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空事象の確率

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空事象は可測

標本空間が有限集合ないし可算集合である場合の確率空間\(\left(\Omega ,2^{\Omega },P\right) \)に関しては、\begin{equation*}P\left( \phi \right) =0
\end{equation*}が成り立つことを確認しましたが、一般の確率空間、すなわち測度空間としての公理を満たす確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)についても同様の命題が成り立つのでしょうか。順番に考えます。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。つまり、事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は可測空間であるとともに、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は確率関数であるということです。具体的には、事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は、\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、\(\mathcal{F}\)の任意の可算部分集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)について、\begin{equation*}\left( M_{3}\right) \ \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1
\end{eqnarray*}を満たすとともに、\(\mathcal{F}\)の任意の排反な可算部分集合族\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)について、\begin{equation*}\left( P_{3}\right) \ P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

空事象の確率を求める前に、前提として、空事象可測であることを確認しておく必要があります。

命題(空事象は可測)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に対して、\begin{equation*}\phi \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つ。つまり、空事象は可測である。

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例(空事象は可測)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が排反である場合には、\begin{eqnarray*}A\cap B &=&\phi \quad \because A,B\text{は排反} \\
&\in &\mathcal{F\quad \because }\phi \text{は可測}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、有限事象族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が排反である場合には、\begin{eqnarray*}\bigcap_{i=1}^{n}A_{i} &=&\phi \quad \because \left\{ A_{i}\right\}
_{i=1}^{n}\text{は排反} \\
&\in &\mathcal{F\quad \because }\phi \text{は可測}
\end{eqnarray*}が成り立ち、可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が排反である場合には、\begin{eqnarray*}\bigcap_{n\in \mathbb{N} }A_{n} &=&\phi \quad \because \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\text{は排反} \\
&\in &\mathcal{F\quad \because }\phi \text{は可測}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。排反な事象族の共通部分は可測であるということです。

 

空事象の確率

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において空事象は可測であること、すなわち\(\phi \in \mathcal{F}\)が成り立つことが明らかになりました。したがって確率関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は空事象\(\phi \)に対してもその確率\begin{equation*}P\left( \phi \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めますが、その値は、\begin{equation*}
P\left( \phi \right) =0
\end{equation*}となることが確率論の公理から導かれます。つまり、空事象の確率は\(0\)です。

命題(空事象の確率)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、\begin{equation*}P\left( \phi \right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

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例(空事象の確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が排反である場合には、\begin{eqnarray*}P\left( A\cap B\right) &=&P\left( \phi \right) \quad \because A,B\text{は排反} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、有限事象族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が排反である場合には、\begin{eqnarray*}P\left( \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\right) &=&P\left( \phi \right) \quad \because
\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\text{は排反} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が排反である場合には、\begin{eqnarray*}P\left( \bigcap_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) &=&P\left( \phi \right) \quad \because \left\{ A_{n}\right\}
_{n\in \mathbb{N} }\text{は排反} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。排反な事象族の共通部分の確率は\(0\)であるということです。

 

演習問題

問題(空事象の確率)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、\(A\subset \phi \)を満たす任意の事象\(A\in \mathcal{F}\)について、\begin{equation*}P\left( A\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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問題(空事象の確率)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が排反である場合には、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =0
\end{equation*}が常に成り立ちます。では、\begin{equation*}
P\left( A\cup B\right) =0
\end{equation*}もまた常に成り立つでしょうか。議論してください。

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要素を1つも持たない集合を空集合と呼びます。空集合を特徴づける論理式は恒偽式です。空集合は任意の集合の部分集合です。

空事象

空集合は任意の集合の部分集合であることから、標本空間の部分集合でもあり、したがって事象です。空集合を事象とみなしたとき、それを空事象と呼びます。空事象は試行によって決して起こらない現象に相当する事象です。