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等しい事象

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等しい事象

標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。このとき、\(A\)と\(B\)がまったく同じ標本点を要素として持つとき、すなわち、\begin{equation*}
A=B
\end{equation*}が成り立つとき、\(A\)と\(B\)は等しい(equal)と言います。集合の相等の定義より、これは、\begin{equation}
\forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\Leftrightarrow \omega \in
B\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味しますが、これは何を意味するのでしょうか。問題としている試行のもとで事象\(A\)が起きる場合、それは\(A\)に属する何らかの標本点\(\omega \)が実現したことを意味します。つまり\(\omega \in A\)です。すると\(\left( 1\right) \)よりそれは\(\omega \in B\)が成り立つことと必要十分ですが、これは事象\(B\)が起きることを意味します。つまり、\(A\)と\(B\)が等しいこととは、事象\(A\)と事象\(B\)が常に同時に起こることを意味します。

例(等しい事象)
「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「偶数の目が出る」という事象は\(A=\left\{ 2,4,6\right\} \)であり、「\(2\)の倍数の目が出る」という事象は\(B=\left\{ 2,4,6\right\} \)ですが、両者の間には\(A=B\)という関係が成り立つため、「偶数の目が出る」ことと「\(2\)の倍数の目が出る」ことは現象として実質的に等しいと言えます。実際、これは正しい主張です。
例(等しい事象)
「1つのサイコロを2回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「奇数の目が1回だけ出る」という事象を\(A\)で表し、「2回の目の合計が奇数である」という事象を\(B\)で表します。このとき、任意の標本点\(\left( i,j\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( i,j\right) \in A &\Leftrightarrow &i\text{と}j\text{の一方が奇数で他方は偶数}\quad \because A\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &i+j\text{は奇数} \\
&\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \in B\quad \because B\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち\(A=B\)が成り立つため、「奇数の目が1回だけ出る」ことと「2回の目の合計が奇数である」は現象として実質的に等しいと言えます。実際、これは正しい主張です。

 

真部分事象

事象\(A,B\subset \Omega \)について、\(A\)は\(B\)の部分集合であるが\(A\)と\(B\)は等しくないとき、すなわち、\begin{equation*}
A\subset B\wedge A\not=B
\end{equation*}が成り立つとき、\(A\)は\(B\)の真部分事象(proper subevent)であるといい、このことを\(A\varsubsetneq B\)で表します。

事象\(A\)が事象\(B\)の真部分事象であるものとします。このとき、\(A\)は\(B\)の部分事象であるため、事象\(A\)が起きた場合には事象\(B\)もまた必ず起きています。同時に、\(A\)は\(B\)と等しくないため、\(B\)に属するが\(A\)に属さない標本点が必ず存在しますが、これは事象\(B\)が起きる一方で事象\(A\)が起こらないような事態が生じ得ることを意味します。

事象\(A\)が事象\(B\)の真部分事象でないことは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}
A\not\subset B\vee A=B
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(A\)が\(B\)の部分事象ではないか\(A\)と\(B\)が等しいとき、もしくはその両方が成り立つとき、\(A\)は\(B\)の真部分事象ではありません。

例(真部分事象)
「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「\(1\)または\(2\)の目が出る」という事象は\(A=\left\{ 1,2\right\} \)に相当し、「\(3\)以下の目が出る」という事象は\(B=\left\{ 1,2,3\right\} \)に相当しますが、両者の間には\(A\subset B\)かつ\(A\not=B\)という関係が成り立つため、\(A\)は\(B\)の真部分事象です。したがって、「\(1\)または\(2\)の目が出る」場合には必ず「\(3\)以下の目が出て」いる一方で、「\(3\)以下の目が出る」場合には「\(1\)または\(2\)の目が出て」いるとは限りません。\(3\)が出る場合が反例になっています。

次回は全事象について学びます。

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集合の相等

集合A,Bについて、Aの要素とBの要素が完全に一致する場合にはAとBは等しいといい、そのことをA=Bで表します。AとBが等しいことを、AがBの部分集合であるとともにBがAの部分集合であることとして表現することもできます。