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PROBABILITY

有限型確率空間

目次

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標本空間が有限集合である場合の確率空間

標本空間が有限集合\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\}
\end{equation*}である場合には、\(\Omega \)の任意の部分集合を事象として考察対象に含めることができます。つまり、事象空間として\(\Omega \)のベキ集合\begin{equation*}2^{\Omega }
\end{equation*}を採用するということです。

確率を記述するために残された課題は、\(2^{\Omega }\)に属するそれぞれの事象に対して、その起こりやすさを特定することです。そこで、それぞれの事象\(A\in 2^{\Omega }\)に対して、それが起こる確率に相当する実数\(P\left( A\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ割り当てる集合関数\begin{equation*}P:2^{\Omega }\mathcal{\rightarrow \mathbb{R} }
\end{equation*}を導入します。公理主義的確率論の立場のもとでは、この\(P\)が満たすべき3つの性質を公理として定めます。

集合関数\(P\)が満たすべき1つ目の性質は、任意の事象\(A\in 2^{\Omega }\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、任意の事象の確率を非負の実数と定めます。\(P\)が満たすこのような性質を非負性(nonnegativity)と呼びます。

集合関数\(P\)が満たすべき2つ目の性質は、\begin{equation*}P\left( \Omega \right) =1
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、全事象の確率を\(1\)と定めます。

集合関数\(P\)が満たすべき3つ目の性質は、任意の事象\(A,B\in 2^{\Omega }\)について、\begin{equation*}A\cap B=\phi \Rightarrow P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left(
B\right)
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、排反な2つの事象\(A,B\)が任意に与えられたとき、それらの和事象の確率は、それぞれの事象の確率の和と一致するものと定めます。\(P\)が満たすこのような性質を加法性(additivity)と呼びます。

以上の3つの性質を満たす集合関数\(P\)を確率関数(probability function)や確率測度(probability measure)などと呼び、確率関数\(P\)がそれぞれの事象\(A\in2^{\Omega }\)に対して定める値\(P(A)\in \mathbb{R} \)を\(A\)の確率(probability)と呼びます。確率関数を規定する以上の3つの性質を確率論の公理(axioms of probability)と呼びます。さらに、以上のように定義された標本空間\(\Omega \)と確率空間\(2^{\Omega }\)および確率関数\(P\)の組\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right) \)を確率空間(probability space)と呼びます。

公理(有限な標本空間上の確率空間)
標本空間\(\Omega \)が有限集合である場合、事象空間を\(2^{\Omega }\)と定めるとともに、確率関数\(P:2^{\Omega}\mathcal{\rightarrow \mathbb{R} }\)は以下の3つの性質\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in 2^{\Omega }:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall A,B\in 2^{\Omega }:\left[ A\cap B=\phi
\Rightarrow P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) \right] \end{eqnarray*}を満たすものと定める。

公理主義のもとで確率について考えるということは、確率論の公理だけを議論の前提として認めることを意味します。つまり、標本空間が有限集合であるような試行に関する命題はいずれも先の公理から導かれてはじめて正しいものとして認められます。以下では、確率論の公理から導かれる基本的な命題をいくつか紹介しますが、その前に、確率論の公理を満たす確率関数の具体例を提示します。

例(先験的確率)
有限な標本空間\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\}
\end{equation*}のベキ集合上に定義された集合関数\(P:2^{\Omega}\rightarrow \mathbb{R} \)が、それぞれの事象\(A\in 2^{\Omega }\)に対して先験的確率\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\left\vert X\right\vert \)は集合\(X\)の要素の個数を表す記号です。事象\(A\in 2^{\Omega }\)を任意に選んだとき、\(P\)の定義より、\begin{equation*}P\left( A\right) \geq 0
\end{equation*}が明らかに成り立つため\(P\)は非負性を満たします。また、全事象の確率は、\begin{eqnarray*}P\left( \Omega \right) &=&\frac{\left\vert \Omega \right\vert }{\left\vert
\Omega \right\vert }\quad \because P\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}を満たします。さらに、排反事象\(A,B\in 2^{\Omega }\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}P\left( A\cup B\right) &=&\frac{\left\vert A\cup B\right\vert }{\left\vert
\Omega \right\vert }\quad \because P\text{の定義} \\
&=&\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega \right\vert }+\frac{\left\vert B\right\vert }{\left\vert \Omega \right\vert }\quad \because
A\cap B=\phi \\
&=&P\left( A\right) +P\left( B\right) \quad \because P\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(P\)は加法性を満たします。したがって\(P\)は確率論の公理を満たすため、以上の\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right) \)は確率空間であることが明らかになりました。
例(指示関数)
有限な標本空間\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\}
\end{equation*}のベキ集合上に定義された集合関数\(P:2^{\Omega}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの事象\(A\in2^{\Omega }\)に対して定める値が、特定の標本点\(\omega \in\Omega \)を用いて、\begin{equation*}P\left( A\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega \in A\right) \\
0 & \left( if\ \omega \not\in A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。このような関数を指示関数(indicator function)と呼びます。事象\(A\in 2^{\Omega }\)を任意に選んだとき、\(P\)の定義より、\begin{equation*}P\left( A\right) \geq 0
\end{equation*}が明らかに成り立つため\(P\)は非負性を満たします。また、\(\omega \in \Omega \)が成り立つため、\(P\)の定義より、全事象の確率は、\begin{equation*}P\left( \Omega \right) =1
\end{equation*}となります。さらに、排反事象\(A,B\in 2^{\Omega }\)を任意に選んだとき、\(\omega \in A\)かつ\(\omega \not\in B\)の場合には\(\omega \in A\cup B\)であるため、\(P\)の定義より、\begin{eqnarray*}&&P\left( A\cup B\right) =1 \\
&&P\left( A\right) +P\left( B\right) =1+0=1
\end{eqnarray*}となり両者は一致します。\(\omega \not\in A\)かつ\(\omega \in B\)の場合も同様です。また、\(\omega \not\in A\)かつ\(\omega \not\in B\)の場合には、やはり\(P\)の定義より、\begin{eqnarray*}&&P\left( A\cup B\right) =0 \\
&&P\left( A\right) +P\left( B\right) =0+0=0
\end{eqnarray*}となり両者は一致します。\(A\)と\(B\)は排反であるため、\(\omega \in A\)かつ\(\omega \in B\)は起こり得ません。したがって\(P\)は加法性を満たします。したがって\(P\)は確率論の公理を満たすため、以上の\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right) \)は確率空間であることが明らかになりました。

 

根元事象の確率に関する諸命題

繰り返しになりますが、公理主義のもとで確率について考えるということは、確率論の公理だけを議論の前提として認めることを意味します。つまり、確率に関する命題はいずれも先の公理から導かれてはじめて正しいものとして認められます。以下では、確率論の公理から導かれる基本的な命題をいくつか紹介します。

標本空間\(\Omega =\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega_{n}\right\} \)から標本点\(\omega _{i}\in \Omega \)を任意に選んだ上で根元事象\(\left\{ \omega _{i}\right\} \)を作ります。\(\left\{ \omega _{i}\right\} \in2^{\Omega }\)であるため、確率関数\(P\)は\(\left\{ \omega _{i}\right\} \)に対してもその確率\(P\left( \left\{\omega _{i}\right\} \right) \)を与えますが、\(P\)の非負性より、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\} \right) \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意の根元事象の確率は非負の実数です。

命題(根元事象の確率)

有限な標本空間\(\Omega =\left\{\omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\} \)に関する標本空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right) \)に関して、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \left\{ \omega
_{i}\right\} \right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つ。

標本空間\(\Omega =\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega_{n}\right\} \)は互いに素な有限個の根元事象\(\left\{ \omega_{1}\right\} ,\cdots ,\left\{ \omega _{n}\right\} \)を用いて、\begin{equation}\Omega =\bigcup_{i=1}^{n}\left\{ \omega _{i}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}と表すことができます。したがって、\begin{align*}
1& =P\left( \Omega \right) \quad \because \text{全事象の確率} \\
& =P\left( \bigcup_{i=1}^{n}\left\{ \omega _{i}\right\} \right) \quad
\because \left( 1\right) \\
& =P\left( \left\{ \omega _{1}\right\} \cup \bigcup_{i=2}^{n}\left\{ \omega
_{i}\right\} \right) \\
& =P\left( \left\{ \omega _{1}\right\} \right) +P\left(
\bigcup_{i=2}^{n}\left\{ \omega _{i}\right\} \right) \quad \because P\text{の加法性} \\
& =P\left( \left\{ \omega _{1}\right\} \right) +P\left( \left\{ \omega
_{2}\right\} \cup \bigcup_{i=3}^{n}\left\{ \omega _{i}\right\} \right) \\
& =P\left( \left\{ \omega _{1}\right\} \right) +P\left( \left\{ \omega
_{2}\right\} \right) +P\left( \bigcup_{i=3}^{n}\left\{ \omega _{i}\right\}
\right) \quad \because P\text{の加法性} \\
& =\cdots \\
& =\sum_{i=1}^{n}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\} \right)
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、すべての根元事象の確率の和は\(1\)になります。

命題(根元事象の確率の総和)
有限な標本空間\(\Omega =\left\{\omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\} \)に関する標本空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right) \)に関して、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つ。

事象\(A\in 2^{\Omega }\)を任意に選びます。標本空間\(\Omega \)は有限集合であるため、その部分集合である\(A\)もまた有限集合であることを踏まえた上で、\begin{equation*}A=\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega _{m}\right\}
\end{equation*}と表記します。ただし、\(m\in \mathbb{N} \)です。この場合、\(A\)は互いに素な根元事象\(\left\{ \omega _{1}\right\} ,\cdots ,\left\{ \omega _{n}\right\} \)を用いて、\begin{equation}A=\bigcup_{i=1}^{m}\left\{ \omega _{i}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}と表すことができます。したがって、\begin{align*}
P\left( A\right) & =P\left( \bigcup_{i=1}^{m}\left\{ \omega _{i}\right\}
\right) \quad \because \left( 1\right) \\
& =P\left( \left\{ \omega _{1}\right\} \cup \bigcup_{i=2}^{m}\left\{ \omega
_{i}\right\} \right) \\
& =P\left( \left\{ \omega _{1}\right\} \right) +P\left(
\bigcup_{i=2}^{m}\left\{ \omega _{i}\right\} \right) \quad \because P\text{の加法性} \\
& =P\left( \left\{ \omega _{1}\right\} \right) +P\left( \left\{ \omega
_{2}\right\} \cup \bigcup_{i=3}^{m}\left\{ \omega _{i}\right\} \right) \\
& =P\left( \left\{ \omega _{1}\right\} \right) +P\left( \left\{ \omega
_{2}\right\} \right) +P\left( \bigcup_{i=3}^{m}\left\{ \omega _{i}\right\}
\right) \quad \because P\text{の加法性} \\
& =\cdots \\
& =\sum_{i=1}^{m}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\} \right) \\
& =\sum_{\omega _{i}\in A}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\} \right) \quad
\because A=\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega _{m}\right\}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( A\right) =\sum_{\omega _{i}\in A}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\}
\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、事象\(A\)の確率\(P\left(A\right) \)はそこに含まれる根元事象の確率の総和と一致します。

命題(事象の確率)
有限な標本空間\(\Omega =\left\{\omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\} \)に関する標本空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right) \)に関して、事象\(A\in 2^{\Omega }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( A\right) =\sum_{\omega _{i}\in A}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\}
\right)
\end{equation*}が成り立つ。

確率論の公理から根元事象の確率に関する3つの命題を導きましたが、逆に、この3つの命題を公理とみなしたとき、そこから確率論の公理に相当する3つの命題を導くことができます。したがって、確率論の公理を以下のように言い換えることができます。

命題(確率論の公理の代替的な表現)
有限な標本空間\(\Omega \)のベキ集合上に定義された関数\(P:2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left(
\left\{ \omega _{i}\right\} \right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ \sum_{i=1}^{n}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\}
\right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall A\in 2^{\Omega }:P\left( A\right)
=\sum_{\omega _{i}\in A}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\} \right)
\end{eqnarray*}をすべて満たすことは、\(P\)が確率論の公理を満たすための必要十分条件である。
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例(先験的確率)
有限な標本空間\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\}
\end{equation*}のベキ集合上に定義された集合関数\(P:2^{\Omega}\rightarrow \mathbb{R} \)が、それぞれの事象\(A\in 2^{\Omega }\)に対して先験的確率\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\left\vert X\right\vert \)は集合\(X\)の要素の個数を表す記号です。先に確認したように\(P\)は確率論の公理を満たすため、上の命題より、\(P\)は根元事象の確率に関する3つの命題も満たすはずです(演習問題にします)。
例(指示関数)
有限な標本空間\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\}
\end{equation*}のベキ集合上に定義された集合関数\(P:2^{\Omega}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの事象\(A\in2^{\Omega }\)に対して定める値が、特定の標本点\(\omega \in\Omega \)を用いて、\begin{equation*}P\left( A\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega \in A\right) \\
0 & \left( if\ \omega \not\in A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。先に確認したように\(P\)は確率論の公理を満たすため、上の命題より、\(P\)は根元事象の確率に関する3つの命題も満たすはずです(演習問題にします)。

 

有限加法性

有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、排反であるような有限事象族を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :A_{i}\subset
\Omega \\
&&\left( b\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\phi \right)
\end{eqnarray*}がともに満たす集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{m}\)を任意に選ぶということです。確率関数\(P\)の加法性を繰り返し利用することにより、この有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{m}\)の和事象の確率に関して、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{i=1}^{m}A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{m}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを導くことができます。つまり、有限個の排反事象を任意に選んだとき、それらの和事象の確率は個々の事象の確率の総和と一致するということです。以上の性質を有限加法性(finite additivity)と呼びます。逆に、有限加法性において\(m=2\)とすれば加法性が導かれるため、有限加法性と加法性は必要十分です。したがって、確率論の公理において、加法性と有限加法性は交換可能です。

命題(有限加法性)
有限な標本空間\(\Omega \)のベキ集合上に定義された関数\(P:2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \)が有限加法性を満たすことは、\(P\)が加法性を満たすための必要十分条件である。
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空事象の確率

有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、\(\phi \in 2^{\Omega }\)ゆえに確率関数\(P\)は空事象\(\phi \)に対してもその確率\(P\left( \phi\right) \)を与えますが、\begin{equation*}P\left( \phi \right) =0
\end{equation*}であることが確率論の公理から導かれます。つまり、空事象の確率はゼロです。

命題(空事象の確率)
有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)に関して、\begin{equation*}P\left( \phi \right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

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余事象の確率

有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、事象\(A\in 2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、確率関数\(P\)はその確率\(P\left( A\right) \)を与えます。さらに、\(A^{c}\in 2^{\Omega }\)であるため\(P\)は余事象\(A^{c}\)に対してもその確率\(P\left( A^{c}\right) \)を与えますが、両者の間には、\begin{equation*}P\left( A^{c}\right) =1-P\left( A\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが確率論の公理から導かれます。つまり、余事象\(A^{c}\)の確率は、全事象\(\Omega \)の確率である\(1\)から事象\(A\)の確率を引くことにより得られます。

命題(余事象の確率)
有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、事象\(A\in2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A^{c}\right) =1-P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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事象の確率がとり得る値の範囲

有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、事象\(A\in 2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、その確率がとり得る値の範囲が、\begin{equation*}0\leq P\left( A\right) \leq 1
\end{equation*}であることが示されます。つまり、任意の事象の確率は\(0\)以上\(1\)以下の実数です。

命題(事象の確率がとり得る値の範囲)
有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、事象\(A\in2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}0\leq P\left( A\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立つ。

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部分事象と確率(単調性)

有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、\(A\subset B\)を満たす事象\(A,B\in2^{\Omega }\)を任意に選びます。つまり、\(A\)は\(B\)の部分事象であるということです。この場合、\begin{equation*}P\left( A\right) \leq P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分事象である場合、\(A\)の確率は\(B\)の確率以下となります。以上の性質を単調性(monotonicity)と呼びます。

命題(単調性)
有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、事象\(A,B\in2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow P\left( A\right) \leq P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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差事象の確率

有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、事象\(A,B\in 2^{\Omega }\)を任意に選びます。\(A\backslash B\in 2^{\Omega }\)かつ\(A\cap B\in 2^{\Omega }\)であるため、\(P\)は差事象\(A\backslash B\)や積事象\(A\cap B\)に対しても確率を与えますが、それらの確率の間に、\begin{equation*}P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right) -P\left( A\cap B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが導かれます。特に、\(B\subset A\)である場合には\(A\cap B=B\)となるため、\begin{equation*}P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right) -P\left( B\right)
\end{equation*}を得ます。

命題(差事象の確率)
有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、事象\(A,B\in2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right) -P\left( A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(B\subset A\)である場合には、\begin{equation*}P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right) -P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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和事象の確率(加法定理)

有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、事象\(A,B\in 2^{\Omega }\)を任意に選びます。\(A\)と\(B\)が排反である場合には、確率関数\(P\)の加法性より、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。一方、\(A\)と\(B\)が排反であるとは限らない場合には、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立つことが導かれます。つまり、排反であるとは限らない2つの事象の和事象の確率は、個々の事象の確率の和から積事象の確率を引くことにより得られます。これを加法定理(addition theorem)と呼びます。

命題(加法定理)
有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、事象\(A,B\in2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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和事象の確率の範囲(劣加法性)

有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、排反であるとは限らない事象\(A,B\in 2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、加法定理より、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これと確率関数\(P\)の非負性より、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) \leq P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}が導かれます。つまり、排反であるとは限らない2つの事象の和事象の確率は、個々の事象の確率の和以下になります。これを劣加法性(subadditivity)と呼びます。

命題(劣加法性)
有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、事象\(A,B\in2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) \leq P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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劣加法性は有限集合族に関しても拡張可能です。つまり、有限事象列\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{m}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{i=1}^{m}A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{m}P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。これを有限劣加法性(finite subadditivity)と呼びます。逆に、有限劣加法性において\(m=2\)とすれば劣加法性が導かれるため、有限劣加法性と劣加法性は必要十分です。

命題(有限劣加法性)
有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、確率関数\(P\)が有限劣加法性を満たすことは、劣加法性を満たすための必要十分条件である。
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積事象の確率の範囲(ボンフェローニの不等式)

有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、排反であるとは限らない事象\(A,B\in 2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、それらの積事象の確率に関して、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) \geq P\left( A\right) +P\left( B\right) -1
\end{equation*}が成り立つことが導かれます。これをボンフェローニの不等式(Bonferroni’s inequality)と呼びます。

命題(ボンフェローニの不等式)
有限な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、事象\(A,B\in2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) \geq P\left( A\right) +P\left( B\right) -1
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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演習問題

問題(先験的確率)
有限な標本空間\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\}
\end{equation*}のベキ集合\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)上に定義された集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)が、それぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して先験的確率\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。この\(P\)が以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left(
\left\{ \omega _{i}\right\} \right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ \sum_{i=1}^{n}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\}
\right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right)
=\sum_{\omega _{i}\in A}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\} \right)
\end{eqnarray*}を満たすことを証明してください。

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問題(指示関数)
有限な標本空間\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\}
\end{equation*}のベキ集合\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)上に定義された集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して定める値が、特定の標本点\(\omega \in\Omega \)を用いて、\begin{equation*}P\left( A\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega \in A\right) \\
0 & \left( if\ \omega \not\in A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。この\(P\)が以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left(
\left\{ \omega _{i}\right\} \right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ \sum_{i=1}^{n}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\}
\right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right)
=\sum_{\omega _{i}\in A}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\} \right)
\end{eqnarray*}を満たすことを証明してください。

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問題(有限ベルヌーイ試行)
ある試行の標本空間は\(\left\{ 0,1\right\} \)であり、そのベキ集合\(2^{\left\{ 0,1\right\} }\)上に定義された集合関数\(P:2^{\left\{ 0,1\right\} }\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{eqnarray*}P\left( \{0\}\right) &=&p \\
P\left( \{1\}\right) &=&1-p
\end{eqnarray*}と定義されています。ただし、\(p\)は\(0\leq p\leq 1\)を満たす実数定数です。さらに、この試行を有限\(N\)回繰り返すという新たな試行について考えます。ただし、各回の結果は他の回の結果に影響を与えないものと仮定します。このような試行を有限ベルヌーイ試行(finite Bernoulli process)と呼びます。有限ベルヌーイ試行のそれぞれの標本点は、\begin{equation*}\omega =\left( \omega _{1},\cdots ,\omega _{N}\right) \in \left\{
0,1\right\} ^{N}
\end{equation*}という、それぞれの成分が\(0\)または\(1\)を値としてとり得る\(N\)組として表現されます。ただし、それぞれの番号\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)について、\(\omega _{n}\in \left\{ 0,1\right\} \)は\(n\)回目の試行の結果を表します。有限ベルヌーイ試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ 0,1\right\} ^{N}
\end{equation*}であり、その中には有限\(2^{N}\)個の標本点が含まれます。有限ベルヌーイ試行の確率関数を定義した上で、それが確率論の公理を満たすことを示してください。
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次回は有限確率空間よりも一般的な確率空間である可算確率空間について解説します。

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DISCUSSION

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