有限型確率空間

標本空間が有限集合であるとき、その任意の部分集合を事象として考察対象に含めることができます。その上で、標本空間のベキ集合上に集合関数を定義した上で、それが確率論の公理と呼ばれる性質を満たすものと定めます。こうして得られる概念を有限確率空間と呼びます。

標本空間が有限集合である場合の確率空間

標本空間が有限集合\(\Omega =\{\omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\}\)である場合には、\(\Omega \)の任意の部分集合を事象として考察対象に含めることができます。つまり、事象空間として、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}を採用します。ただし、\(2^{\Omega }\)は\(\Omega \)のベキ集合を表す記号です。その上で、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)は、\begin{eqnarray*}
&&\left( P_{1}\right) \ \forall i\in \{1,\cdots ,n\}:P\left( \{\omega
_{i}\}\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ \sum_{i=1}^{n}P\left( \{\omega _{i}\}\right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right)
=\sum_{\omega _{i}\in A}P\left( \{\omega _{i}\}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。

\(\left( P_{1}\right) \)は任意の根元事象の確率が非負であることを意味します。\(\left( P_{2}\right) \)はすべての根元事象の確率の総和が\(1\)であることを意味します。\(\left( P_{3}\right) \)はそれぞれの事象\(A\)の確率\(P\left( A\right) \)を規定しており、それは\(A\)に含まれる根元事象の確率の総和として表されることを意味します。

\(\left( P_{1}\right) \)から\(\left( P_{3}\right) \)までの性質を満たす関数\(P\)を確率関数(probability function)や確率測度(probability measure)などと呼び、確率関数を規定する以上の性質を確率論の公理(axioms of probability)と総称します。また、確率関数\(P\)がそれぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して定める値\(P(A)\in \mathbb{R}\)を\(A\)の確率(probability)と呼び、これは\(A\)の起こりやすさを表す値として解釈されます。また、\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)を確率空間(probability space)と呼びます。

有限な標本空間\(\Omega \)と事象の集合系\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)が与えられたとき、確率論の公理を満たす確率関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)は一意的には定まりません。公理主義的確率論の主要な目的は、確率論の公理を満たす具体的な関数について議論を深めることではなく、確率という概念に対して私たちが持つ常識的な感覚を確率論の公理として定式化した上で、そこを出発点にして演繹的に考えたときに何が言えるかを明らかにすることにあります。

例(確率空間)
有限な標本空間\(\Omega =\{\omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\}\)のベキ集合\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)上に定義された集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)は、それぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して先験的確率\begin{equation}
P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert }=\frac{\left\vert A\right\vert }{n} \tag{1}
\end{equation}を定めるものとします。標本点\(\omega _{i}\in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
P\left( \{\omega _{i}\}\right) &=&\frac{\left\vert \{\omega
_{i}\}\right\vert }{n}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{n} \\
&\geq &0\quad \because n\in \mathbb{N}
\end{eqnarray*}となるため\(\left( P_{1}\right) \)が成り立ちます。また、\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{n}P\left( \{\omega _{i}\}\right) &=&\sum_{i=1}^{n}\frac{\left\vert \{\omega _{i}\}\right\vert }{n}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n} \\
&=&n\cdot \frac{1}{n} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため\(\left( P_{2}\right) \)が成り立ちます。さらに、事象\(A\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、これが\(m\in \mathbb{N}\)個の標本点を含む場合には、\begin{eqnarray*}
P\left( A\right) &=&\frac{\left\vert A\right\vert }{n}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\frac{m}{n}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\sum_{\omega _{i}\in A}P\left( \{\omega _{i}\}\right) &=&m\cdot \frac{1}{n}\quad \because \left( P_{1}\right) \\
&=&\frac{m}{n}
\end{eqnarray*}となるため\(\left( P_{3}\right) \)が成り立ちます。したがって\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)は確率空間です。このような確率空間を有限集合上の一様確率(uniform probability on a finite set)と呼びます。これは、標本空間\(\Omega \)に属する有限個の標本点はすべて同じ程度の確かさで起こるとき、\(\Omega \)の中から標本点\(\omega \)をランダムに選ぶ場合の確率として解釈可能です。
例(確率空間)
有限な標本空間\(\Omega =\{\omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\}\)に属する特定の標本点\(\omega \in \Omega \)に注目した上で、ベキ集合\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)上に定義された集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)は、それぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation}
P\left( A\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega \in A\right) \\
0 & \left( if\ \omega \not\in A\right)
\end{array}\right. \tag{1}
\end{equation}を定めるものとします。標本点\(\omega _{i}\in \Omega \)を任意に選んだとき、\(\left( 1\right) \)より、\(\omega _{i}=\omega \)の場合には\(P\left( A\right) =1\)となり、\(\omega _{i}\not=\omega \)の場合には\(P\left( A\right) =0\)となるため\(\left( P_{1}\right) \)が成り立ちます。また、\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{n}P\left( \{\omega _{i}\}\right) &=&P\left( \{\omega \}\right)
+\sum_{\omega _{i}\in \Omega \backslash \{\omega \}}P\left( \{\omega
_{i}\}\right) \quad \because \omega \in \Omega \\
&=&1+\left( n-1\right) \cdot 0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため\(\left( P_{2}\right) \)が成り立ちます。さらに、事象\(A\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\(\omega \in A\)が成り立つ場合には、\(\left( 1\right) \)より\(P\left( A\right) =1\)である一方で、\begin{eqnarray*}
\sum_{\omega _{i}\in A}P\left( \{\omega _{i}\}\right) &=&P\left( \{\omega
\}\right) +\sum_{\omega _{i}\in A\backslash \{\omega \}}P\left( \{\omega
_{i}\}\right) \quad \because \omega \in A \\
&=&1+\left( \left\vert A\right\vert -1\right) \cdot 0\quad \because \left(
1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため両者が一致します。また、\(\omega \not\in A\)が成り立つ場合には、\(\left( 1\right) \)より\(P\left( A\right) =0\)である一方で、\begin{eqnarray*}
\sum_{\omega _{i}\in A}P\left( \{\omega _{i}\}\right) &=&\left\vert
A\right\vert \cdot 0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるためやはり両者が一致します。したがって\(\left( P_{3}\right) \)が成り立つため、この\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)もまた確率空間です。
例(確率空間)
ある試行の標本空間は 2 つの標本点からなる集合\(\{0,1\}\)であり、そのベキ集合\(2^{\{0,1\}}\)上に定義された集合関数\(P:2^{\{0,1\}}\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{eqnarray*}
P\left( \{0\}\right) &=&p \\
P\left( \{1\}\right) &=&1-p
\end{eqnarray*}を満たすものとします。ただし、\(p\)は\(0\leq p\leq 1\)を満たす実数の定数です。さらに、この試行を有限\(N\)回繰り返すという新たな試行について考えます。ただし、各回の結果は他の回の結果に影響を与えないものと仮定します。このような試行を有限ベルヌーイ試行(finite Bernoulli process)と呼びます。有限ベルヌーイ試行のそれぞれの標本点\(\omega \)は、\begin{equation*}
\omega =\left( v_{1},\cdots ,v_{N}\right) \in \{0,1\}^{N}
\end{equation*}という、それぞれの成分が\(0\)または\(1\)を値としてとり得る\(N\)組として表現されます。ただし、それぞれの番号\(n\in \{1,\cdots ,N\}\)について、\(v_{n}\in \{0,1\}\)は\(n\)回目の試行の結果を表します。有限ベルヌーイ試行の標本空間は\(\Omega =\{0,1\}^{N}\)であり、その中には有限\(2^{N}\)個の標本点が含まれます。標本空間\(\Omega \)のベキ集合\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)上に定義された関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの根元事象\(\{\omega \}\)に対して定める確率は、\(\omega \)において\(N\)回のうちの何回の結果が\(0\)であるかに依存します。具体的には、\(N\)回のうちの\(k\)回が\(0\)である場合(このとき\(N-k\)回が\(1\))には、すなわち\(\omega \)を構成する\(N\)個の成分\(v_{1},\cdots ,v_{N}\)の中の\(k\)個が\(0\)であるとき場合(このとき\(N-k\)個が\(1\))には、\begin{equation*}
P\left( \{\omega \}\right) =p^{k}\left( 1-p\right) ^{N-k}
\end{equation*}となります。このとき、それぞれの事象\(A\subset \Omega \)の確率は、\begin{equation*}
P\left( A\right) =\sum_{\omega \in A}P\left( \{\omega \}\right)
\end{equation*}です。より具体的には、事象\(A\)が「\(N\)回のうちの\(k\)回が\(0\)」という現象に相当する場合には、すなわち、\begin{equation*}
A=\{\omega =\left( v_{1},\cdots ,v_{N}\right) \in \{0,1\}^{N}\ |\
v_{1},\cdots ,v_{N}\text{の中の}k\text{個が}0\}
\end{equation*}である場合には、\(A\)の中には\(\binom{N}{k}\)個の標本点が含まれるため、\begin{equation*}
P\left( A\right) =\sum_{\omega \in A}P\left( \{\omega \}\right) =\binom{N}{k}p^{k}\left( 1-p\right) ^{N-k}
\end{equation*}となります。この\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)が確率空間であることは演習問題とします。

 

確率論の公理の言い換え

先に定義した確率論の公理では、それぞれの根元事象に確率を付与することで確率空間を構成していくアプローチを採用しましたが、以下の命題が示すように、根元事象ではなく、一般の事象に確率を付与する形で確率空間を構成することもできます。

命題(確率論の公理の言い換え)
有限な標本空間\(\Omega =\{\omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\}\)のベキ集合\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)上に定義された関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \forall A,B\in \mathcal{F}:\left[ A\cap B=\phi \
\Rightarrow \ P(A\cup B)=P(A)+P(B)\right] \\
&&\left( c\right) \ P\left( \Omega \right) =1
\end{eqnarray*}をすべて満たすことは、\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)が確率空間であるための必要十分条件である。
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\(\left( a\right) \)は非負性(nonnegativity)と呼ばれる性質であり、任意の事象の確率が非負の実数として表されることを意味します。\(\left( b\right) \)は加法性(additivity)と呼ばれる性質です。2 つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだ上で、それらの和事象\(A\cup B\)をとります。\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)ゆえに\(A\cup B\in \mathcal{F}\)であることから、関数\(P\)は\(A\cup B\)の確率を評価できます。以上を踏まえると、加法性とは、排反事象\(A,B\)の少なくとも一方が起こるという事象\(A\cup B\)の確率は、\(A\)の確率と\(B\)の確率の和に等しくなることを意味します。\(\left( c\right) \)は全事象の確率を規定します。つまり、与えられた試行のもとで必ず起こる事象\(\Omega \)の確率を\(1\)と定めます。

\(\left( a\right) \)から\(\left( c\right) \)までの性質を満たす集合関数を一般に有限加法測度(finitely additive measure)と呼びます。有限な標本空間\(\Omega \)と事象の集合像\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)が与えられたとき、上の命題より、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)が有限加法測度であることは、\(P\)が確率論の公理を満たすための必要十分条件です。

先ほど確率論の公理を満たす集合関数をいくつか例示しましたが、念のため、それらが有限加法測度であることを確認します。

例(確率空間)
有限な標本空間\(\Omega =\{\omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\}\)のベキ集合\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)上に定義された集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)は、それぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して先験的確率\begin{equation}
P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert }=\frac{\left\vert A\right\vert }{n} \tag{1}
\end{equation}を定めるものとします。まず、\(\left( 1\right) \)より、任意の\(A\in \mathcal{F}\)に対して明らかに\(P\left( A\right) \geq 0\)が成り立つため、\(P\)は非負性を満たします。また、互いに素な事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
P\left( A\cup B\right) &=&\frac{\left\vert A\cup B\right\vert }{\left\vert
\Omega \right\vert }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega \right\vert }+\frac{\left\vert B\right\vert }{\left\vert \Omega \right\vert }\quad \because
A\cap B=\phi \\
&=&P\left( A\right) +P\left( B\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため\(P\)は加法性を満たします。最後に、\begin{eqnarray*}
P\left( \Omega \right) &=&\frac{\left\vert \Omega \right\vert }{\left\vert
\Omega \right\vert }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)は確率空間です。
例(確率空間)
有限な標本空間\(\Omega =\{\omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\}\)に属する特定の標本点\(\omega \in \Omega \)に注目します。\(\Omega \)のベキ集合\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)上に定義された集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)は、それぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)の確率を、\begin{equation}
P\left( A\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega \in A\right) \\
0 & \left( if\ \omega \not\in A\right)
\end{array}\right. \tag{1}
\end{equation}を定めるものとします。\(\left( 1\right) \)より、任意の\(A\in \mathcal{F}\)に対して明らかに\(P\left( A\right) \geq 0\)が成り立つため、\(P\)は非負性を満たします。互いに素な事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選びます。\(\omega \in A\)かつ\(\omega \not\in B\)の場合には\(\omega \in A\cup B\)であり、\(\left( 1\right) \)より、\begin{eqnarray*}
&&P\left( A\cup B\right) =1 \\
&&P\left( A\right) +P\left( B\right) =1+0=1
\end{eqnarray*}となるため両者は一致します。\(\omega \not\in A\)かつ\(\omega \in B\)の場合も同様です。また、\(\omega \not\in A\)かつ\(\omega \not\in B\)の場合には、やはり\(\left( 1\right) \)より、\begin{eqnarray*}
&&P\left( A\cup B\right) =0 \\
&&P\left( A\right) +P\left( B\right) =0+0=0
\end{eqnarray*}となるため両者は一致します。したがって\(P\)は加法性を満たします。最後に、\(\omega \in \Omega \)より\(P\left( \Omega \right) =1\)が成り立つため、\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)は確率空間です。
例(確率空間)
有限ベルヌーイ試行について再び考えます。つまり、有限な標本空間\(\Omega =\{0,1\}^{N}\)のベキ集合\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)上に定義された関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)は、それぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation}
P\left( A\right) =\binom{N}{k}p^{k}\left( 1-p\right) ^{N-k} \tag{1}
\end{equation}を定めるものとします。この\(P\)は有限加法測度ですが、その証明は演習問題とします。

 

有限加法性

有限な標本空間に関する確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)が与えられたとき、有限かつ任意個の互いに排反な事象\(A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{F}\)を任意に選びます。このとき、加法性を繰り返すことにより、\begin{equation}
P\left( \bigcup_{i=1}^{m}A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{m}P\left( A_{i}\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立つことを示すことができます。集合関数が満たす上の性質を有限加法性(finite additivity)と呼びます。これは、有限個の排反事象\(A_{1},\cdots ,A_{m}\)を任意に選んだときに、その中の少なくとも 1 つが起こるという現象に相当する和事象\(\bigcup_{i=1}^{m}A_{i}\)の確率は、\(A_{1},\cdots ,A_{m}\)それぞれの確率の総和に等しくなることを意味します。

逆に、有限加法性\(\left( 1\right) \)において\(m=2\)とすれば、それは加法性に他なりません。したがって、有限加法性と加法性は必要十分です。

命題(有限加法性)
有限な標本空間\(\Omega =\{\omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\}\)のベキ集合\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)上に定義された関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、有限かつ任意個の互いに排反な任意の事象\(A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}
P\left( \bigcup_{i=1}^{m}A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{m}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}を満たすことは、\(P\)が加法性を満たすための必要十分条件である。
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つまり、確率空間の定義において、加法性を有限加法性に置き換えても問題はありません。

 

先験的確率との関係

有限な標本空間\(\Omega \)のベキ集合\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)上に定義された集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)が先験的確率である場合には、\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)は確率空間になることを先ほど例示しました。他方で、以下で例示するように、確率空間は先験的確率では扱うことができないような確率を表現できます。したがって、確率空間を通じて確率を表現するアプローチは先験的確率よりも一般的です。

例(先験的確率とは異なる確率空間)
様々な距離からゴルフのパットを打ち、どの距離から打ったボールがホールに最初に入るかを調べる状況を想定します。ただし、ホールからの距離として\(1,2,3,4,5\ \)mの 5 の通りあり、それぞれから 1 打ずつ打ちます。ホールからの距離が\(i\in \{1,2,3,4,5\}\)mのパットが最初に入るという結果を標本点\(\omega _{i}\)で表すと、標本空間は\(\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4},\omega _{5}\}\)となります。また、\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)とします。これらの標本点はすべて同じ程度の確かさで起こるとは考え難いため、この問題を先験的確率を通じて考えることはできません。ホールからの距離とボールが入る確率が反比例するものと仮定した場合、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの根元事象\(\{\omega _{i}\}\in \mathcal{F}\)に対して定める確率は、定数\(\alpha >0\)を用いて、\begin{equation}
P\left( \{\omega _{i}\}\right) =\frac{\alpha }{i} \tag{1}
\end{equation}と表すことができます。このとき、\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{5}P\left( \{\omega _{i}\}\right) &=&\left( \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right) \alpha \quad \because \left(
1\right) \\
&=&\left( \frac{60+30+20+15+12}{60}\right) \alpha \\
&=&\frac{137}{60}\alpha
\end{eqnarray*}となるため、\(\alpha =\frac{60}{137}\)とおけば、\(P\)は確率論の公理を満たすことが用意に示されます。したがって\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)は確率空間です。

次回は有限確率空間よりも一般的な確率空間である可算確率空間について解説します。
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