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PROBABILITY

空事象の確率

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空事象は可測

標本空間が有限集合ないし可算集合である場合の確率空間\(\left(\Omega ,2^{\Omega },P\right) \)に関しては、\begin{equation*}P\left( \phi \right) =0
\end{equation*}が成り立つことを確認しましたが、一般の確率空間、すなわち測度空間としての公理を満たす確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)についても同様の命題が成り立つのでしょうか。

空事象の確率を求める前に、前提として、空事象が可測であることを確認しておく必要があります。

命題(空事象は可測)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に対して、\begin{equation*}\phi \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つ。つまり、空事象は可測である。

証明

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空事象の確率

上の命題より、確率関数\(P\)は空事象\(\phi \)に対してもその確率\(P\left( \phi\right) \)を与えますが、\begin{equation*}P\left( \phi \right) =0
\end{equation*}であることが導かれます。つまり、空事象の確率は\(0\)です。

命題(空事象の確率)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、\begin{equation*}P\left( \phi \right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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次回は和事象の確率について解説します。

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