空事象は可測
標本空間が有限集合ないし可算集合である場合の確率空間\(\left(\Omega ,2^{\Omega },P\right) \)に関しては、空事象\(\phi \in 2^{\Omega }\)の確率が、\begin{equation*}P\left( \phi \right) =0
\end{equation*}と定まることを確認しました。では、一般の確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)についても同様の命題が成り立つのでしょうか。順番に考えます。
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。つまり、事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は確率論の公理\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall \text{排反な}\left\{
A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
空事象の確率を求める前に、空事象が可測であることを確認しておく必要があります。
\end{equation*}が成り立つ。つまり、空事象は可測である。
&\in &\mathcal{F\quad \because }\phi \text{は可測}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、有限事象族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が排反である場合には、\begin{eqnarray*}\bigcap_{i=1}^{n}A_{i} &=&\phi \quad \because \left\{ A_{i}\right\}
_{i=1}^{n}\text{は排反} \\
&\in &\mathcal{F\quad \because }\phi \text{は可測}
\end{eqnarray*}が成り立ち、可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が排反である場合には、\begin{eqnarray*}\bigcap_{n\in \mathbb{N} }A_{n} &=&\phi \quad \because \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\text{は排反} \\
&\in &\mathcal{F\quad \because }\phi \text{は可測}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。排反な事象族の共通部分は可測であるということです。
\Omega =\left\{ \omega _{1},\omega _{2}\right\}
\end{equation*}である状況において、事象空間を、\begin{equation*}
\mathcal{F}=\left\{ \left\{ \omega _{1}\right\} ,\left\{ \omega _{2}\right\}
,\Omega \right\}
\end{equation*}と定義します。この場合、\begin{equation*}
\phi \not\in \mathcal{F}
\end{equation*}であるため、先の命題の対偶より\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)は可測空間ではありません。
空事象の確率
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において空事象は可測であること、すなわち\(\phi \in \mathcal{F}\)が成り立つことが明らかになりました。したがって確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は空事象\(\phi \)に対してもその確率\(P\left( \phi \right) \in \mathbb{R} \)を定めますが、その値は、\begin{equation*}P\left( \phi \right) =0
\end{equation*}になることが確率論の公理から導かれます。つまり、空事象の確率は\(0\)です。
\end{equation*}が成り立つ。
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、有限事象族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が排反である場合には、\begin{eqnarray*}P\left( \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\right) &=&P\left( \phi \right) \quad
\because \left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\text{は排反} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が排反である場合には、\begin{eqnarray*}P\left( \bigcap_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) &=&P\left( \phi \right) \quad \because \left\{ A_{n}\right\}
_{n\in \mathbb{N} }\text{は排反} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。排反な事象族の共通部分の確率は\(0\)であるということです。
\Omega =\left\{ \omega _{1},\omega _{2}\right\}
\end{equation*}である状況において、事象空間を、\begin{equation*}
\mathcal{F}=\left\{ \phi ,\left\{ \omega _{1}\right\} ,\left\{ \omega
_{2}\right\} ,\Omega \right\}
\end{equation*}と定義すれば\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)は可測空間になります。その一方で、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}P\left( \phi \right) \not=0
\end{equation*}を満たす場合、先の命題の対偶より\(P\)は確率論の公理を満たさず、したがって\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間ではありません。
演習問題
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}が常に成り立ちます。では、\begin{equation*}
P\left( A\cup B\right) =0
\end{equation*}もまた常に成り立つでしょうか。議論してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】