空事象の確率

空事象は可測であり、その確率はゼロです。これらのことを確率論の公理から示します。

空事象

空事象は可測

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)が与えられたとき、公理\(\left( M_{1}\right) \)より何らかの事象\(A\subset \Omega \)が存在して\(A\in \mathcal{F}\)が成り立ちます。すると公理\(\left( M_{2}\right) \)より、\begin{eqnarray*}
\phi &=&A\backslash A\quad \because \backslash \text{の定義} \\
&\in &\mathcal{F}\quad \because \left( M_{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

確率論の公理について復習する
命題(空事象は可測)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、\begin{equation*}
\phi \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つ。
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つまり、空事象\(\phi \)は事象空間\(\mathcal{F}\)の要素であるため、確率関数\(P\)は空事象が起こる確率\(P\left( \phi \right) \)を評価できるはずですが、その値はどうなるでしょうか。これも確率論の公理から導く必要があります。

 

空事象の確率

\(\phi \in \mathcal{F}\)であることが示しましたが、これと公理\(\left( M_{2}\right) \)より、\begin{eqnarray*}
\Omega &=&\phi ^{c}\quad \because c\text{の性質} \\
&\in &\mathcal{F}\quad \because \left( M_{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。そこで、可算個の事象\(\Omega ,\phi ,\phi ,\cdots \in \mathcal{F}\)をとると、これらは互いに排反であるため、公理\(\left( P_{2}\right) \)より、\begin{eqnarray*}
P\left( \Omega \right) &=&P\left( \Omega \cup \bigcup_{i=2}^{\infty }\phi
\right) \quad \because \Omega =\Omega \cup \bigcup_{i=2}^{\infty }\phi \\
&=&P\left( \Omega \right) +\sum_{i=2}^{\infty }P\left( \phi \right) \quad
\because \left( P_{2}\right)
\end{eqnarray*}を得ますが、公理\(\left( P_{3}\right) \)より\(P\left( \Omega \right) =1\)であるため、このとき、\begin{equation}
\sum_{i=2}^{\infty }P\left( \phi \right) =0 \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。公理\(\left( P_{1}\right) \)より\(P\left( \phi \right) \geq 0\)ですが、\(P\left( \phi \right) >0\)と仮定すると\(\sum_{i=2}^{\infty }P\left( \phi \right) =\infty \)となり、これは\(\left( 1\right) \)と矛盾です。したがって、\(P\left( \phi \right) =0\)であることが示されました。

命題(空事象の確率)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、\begin{equation*}
P\left( \phi \right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
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有限加法性

確率論の公理より、確率関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)は\(\sigma \)-加法性、すなわち、\begin{equation*}
\left( P_{2}\right) \ \forall \text{排反な}A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}:P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty
}A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{\infty }P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}を満たします。先ほど\(\phi \in \mathcal{F}\)であることを示しました。互いに排反な有限個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}\)を任意に選びます。すると、可算個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n},\phi ,\phi ,\cdots \in \mathcal{F}\)について、これらは互いに排反であることから、\(\left( P_{2}\right)\)より、\begin{eqnarray*}
P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) &=&P\left( \left(
\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) \cup \left( \bigcup_{i=n+1}^{\infty }\phi
\right) \right) \\
&=&\sum_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right) +\sum_{i=n+1}^{\infty }P\left( \phi
\right) \quad \because \left( P_{2}\right) \\
&=&\sum_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right) \quad \because P\left( \phi \right) =0
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
\left( P_{2}\right) \ \forall \text{排反な}A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}:P\left(
\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が示されましたが、これは有限加法性に他なりません。

命題(有限加法性)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、有限個の互いに排反な事象\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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次回は余事象の確率について解説します。

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