積事象
標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。これらの共通部分\begin{equation*}A\cap B
\end{equation*}もまた\(\Omega \)の部分集合であるため、これもまた事象です。この事象\(A\cap B\)を\(A\)と\(B\)の積事象（intersection of events）と呼びます。
事象\(A,B\)および積事象\(A\cap B\)が与えられたとき、共通部分の定義より、\begin{equation}\forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\cap B\Leftrightarrow \omega
\in A\wedge \omega \in B\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちますが、これは何を意味するのでしょうか。問題としている試行のもとで事象\(A\cap B\)が起きた場合、それは\(A\cap B\)に属する何らかの標本点\(\omega \)が実現したこと、すなわち\(\omega \in A\cap B\)が成り立つことを意味します。\(\left( 1\right) \)よりこれは\(\omega \in A\)と\(\omega \in B\)がともに成り立つこと、すなわち2つの事象\(A,B\)が同時に起こることと必要十分です。つまり、事象\(A\cap B\)が起こることと2つの事象\(A,B\)が同時に起こることは必要十分であるため、積事象\(A\cap B\)は「事象\(A,B\)が同時に起こる」という事象に相当します。
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「奇数の目が出る」という事象は、\begin{equation*}
A=\left\{ 1,3,5\right\}
\end{equation*}であり、「\(3\)以下の目が出る」という事象は、\begin{equation*}B=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるため、これらの積事象は、\begin{equation*}
A\cap B=\left\{ 1,3\right\}
\end{equation*}であり、これは「奇数かつ\(3\)以下の目が出る」という事象です。
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「2回の目の合計は偶数である」という事象を\(A\)で、「2回の目の合計は\(10\)以下である」という事象を\(B\)で表すとき、これらの積事象\(A\cap B\)はどのような事象でしょうか。任意の標本点\(\left( i,j\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( i,j\right) \in A\cap B &\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \in
A\wedge \left( i,j\right) \in B\quad \because \text{積事象の定義} \\
&\Leftrightarrow &i+j\text{は偶数}\wedge i+j\text{は}10\text{以下}\quad \because A,B\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &i+j\text{は}10\text{以下の偶数}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A\cap B\)は「2回の目の合計は\(10\)以下の偶数である」という事象です。
事象族の積事象
標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、有限\(n\)個の事象を要素として持つ集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{i}\subset \Omega
\end{equation*}が成り立つということです。この集合族の共通部分は、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_{i}=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \forall i\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\omega \in A_{i}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これを事象族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i=1}^{n}\)の積事象と呼びます。任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\omega \in \bigcap\limits_{i=1}^{n}A_{i}\Leftrightarrow \forall i\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\omega \in A_{i}
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の積事象は「有限\(n\)個の事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて同時に起こる」という事象に相当します。
\end{equation*}です。それぞれの番号\(i\in \left\{ 1,2,\cdots ,100\right\} \)について、「選択した番号が\(i\)以下である」という事象は、\begin{equation*}A_{i}=\left\{ 1,2,\cdots ,i\right\}
\end{equation*}と定式化されます。有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{100}\)の積事象は、\begin{eqnarray*}\bigcap\limits_{i=1}^{100}A_{i} &=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \forall
i\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :\omega \in A_{i}\right\} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}となりますが、これは「選択した番号が\(1\)である」という事象に相当します。
標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、可算個の事象を要素として持つ集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\subset \Omega
\end{equation*}が成り立つということです。この集合族の共通部分は、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{n\in \mathbb{N} }A_{n}=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \forall n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これを事象族\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の積事象と呼びます。任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\omega \in \bigcap\limits_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\Leftrightarrow \forall n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の積事象は「可算個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots \)がすべて同時に起こる」という事象に相当します。
\Omega =\mathbb{N} \end{equation*}です。それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、「選択した番号が\(n\)以下である」という事象は、\begin{equation*}A_{n}=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}と定式化されます。可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の積事象は、\begin{eqnarray*}\bigcap\limits_{n\in \mathbb{N} }A_{n} &=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \forall n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n}\right\} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}となりますが、これは「選択した番号が\(1\)である」という事象に相当します。
排反事象
2つの事象\(A,B\subset \Omega \)の積事象が空事象である場合には、すなわち、\begin{equation*}A\cap B=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)と\(B\)は排反事象（disjoint events）であると言います。
積事象\(A\cap B\)は「事象\(A\)と事象\(B\)が同時に起こる」という事象であるため、\(A\)と\(B\)が排反事象である場合、\(A\)と\(B\)が同時に起こることはありません。
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「\(2\)以下の目が出る」という事象は、\begin{equation*}A=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であり、「\(5\)以上の目が出る」という事象は、\begin{equation*}B=\left\{ 5,6\right\}
\end{equation*}ですが、\begin{equation*}
A\cap B=\phi
\end{equation*}であるため\(A\)と\(B\)は排反事象です。実際、1つのサイコロを1回投げたときに、その目が\(2\)以下かつ\(5\)以上であるような事態は起こり得ません。
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、事象と余事象は常に排反です。例えば、「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}ですが、「奇数の目が出る」という事象は、\begin{equation*}
A=\left\{ 1,3,5\right\}
\end{equation*}であり、その余事象は、\begin{equation*}
A^{c}=\left\{ 2,4,6\right\}
\end{equation*}であり、これは「偶数の目が出る」という事象です。\(A\)と\(A^{c}\)は排反です。実際、1つのサイコロを1回投げたときに、その目が奇数かつ偶数であるような事態は起こり得ません。
事象族についても、その要素である事象どうしが排反であるかを検討できます。具体的には、有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が排反であることとは、その要素である任意の2つの事象が排反であること、すなわち、\(i\not=j\)を満たす\(i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}A_{i}\cap A_{j}=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。また、可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が排反であることとは、\(n\not=m\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}A_{n}\cap A_{m}=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}です。それぞれの学年\(i\ \left( =1,2,3,4,5,6\right) \)に対して、事象\(A_{i}\)を「選んだ学生は\(i\)年生である」と定義した上で事象の族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{6}\)をとると、これは排反です。なぜなら、同じ学生が同時に複数の学年に所属することはできないからです。
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