事象 A に属する標本点が事象 B に属する標本点が完全に一致するとき、A と B は等しいと言います。これは、A が B の部分事象であるとともに、B が A の部分事象であることを意味します。

等しい事象

標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2 つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。このとき、これらの間に\(A\subset B\)かつ\(B\subset A\)という関係が成り立つならば、すなわち、\begin{equation}
\forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\ \Leftrightarrow \ \omega \in
B\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立つ場合には、\(A\)と\(B\)は等しい(equal)といい、そのことを\(A=B\)で表します。

集合が等しいことの意味を復習する

事象\(A,B\subset \Omega \)について\(A=B\)が成り立つ場合、\(\left( 1\right) \)より、\(A\)に属する任意の標本点は\(B\)の標本点でもあり、逆に\(B\)に属する任意の標本点は\(A\)の標本点でもあります。したがって\(A=B\)が成り立つことは、\(A\)に属する標本点と\(B\)に属する標本点が完全に一致することを意味します。

例(等しい事象)
1 つのサイコロを 2 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{eqnarray*}
\Omega &=&\{\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 1,5\right) ,\left( 1,6\right) , \\
&&\left( 2,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 2,4\right)
,\left( 2,5\right) ,\left( 2,6\right) , \\
&&\left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left( 3,4\right)
,\left( 3,5\right) ,\left( 3,6\right) , \\
&&\left( 4,1\right) ,\left( 4,2\right) ,\left( 4,3\right) ,\left( 4,4\right)
,\left( 4,5\right) ,\left( 4,6\right) , \\
&&\left( 5,1\right) ,\left( 5,2\right) ,\left( 5,3\right) ,\left( 5,4\right)
,\left( 5,5\right) ,\left( 5,6\right) , \\
&&\left( 6,1\right) ,\left( 6,2\right) ,\left( 6,3\right) ,\left( 6,4\right)
,\left( 6,5\right) ,\left( 6,6\right) \}
\end{eqnarray*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1 回目に\(i\)が出て 2 回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。「奇数が 1 回だけ出る」という事象は、\begin{eqnarray*}
A &=&\{\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 1,5\right) ,\left( 1,6\right) , \\
&&\left( 2,1\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 2,5\right) ,\left( 3,2\right)
,\left( 3,4\right) ,\left( 3,6\right) , \\
&&\left( 4,1\right) ,\left( 4,3\right) ,\left( 4,5\right) ,\left( 5,2\right)
,\left( 5,4\right) ,\left( 5,6\right) , \\
&&\left( 6,1\right) ,\left( 6,3\right) ,\left( 6,5\right) \}
\end{eqnarray*}と表すことができます。また、「2つの目の合計は奇数である」という事象は、\begin{equation*}
B=\{\left( i,j\right) \ |\ i+j\text{は奇数},\ i,j\in
\{1,2,3,4,5,6\}\}
\end{equation*}と表すことができますが、これは\(A\)と一致します。したがって\(A=B\)です。

 

真部分事象

事象\(A,B\subset \Omega \)について、\(A\)は\(B\)の部分集合であるが\(A\)と\(B\)は等しくないとき、すなわち、\begin{equation*}
A\subset B\ \wedge \ A\not=B
\end{equation*}が成り立つとき、\(A\)は\(B\)の真部分事象(proper subevent)であるといい、このことを\(A\varsubsetneq B\)で表します。

事象\(A\)が事象\(B\)の真部分事象でないことは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}
A\not\subset B\ \vee \ A=B
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(A\)が\(B\)の部分事象ではないか\(A\)と\(B\)が等しいとき、もしくはその両方が成り立つとき、\(A\)は\(B\)の真部分事象ではありません。

次回から事象演算について学びます。
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