非可算な標本空間上の確率空間

標本空間が非可算集合であるとき、その任意の部分集合を事象として考察対象に含めると問題が生じます。そこで、σ-代数と呼ばれる集合系を事象空間として採用し、その上に確率論の公理を満たす集合関数を定義します。

標本空間が非可算集合である場合の問題

コインの表を\(1\)で表し、裏を\(0\)で表すならば、コインを無限回投げるという試行の標本点は、\(\left( 1,0,0,1,\cdots \right) \)のような\(0,1\)から構成される無限列として表されます。\(n\in \mathbb{N}\)回目のコイン投げの結果を\(\omega _{n}\in \{1,0\}\)で表すならば、それぞれの標本点は\(\omega =\left( \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right) \)と定式化されます。標本空間は\(\Omega =\{1,0\}^{\mathbb{N} }\)ですが、これは明らかに有限集合ではなく、また可算集合でもありません。

命題(無限回コイン投げの標本空間)
集合\(\{1,0\}^{\mathbb{N} }\)は非可算集合である。
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標本空間\(\Omega \)が有限集合または可算集合である場合については、確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)をすでに定義しました。では、上の例のように標本空間\(\Omega \)が非可算集合である場合には、確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)をどのように定義すればよいでしょうか。

標本空間が有限集合である場合の確率空間について復習する 標本空間が可算集合である場合の確率空間について復習する

試しに、上の例における確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)として、標本空間\(\Omega \)が有限集合や可算集合である場合と同様のアプローチを採用してみましょう。つまり、事象空間を\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)と定め、確率関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)を、\begin{eqnarray*}
&&\left( P_{1}\right) \ \forall \omega \in \Omega :P\left( \{\omega
\}\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ \sum_{\omega \in \Omega }P\left( \{\omega \}\right)
=1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right)
=\sum_{\omega \in A}P\left( \{\omega \}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとして定めるということです。コインに偏りがなく、各回のコイン投げにおいて表と裏が同じ割合で出るものと想定するのであれば、確率関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの根元事象\(\{\omega \}\in \mathcal{F}\)に対して定める確率は、\begin{eqnarray}
P\left( \{\omega \}\right) &=&P\left( \{\left( \omega _{1},\omega
_{2},\cdots \right) \}\right) \quad \because \omega =\left( \omega
_{1},\omega _{2},\cdots \right) \notag \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{n} \notag \\
&=&0 \tag{1}
\end{eqnarray}となり\(\left( P_{1}\right) \)が成り立ちます。さらに、それぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して\(\left( P_{3}\right) \)すなわち、\begin{equation}
P\left( A\right) =\sum_{\omega \in A}P\left( \{\omega \}\right) \tag{2}
\end{equation}が成り立つものとするならば、\begin{eqnarray*}
P\left( \Omega \right) &=&\sum_{\omega \in \Omega }P\left( \{\omega
\}\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&0\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( P_{2}\right) \)が成り立ちません。したがって、この\(P\)は確率関数ではありません。

標本空間\(\Omega \)が有限集合や可算集合である場合には、事象空間として標本空間のベキ集合\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)を採用した上で、それぞれの根元事象に対して自然な形で確率を付与できます。一方、上の例が示唆するように、\(\Omega \)が非可算集合である場合には\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)とした上でそれぞれの根元事象に自然な形で確率を付与すると不都合が生じてしまいます。そこで、\(\Omega \)が非可算集合である場合には、事象空間\(\mathcal{F}\)として標本空間のベキ集合\(2^{\Omega }\)よりも小さい部分集合族を採用することになります。ただ、公理主義的確率論のもとでは\(\mathcal{F}\)に属する個々の事象を具体的に列挙するのではなく、ある一定の公理を満たす\(\mathcal{F}\)を議論の対象とし、そのような\(\mathcal{F}\)に属する個々の事象に対して自然な形で確率を付与します。そこで以下では、\(\mathcal{F}\)に要求する公理について解説します。

 

可測空間

標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、\(\Omega \)の部分集合族である事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)が以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall A,B\in \mathcal{F}:A\cup B\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たす場合には、\(\mathcal{F}\)を代数(algebra)と呼びます。

公理\(\left( M_{1}\right) \)は\(\mathcal{F}\)が空集合ではないことを規定しています。そもそも確率の測定対象となる事象は少なくとも 1 つは存在するべきであり、\(\left( M_{1}\right) \)はそのような要求を反映した条件になっています。公理\(\left( M_{2}\right)\)は\(\mathcal{F}\)が余事象について閉じていることを規定しています。事象\(A\)の確率が測定対象である場合には、「\(A\)は起こらない」という事象に相当する余事象\(A^{c}\)の確率もまた測定対象にしたいところであり、\(\left( M_{2}\right)\)はそのような要求を反映した条件になっています。公理\(\left( M_{3}\right)\)は\(\mathcal{F}\)が和事象について閉じていることを規定しています。事象\(A,B\)の確率がともに測定対象である場合には、「\(A,B\)の少なくとも一方が起こる」という事象に相当する和事象\(A\cup B\)の確率もまた測定対象にしたいところであり、\(\left( M_{3}\right)\)はそのような動機を反映した条件になっています。以上の条件\(\left( M_{1}\right) ,\left( M_{2}\right) ,\left( M_{3}\right) \)をすべて満たす事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)を代数(algebra)と呼びます。

例(代数)
標本空間\(\Omega \)を任意に選び、そこから事象空間\(\mathcal{F}=\{\phi ,\Omega \}\)を作ります。明らかに\(\mathcal{F}\not=\phi \)であるため\(\left( M_{1}\right) \)が成り立ちます。また、\(\phi ^{c}=\Omega \in \mathcal{F}\)かつ\(\Omega ^{c}=\phi \in \mathcal{F}\)であるため\(\left( M_{2}\right) \)が成り立ちます。さらに、任意の\(A,B\in \mathcal{F}\)に対して\(A\cup B=\Omega \in \mathcal{F}\)であるため\(\left( M_{2}\right) \)が成り立ちます。したがって、この\(\mathcal{F}\)は代数です。

事象空間\(\mathcal{F}\)は代数でなければならないという要求にはどの程度の正当性があるのでしょうか。代数を特徴づける公理から以下の諸性質を導くことができます。

命題(代数の性質)
標本空間\(\Omega \)の部分集合族である事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)が代数である場合には以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \Omega \in \mathcal{F} \\
&&\left( b\right) \ \phi \in \mathcal{F} \\
&&\left( c\right) \ \forall A,B\in \mathcal{F}:A\cap B\in \mathcal{F} \\
&&\left( d\right) \ \forall A,B\in \mathcal{F}:A\backslash B\in \mathcal{F}
\\
&&\left( e\right) \ \forall A,B\in \mathcal{F}:A\Delta B\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}
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\(\left( a\right) \)は代数\(\mathcal{F}\)において全事象の確率が測定対象であること、すなわち、与えられた試行のもとで必ず起こる事象の確率が測定可能であることを意味します。\(\left( b\right) \)は代数\(\mathcal{F}\)において空事象の確率が測定対象であること、すなわち、与えられた試行のもとで必ず起こらない事象の確率が測定可能であることを意味します。\(\left( c\right) \)は代数\(\mathcal{F}\)が積事象について閉じていること、すなわち、事象\(A,B\)の確率がともに測定対象である場合には、「\(A,B\)がともに起こる」という事象に相当する積事象\(A\cap B\)の確率もまた測定対象であることを意味します。\(\left( d\right) \)は代数\(\mathcal{F}\)が差集合について閉じていること、すなわち、事象\(A,B\)の確率がともに測定対象である場合には、「\(A\)は起こるが\(B\)は起こらない」という事象に相当する差事象\(A\backslash B\)の確率もまた測定対象であることを意味します。\(\left( e\right) \)は代数\(\mathcal{F}\)が対称差について閉じていること、すなわち、事象\(A,B\)の確率がともに測定対象である場合には、「\(A,B\)の少なくとも一方は起こるが両方は同時に起こらない」という事象に相当する対称差\(A\Delta B\)の確率もまた測定対象であることを意味します。

代数\(\mathcal{F}\)は 2 つの事象に対する合併\(\cup \)や交叉\(\cap \)について閉じていることを確認しましたが、実際には、3 つ以上の事象の合併や交叉についても閉じています。

命題(代数の性質)
標本空間\(\Omega \)の部分集合族である事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)が代数である場合には以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}:\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\in \mathcal{F} \\
&&\left( b\right) \ \forall A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}:\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}
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これまでの議論を整理しましょう。公理主義的確率論では確率空間\(\mathcal{F}\)として標本空間\(\Omega \)のベキ集合\(2^{\Omega }\)を採用するのではなく、代数と呼ばれる\(\Omega \)の部分集合族を議論の対象とします。代数\(\mathcal{F}\)は全事象\(\Omega \)と空事象\(\phi \)をともに含むと同時に、余事象、有限合併、有限交叉、差事象、対称差事象などの基本的な事象演算について閉じています。

代数である標本空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は有限合併について閉じていますが、標本空間\(\Omega \)が無限集合である場合には事象空間\(\mathcal{F}\)もまた無限個の事象を含むケースが起こり得るため、そのような状況を想定した上で、\(\mathcal{F}\)が可算合併について閉じていることを公理として要求したいところです。そこで、事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)が以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}:\bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たす場合には、\(\mathcal{F}\)を\(\sigma \)-代数(\(\sigma \)-algebra)や可算加法族(countably additive class)、もしくは完全加法族(completely additive class of sets)などと呼びます。さらに、標本空間と\(\sigma \)-代数である事象空間の組\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)を可測空間(measurable space)と呼び、事象空間\(\mathcal{F}\)に属する個々の事象を可測集合(measurable set)と呼びます。さらに、可測空間を特徴づける\(\left( M_{1}\right) \)から\(\left( M_{3}\right) \)までの公理を総称して可測空間の公理(axiom of measurable space)と呼びます。

ある事象が可測集合であることを、その事象の確率が測定可能であることと解釈するならば、可測空間の公理は以下のように解釈できます。\(\left( M_{1}\right) \)は空事象が可測であること、すなわち、与えられた試行のもとでは決して起こらない事象の確率が測定可能であることを意味します。\(\left( M_{2}\right)\)は可測空間が余事象について閉じていること、すなわち、確率を測定可能な事象が与えられたとき、その事象が起こらないという事象も測定可能であることを意味します。\(\left( M_{3}\right)\)は可測空間が可算合併について閉じていること、すなわち、確率を測定可能な可算個の事象が与えられたとき、その中の少なくとも1つが起こるという事象も測定可能であることを意味します。

\(\sigma \)-代数は代数でもあるため、先に示した代数の性質をそのまま引き継ぎます。加えて、\(\sigma \)-代数は可算交叉についても閉じています。

命題(σ-代数の性質)
標本空間\(\Omega \)の部分集合族である事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)が\(\sigma \)-代数である場合には以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \Omega \in \mathcal{F} \\
&&\left( b\right) \ \phi \in \mathcal{F} \\
&&\left( c\right) \ \forall A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}:\bigcap_{i=1}^{\infty }A_{i}\in \mathcal{F} \\
&&\left( d\right) \ \forall A,B\in \mathcal{F}:A\backslash B\in \mathcal{F}
\\
&&\left( e\right) \ \forall A,B\in \mathcal{F}:A\Delta B\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}
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標本空間が非可算集合である場合の確率空間

標本空間\(\Omega \)が非可算集合である場合には、事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)として\(\sigma \)-代数を採用します。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}:\bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つことを公理として定めます。その上で、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)は\(\sigma \)-加法測度であること、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ \forall \text{排反な}A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}:P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty
}A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{\infty }P\left( A_{i}\right) \\
&&\left( P_{3}\right) \ P\left( \Omega \right) =1
\end{eqnarray*}が成り立つことを公理として定めます。

\(\left( P_{1}\right) \)は非負性(nonnegativity)と呼ばれる条件であり、任意の可測事象の確率が非負の実数として表されることを意味します。これは標本空間が有限集合や可算集合である場合と同様の条件です。

\(\left( P_{2}\right) \)は\(\sigma \)-加法性(\(\sigma \)-additivity)や可算加法性(countably additivity)などと呼ばれる性質です。可算個の排反な事象\(A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}\)を任意に選んだ上で、それらの和事象\(\bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i}\)をとります。この和事象は\(A_{1},A_{2},\cdots \)の少なくとも 1 つが起こるという事象に相当します。公理\(\left( M_{3}\right) \)より\(\bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i}\)は可測事象であるため、\(P\)は\(\bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i}\)の確率を測定可能ですが、その確率は\(A_{1},A_{2},\cdots \)の確率から構成される無限級数の和\(\sum_{i=1}^{\infty }P\left( A_{i}\right) \)に一致するというのが\(\left( P_{2}\right) \)の主張です。ただし、この無限級数の和とは、部分和\(S_{n}=\sum_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right) \)を項とする数列\(\{S_{n}\}\)の極限\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }S_{n}\)のことです。なお、\(P\)が実数値関数として定義されている以上、この無限級数の和が常に実数値をとることを保証する必要がありますが、その証明は場を改めて行います。

先に示したように、事象空間\(\mathcal{F}\)が\(\sigma \)-代数である場合には全事象\(\Omega \)は可測事象であるため、\(P\)は\(\Omega \)の確率を測定可能です。\(\left( P_{3}\right) \)は全事象\(\Omega \)の確率を定める公理であり、その値が\(1\)であると定めています。これは標本空間が有限集合や可算集合である場合と同様の条件です。

 

非可算型確率空間の一般性

繰り返しになりますが、公理主義的確率論の舞台は確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)として定式化されます。ただし、\(\Omega \)は試行によって起こり得るすべての標本からなる標本空間、\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は確率の測定対象となるすべての事象からなる事象空間、さらに\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)は確率関数であり、これはそれぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対してそれが起こる確率\(P\left( A\right) \in \mathbb{R}\)を定めます。

特に、標本空間\(\Omega \)が非可算集合である場合には、確率空間\(\mathcal{F}\)は\(\sigma \)-代数であり、確率関数\(P\)は\(\sigma \)-加法測度であることを公理として定めました。一方、標本空間\(\Omega \)が有限集合もしくは可算集合である場合、確率空間を\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)と定めましたが、これは明らかに\(\sigma \)-代数です。また、確率関数\(P\)に関しては、\(\Omega \)が有限集合である場合に\(P\)は有限加法測度であるものと定め、\(\Omega \)が可算集合である場合に\(P\)は\(\sigma \)-加法測度であるものと定めました。場を改めて証明しますが、\(\sigma \)-加法性は有限加法性を含意します。以上を踏まえると、\(\Omega \)が非可算集合である場合の確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)は、\(\Omega \)が有限集合もしくは可算集合である場合の確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)の一般化です。そこで以降では、特別な事情がない限りにおいて、\(\Omega \)が非可算型である場合の確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)を議論の対象とします。

公理主義的確率論において、確率に関するあらゆる命題は確率論の公理から導かれて初めて正しいものとして認められます。そこで以降では、確率空間が満たす代表的な性質を公理から導きます。

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