等しい事象
標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。このとき、\(A\)と\(B\)が集合として等しい場合、すなわち、\begin{equation*}A=B
\end{equation*}が成り立つ場合には\(A\)と\(B\)は等しい（equal）と言います。
集合の相等の定義より、\(A\)と\(B\)が等しい場合には、\begin{equation}\forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\Leftrightarrow \omega \in
B\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちますが、これは何を意味するのでしょうか。問題としている試行のもとで事象\(A\)が起こる場合、それは\(A\)に属する何らかの標本点\(\omega \)が実現したことを意味します。つまり\(\omega \in A\)です。すると\(\left( 1\right) \)よりそれは\(\omega \in B\)が成り立つことと必要十分ですが、これは事象\(B\)が起こることを意味します。つまり、\(A\)と\(B\)が等しいこととは、事象\(A\)と事象\(B\)が常に同時に起こることを意味します。
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「偶数の目が出る」という事象は、\begin{equation*}
\left\{ 2,4,6\right\}
\end{equation*}であり、「\(2\)の倍数の目が出る」という事象は、\begin{equation*}\left\{ 2,4,6\right\}
\end{equation*}ですが、両者は等しい集合であるため、「偶数の目が出る」ことと「\(2\)の倍数の目が出る」ことは等しい事象です。
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「奇数の目が1回だけ出る」という事象を\(A\)で表し、「2回の目の合計が奇数である」という事象を\(B\)で表します。このとき、任意の標本点\(\left( i,j\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( i,j\right) \in A &\Leftrightarrow &i\text{と}j\text{の一方が奇数で他方は偶数}\quad \because A\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &i+j\text{は奇数} \\
&\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \in B\quad \because B\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A=B
\end{equation*}が成り立つため、「奇数の目が1回だけ出る」ことと「2回の目の合計が奇数である」は等しい事象です。
真部分事象
標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。このとき、\(A\)が\(B\)の真部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}A\subset B\wedge A\not=B
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)は\(B\)の真部分事象（proper subevent）であるといい、このことを\(A\varsubsetneq B\)で表します。
事象\(A\)が事象\(B\)の真部分事象であるものとします。このとき、\(A\)は\(B\)の部分事象であるため、事象\(A\)が起きた場合には事象\(B\)もまた必ず起きています。同時に、\(A\)は\(B\)と等しくないため、\(B\)に属するが\(A\)に属さない標本点が必ず存在しますが、これは事象\(B\)が起こる一方で事象\(A\)が起こらないような事態が生じ得ることを意味します。
事象\(A\)が事象\(B\)の真部分事象でないことは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}A\not\subset B\vee A=B
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(A\)が\(B\)の部分事象ではないか\(A\)と\(B\)が等しいとき、もしくはその両方が成り立つとき、\(A\)は\(B\)の真部分事象ではありません。
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「\(1\)または\(2\)の目が出る」という事象は、\begin{equation*}\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であり、「\(3\)以下の目が出る」という事象は\begin{equation*}\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるため、前者は後者の真部分事象です。したがって、「\(1\)または\(2\)の目が出る」場合には必ず「\(3\)以下の目が出て」いる一方で、「\(3\)以下の目が出る」場合には「\(1\)または\(2\)の目が出て」いるとは限りません。実際、\(3\)が出る場合が反例になっています。
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