全確率の定理

全確率の定理

問題としている試行に関する確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、標本空間\(\Omega \)が有限個の排反事象に分割可能である状況を想定します。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow B_{i}\cap B_{j}=\phi \right) \\
&&\left( b\right) \ \bigcup\limits_{i=1}^{n}B_{i}=\Omega
\end{eqnarray*}をともに満たす有限\(n\)個の事象\begin{equation*}B_{1},\cdots ,B_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が存在する状況を想定するということです。すると、事象\(A\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}A &=&A\cap \Omega \quad \because A\subset \Omega \\
&=&A\cap \bigcup\limits_{i=1}^{n}B_{i}\quad \left( b\right) \\
&=&\bigcup\limits_{i=1}^{n}\left( A\cap B_{i}\right) \quad \because \text{分配律}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
P\left( A\right) =P\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n}\left( A\cap B_{i}\right)
\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。\(\left( a\right) \)より事象\(B_{1},\cdots ,B_{n}\)は排反であるため、事象\(A\cap B_{1},\cdots ,A\cap B_{n}\)もまた排反です。すると、確率測度\(P\)の有限加法性より、さらに、\begin{equation*}P\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n}\left( A\cap B_{i}\right) \right)
=\sum_{i=1}^{n}P\left( A\cap B_{i}\right)
\end{equation*}を得ます。これと\(\left(1\right) \)より、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &=&\sum_{i=1}^{n}P\left( A\cap B_{i}\right) \\
&=&P\left( A\cap B_{1}\right) +\cdots +P\left( A\cap B_{n}\right)
\end{eqnarray*}を得ます。これを全確率の定理（law of total probability）と呼びます。

事象\(A\)の確率を直接計算することが困難である場合でも、前提となる状況を排反な\(B_{1},\cdots ,B_{n}\)へと場合分けした上で、それぞれの場合における確率\(P\left(A\cap B_{1}\right) ,\cdots ,P\left( A\cap B_{n}\right) \)を求めた上で総和をとれば、事象\(A\)の確率が得られるということです。

条件付き確率を用いた全確率の定理

標本空間\(\Omega \)が有限\(n\)個の排反事象\(B_{1},\cdots ,B_{n}\)に分割可能である場合には、全確率の定理より、事象\(A\)の確率を、\begin{equation}P\left( A\right) =\sum_{i=1}^{n}P\left( A\cap B_{i}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と評価できることが明らかになりました。特に、事象\(B_{1},\cdots ,B_{n}\)が起こる確率がいずれも正である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( B_{i}\right) >0
\end{equation*}が成り立つ場合には、条件付き確率に関して、\begin{equation*}
P\left( A|B_{i}\right) =\frac{P\left( A\cap B_{i}\right) }{P\left(
B_{i}\right) }\quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}が成り立つため、これを用いて\(\left( 1\right) \)を書き換えることにより、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &=&\sum_{i=1}^{n}\left[ P\left( A|B_{i}\right) \cdot
P\left( B_{i}\right) \right] \\
&=&P\left( A|B_{1}\right) \cdot P\left( B_{1}\right) +\cdots +P\left(
A|B_{n}\right) \cdot P\left( B_{n}\right)
\end{eqnarray*}を得ます。これもまた全確率の定理と呼ばれます。

事象\(A\)の確率を直接計算することが困難である場合でも、前提となる状況を排反な\(B_{1},\cdots ,B_{n}\)へと場合分けした上で、それぞれの場合における条件付き確率\(P\left( A|B_{i}\right) \cdot P\left( B_{i}\right) \)を求めた上で総和をとれば事象\(A\)の確率が得られるということです。

演習問題