族を採用します。もちろん事象空間\(\mathcal{F}\)に対して要求する公理は、集合関数\(P\)に対して要求する確率論の公理と矛盾しないものである必要があります。
可測空間としての事象空間
標本空間\(\Omega \)は一般の集合であるものとします。つまり、\(\Omega \)が非可算集合であるケースを除外しないということです。公理主義的確率論では、事象空間\begin{equation*}\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }
\end{equation*}が以下の3つの命題を満たすことを公理として定めます。
事象空間\(\mathcal{F}\)が満たすべき1つ目の性質は、\begin{equation*}\mathcal{F}\not=\phi
\end{equation*}です。つまり、事象空間は空集合ではないものと定めます。そもそも確率の測定対象となる事象は少なくとも1つは存在するべきであり、上の公理はそのような要求を反映したものになっています。
事象空間\(\mathcal{F}\)が満たすべき2つ目の性質は、任意の事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}A^{c}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、事象空間\(\mathcal{F}\)は補集合について閉じているものと定めます。事象\(A\)の確率が測定対象である場合には、「\(A\)は起こらない」という事象に相当する余事象\(A^{c}\)の確率もまた測定対象にしたいところであり、上の公理はそのような要求を反映したものになっています。
事象空間\(\mathcal{F}\)が満たすべき3つ目の性質は、可算個の事象を任意に選んだとき、それらの積事象もまた事象になるというものです。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}を満たす可算集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つものと定めます。つまり、事象空間\(\mathcal{F}\)が可算合併に閉じていることを認めるということです。可算個の事象がいずれも確率の測定対象である場合には、「その中の少なくとも1つが起こる」という事象に相当する和事象の確率もまた測定対象としたいところであり、上の公理はそのような要求を反映したものになっています。
標本空間\(\Omega \)が一般の集合である場合、事象空間\(\mathcal{F}\)が以上の3つの性質を満たすことを公理として定めます。この3つの性質を総称して可測空間の公理（axiom of measurable space）と呼びます。
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすものと定める。以上の性質を可測空間の公理と呼ぶ。
標本空間\(\Omega \)の部分集合族である事象空間\(\mathcal{F}\)が可測空間の公理を満たす場合には、それらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F}\right)
\end{equation*}を可測空間（measurable space）と呼びます。さらに、この場合、事象空間\(\mathcal{F}\)の要素であるそれぞれの事象を可測集合（measurable set）と呼びます。
以下が可測空間の具体例です。
\end{equation*}と定義すると、これらの組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) =\left( \Omega ,\left\{ \phi ,\Omega
\right\} \right)
\end{equation*}は可測空間になります（演習問題）。
\end{equation*}と定義すると、これらの組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) =\left( \Omega ,2^{\Omega }\right)
\end{equation*}は可測空間になります（演習問題）。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であるとき、事象空間として\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}を採用すれば、これらの組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) =\left( \left[ 0,1\right] ,\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right) \right)
\end{equation*}は可測空間になります（演習問題）。
以下は可測空間ではない\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)の例です。
\Omega =\left\{ \omega _{1},\omega _{2}\right\}
\end{equation*}であるとき、事象空間を、\begin{equation*}
\mathcal{F}=\left\{ \phi ,\left\{ \omega _{1}\right\} ,\Omega \right\}
\end{equation*}と定義します。事象\(\left\{ \omega _{1}\right\} \in \mathcal{F}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left\{ \omega _{1}\right\} ^{c} &=&\Omega \backslash \left\{ \omega
_{1}\right\} \\
&=&\left\{ \omega _{2}\right\} \\
&\not\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathcal{F}\)は補集合について閉じていません。したがって\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)は可測空間ではありません。
測度空間としての確率空間
可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)が与えられた状況を想定します。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つということです。確率を記述するためには、それぞれの可測事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、それが起こる確率に相当する実数\(P\left( A\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ割り当てる集合関数\begin{equation*}P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が必要です。公理主義的確率論では、この集合関数\(P\)が以下の3つの命題を満たすことを公理として定めます。
可測事象\(A\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\(A\)が可測であることから集合関数\(P\)はこの事象\(A\)に対して確率\(P\left( A\right) \in \mathbb{R} \)を付与することが保証されます。以上を踏まえた上で、その値は非負であること、すなわち、\begin{equation*}P\left( A\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つことを1つ目の公理として定めます。つまり、任意の可測事象の確率が非負の実数であることを公理として定めるということです。これを非負性の公理（axiom of non-negativity）と呼びます。
集合関数\(P\)が満たすべき2つ目の性質は全事象\(\Omega \)の確率に関するものですが、その前に、全事象が可測であることを可測空間の公理から確認しておく必要があります。
\end{equation*}が成り立つ。つまり、全事象は可測である。
全事象\(\Omega \)が可測であることが明らかになりました。つまり\(\Omega \in \mathcal{F}\)が成り立つため、集合関数\(P\)は全事象\(\Omega \)に対して確率\(P\left( \Omega \right) \in \mathbb{R} \)を付与することが保証されます。以上を踏まえた上で、その値は\(1\)であること、すなわち、\begin{equation*}P\left( \Omega \right) =1
\end{equation*}が成り立つことを2つ目の公理として定めます。つまり、全事象の確率が\(1\)であることを公理として定めるということです。これを確実性の公理（axiom of certainty）と呼びます。
可算個の排反な可測事象を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\in \mathcal{F} \\
&&\left( b\right) \ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left( m\not=n\Rightarrow A_{m}\cap A_{n}=\phi \right)
\end{eqnarray*}をともに満たす可算集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)を任意に選ぶということです。\(\left( a\right) \)より、この集合族\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の要素である可算個の事象はいずれも可測ですが、可測空間の公理より事象空間\(\mathcal{F}\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、集合関数\(P\)はこの和事象\(\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\)に対して確率\(P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) \)を付与することが保証されます。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことを3つ目の公理として定めます。ただし、右辺は可算個の事象の確率の和、すなわち無限級数であるため、これは部分和\begin{equation*}
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}を一般項とする数列\(\{S_{N}\}\)の極限\(\lim\limits_{N\rightarrow \infty }S_{N}\)として定義されます。つまり、以上の公理を正確に表現すると、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\lim_{N\rightarrow \infty }\left[ \sum_{n=1}^{N}P\left(
A_{n}\right) \right]
\end{equation*}となります。\(P\)が実数値関数として定義されている以上、上の等式の右辺の和が常に有限な実数として定まることを保証する必要がありますが、これは後ほど証明します。いずれにせよ、排反な可算個の事象の和事象の確率は、個々の事象の確率の和に相当する無限級数の和と一致することを公理として定めるということです。これを\(\sigma \)-加法性の公理（axiom of \(\sigma \)-additivity）や可算加法性の公理（axiom of countably additivity）などと呼びます。
可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)が与えられたとき、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)が以上の3つの性質を満たすことを公理として定めます。この3つの性質を総称して確率論の公理（axioms of probability）と呼びます。
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすものと定める。以上の性質を可測空間の公理と呼び、可測空間の公理を満たす\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)を可測空間と呼ぶ。加えて、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall \text{排反な}\left\{
A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものと定める。以上の性質を確率論の公理と呼び、確率論の公理を満たす\(P\)を確率測度と呼ぶ。
確率論の公理を満たす集合関数\(P\)を確率測度（probability measure）や確率関数（probability function）などと呼び、確率測度\(P\)がそれぞれの可測事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して定める値\(P\left( A\right) \in \mathbb{R} \)を\(A\)の確率（probability）や測度（measure）などと呼びます。さらに、可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)と確率測度\(P\)からなる組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}を確率空間（probability space）や測度空間（measure space）と呼びます。
以下が確率空間の具体例です。
\end{equation*}と定義すれば、\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)が可測空間になることは先に示した通りです。さらに、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{eqnarray*}P\left( \phi \right) &=&0 \\
P\left( \Omega \right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義すれば、これらの組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります（演習問題）。
\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}であるとき、事象空間を、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}と定義すれば、\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)が可測空間になることは先に示した通りです。さらに、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{6}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\left\vert A\right\vert \)は集合\(A\)の要素の個数です。これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります（演習問題）。
\Omega =\left\{ \omega _{1},\omega _{2}\right\}
\end{equation*}であるとき、事象空間を、\begin{equation*}
\mathcal{F}=\left\{ \phi ,\left\{ \omega _{1}\right\} ,\left\{ \omega
_{2}\right\} ,\Omega \right\}
\end{equation*}と定義すれば、\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)が可測空間になることは先に示した通りです。さらに、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ A=\phi \right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ A=\left\{ \omega _{1}\right\} \right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ A=\left\{ \omega _{2}\right\} \right) \\
1 & \left( if\ A=\Omega \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。これらの組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります（演習問題）。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であるとき、事象空間として\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}を採用すれば、これらの組\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)が可測空間になることは先に示した通りです。さらに、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度を採用すれば、これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります（演習問題）。
公理主義のもとで確率について考えるということは、確率論の公理だけを議論の前提として認めることを意味します。つまり、確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に関する命題はいずれも、\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が測度空間であることを規定する先の公理から導かれてはじめて正しいものとして認められます。
演習問題
\end{equation*}と定義します。さらに、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{eqnarray*}P\left( \phi \right) &=&0 \\
P\left( \Omega \right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義します。\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が確率空間であることを示してください。
\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}であるとき、事象空間を、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}と定義します。集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{6}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\left\vert A\right\vert \)は集合\(A\)の要素の個数です。\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が確率空間であることを示してください。
\Omega =\left\{ \omega _{1},\omega _{2}\right\}
\end{equation*}であるとき、事象空間を、\begin{equation*}
\mathcal{F}=\left\{ \phi ,\left\{ \omega _{1}\right\} ,\left\{ \omega
_{2}\right\} ,\Omega \right\}
\end{equation*}と定義します。集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ A=\phi \right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ A=\left\{ \omega _{1}\right\} \right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ A=\left\{ \omega _{2}\right\} \right) \\
1 & \left( if\ A=\Omega \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が確率空間であることを示してください。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であるとき、事象空間を\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}と定義します。集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度を採用します。\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が確率空間であることを示してください。
\end{equation*}のような\(0\)と\(1\)から構成される無限列として表されます。\(n\in \mathbb{N} \)回目のコイン投げの結果を\(\omega _{n}\in \{1,0\}\)で表すならば、それぞれの標本点を、\begin{equation*}\omega =\left( \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right)
\end{equation*}と定式化されます。標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ 1,0\right\} ^{\mathbb{N} }
\end{equation*}ですが、本文中で示したように\(\Omega \)は非可算集合です。以上を踏まえた上で、まず、「1回目に表が出る」という事象\(A_{1}\)と、「1回目に裏が出る」という事象\(A_{0}\)をそれぞれ定式化してください。続いて、事象空間として、\begin{equation*}\mathcal{F}=\left\{ \phi ,A_{1},A_{2},\Omega \right\}
\end{equation*}を採用し、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{eqnarray*}P\left( \phi \right) &=&0 \\
P\left( A_{1}\right) &=&P\left( A_{2}\right) =\frac{1}{2} \\
P\left( \Omega \right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすとき、\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が確率空間であることを示してください。
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