事象 A と事象 B の共通部分として定義される事象を A と B の積事象と呼びます。これは「A と B の双方が起こる」という現象に相当する事象です。また、A と B の積事象が空事象であるとき、A と B はお互いに排反事象であると言います。

積事象

試行の標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2 つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。このとき、それらの共通部分\(A\cap B\)として表される事象を\(A\)と\(B\)の積事象(intersection of events)と呼びます。

積事象\(A\cap B\)に属する任意の標本点は\(A,B\)の双方と整合的であるため、積事象\(A\cap B\)は「事象\(A\)と事象\(B\)の双方が起こる」という現象に相当する事象です。

共通部分について復習する
例(積事象)
1 つのサイコロを 1 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、\(A=\{1,3,5\}\)という事象は「奇数の目が出る」という現象に相当し、\(B=\{1,2,3\}\)という事象は「\(3\)以下の目が出る」という現象に相当します。これらの積事象は\(A\cap B=\{1,3\}\)であり、これは「\(3\)以下の奇数の目が出る」という現象に相当します。
例(積事象)
1 つのサイコロを 2 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{eqnarray*}
\Omega &=&\{\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 1,5\right) ,\left( 1,6\right) , \\
&&\left( 2,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 2,4\right)
,\left( 2,5\right) ,\left( 2,6\right) , \\
&&\left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left( 3,4\right)
,\left( 3,5\right) ,\left( 3,6\right) , \\
&&\left( 4,1\right) ,\left( 4,2\right) ,\left( 4,3\right) ,\left( 4,4\right)
,\left( 4,5\right) ,\left( 4,6\right) , \\
&&\left( 5,1\right) ,\left( 5,2\right) ,\left( 5,3\right) ,\left( 5,4\right)
,\left( 5,5\right) ,\left( 5,6\right) , \\
&&\left( 6,1\right) ,\left( 6,2\right) ,\left( 6,3\right) ,\left( 6,4\right)
,\left( 6,5\right) ,\left( 6,6\right) \}
\end{eqnarray*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1 回目に\(i\)が出て 2 回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、\begin{eqnarray*}
A &=&\{\left( 1,1\right) ,\left( 1,3\right) ,\left( 1,5\right) ,\left(
2,2\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 2,6\right) , \\
&&\left( 3,1\right) ,\left( 3,3\right) ,\left( 3,5\right) ,\left( 4,2\right)
,\left( 4,4\right) ,\left( 4,6\right) , \\
&&\left( 5,1\right) ,\left( 5,3\right) ,\left( 5,5\right) ,\left( 6,2\right)
,\left( 6,4\right) ,\left( 6,6\right) \}
\end{eqnarray*}という事象は「2 回の目の合計が偶数である」という現象に相当し、\begin{equation*}
B=\{\left( 4,6\right) ,\left( 5,5\right) ,\left( 5,6\right) ,\left(
6,4\right) ,\left( 6,5\right) ,\left( 6,6\right) \}
\end{equation*}という事象は「2 回の目の合計が\(10\)以上である」という現象に相当します。これらの和事象は、\begin{equation*}
A\cap B=\{\left( 4,6\right) ,\left( 5,5\right) ,\left( 6,4\right) ,\left(
6,6\right) \}
\end{equation*}であり、これは「2 回の目の合計が\(10\)以上の偶数である」という現象に相当します。

3 個以上の事象についてもそれらの積事象を考えることができます。具体的には、標本空間\(\Omega \)の部分集合である可算個の事象からなる事象列\(\{A_{n}\}_{n\in \mathbb{N} }\)が与えられたとき、それらの積事象は、\begin{equation*}
\bigcap_{n\in \mathbb{N} }A_{i}=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \forall n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n}\right\}
\end{equation*}と定義されます。つまり、可算事象列\(\{A_{n}\}_{n\in \mathbb{N} }\)に含まれるすべての事象に属する標本点からなる集合が\(\{A_{n}\}_{n\in \mathbb{N} }\)の積事象であり、これは「\(\{A_{n}\}_{n\in \mathbb{N} }\)に含まれるすべての事象が起こる」という現象に相当します。

 

排反事象

試行の標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2 つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。このとき、これらの積事象が空事象であるならば、すなわち、\begin{equation*}
A\cap B=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)と\(B\)は排反事象(disjoint events)であると言います。

積事象\(A\cap B\)は「事象\(A\)と事象\(B\)の双方が起こる」という現象に相当するため、これが空事象であることとは「事象\(A\)と事象\(B\)が同時に起こらない」ことを意味します。つまり、2 つの事象\(A,B\)が排反であるとき、双方と整合的な標本点は標本空間\(\Omega \)の中に存在しません。

例(排反事象)
1 つのサイコロを 1 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、\(A=\{1,2\}\)という事象は「\(2\)以下の目が出る」という現象に相当し、\(B=\{5,6\}\)という事象は「\(5\)以上の目が出る」という現象に相当します。これらの積事象は\(A\cap B=\phi \)であるため、\(A\)と\(B\)は排反事象です。実際、出たサイコロの目が\(2\)以下かつ\(5\)以上であることは起こり得ません。また、\(C=\{1,3,5\}\)という事象は「奇数の目が出る」という現象に相当し、その余事象\(C^{c}=\{2,4,6\}\)は「偶数の目が出る」という現象に相当します。これらの積事象は\(C\cap C^{c}=\phi \)であるため、\(C\)と\(C^{c}\)もまた排反です。実際、出たサイコロの目が奇数かつ偶数であることは起こり得ません。一般に、事象とその余事象は排反です。

3 個以上の事象についてもそれらが排反であるか否かを考えることができます。具体的には、3 個以上の事象が排反であるとは、その中の任意の 2 つの事象が排反であることを意味します。標本空間\(\Omega \)の部分集合である可算個の事象からなる事象列\(\{A_{n}\}_{n\in \mathbb{N} }\)が与えられたとき、これらの事象が排反であることとは、\(i\not=j\)を満たす番号\(i,j\in \mathbb{N}\)を任意に選んだときに\(A_{i}\cap A_{j}=\phi \)が成り立つことを意味します。\(\{A_{n}\}_{n\in \mathbb{N} }\)に含まれるいかなる 2 つの事象は同時に起こらないということです。

次回は和事象と呼ばれる事象演算について学びます。
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