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積事象

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積事象

標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。これらの共通部分\begin{equation*}A\cap B
\end{equation*}もまた\(\Omega \)の部分集合であるため、これもまた事象です。この事象\(A\cap B\)を\(A\)と\(B\)の積事象(intersection of events)と呼びます。

共通部分の定義より、任意の\(\omega \in \Omega \)について、\begin{equation}\omega \in A\cap B\Leftrightarrow \omega \in A\wedge \omega \in B \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちますが、これは何を意味するのでしょうか。問題としている試行のもとで事象\(A\cap B\)が起きた場合、それは\(A\cap B\)に属する何らかの標本点\(\omega \)が実現したこと、すなわち\(\omega \in A\cap B\)が成り立つことを意味します。\(\left( 1\right) \)よりこれは\(\omega \in A\)と\(\omega \in B\)がともに成り立つこと、すなわち2つの事象\(A,B\)が同時に起こることと必要十分です。つまり、事象\(A\cap B\)が起こることと2つの事象\(A,B\)が同時に起こることは必要十分であるため、積事象\(A\cap B\)は「事象\(A,B\)が同時に起こる」という事象に相当します。

例(積事象)
「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「奇数の目が出る」という事象は、\begin{equation*}
A=\left\{ 1,3,6\right\}
\end{equation*}であり、「\(3\)以下の目が出る」という事象は、\begin{equation*}B=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}ですが、これらの積事象は、\begin{equation*}
A\cap B=\left\{ 1,3\right\}
\end{equation*}であり、これは「奇数かつ\(3\)以下の目が出る」という事象です。
例(積事象)
「1つのサイコロを2回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「2回の目の合計は偶数である」という事象を\(A\)で、「2回の目の合計は\(10\)以下である」という事象を\(B\)で表すとき、これらの積事象\(A\cap B\)はどのような事象でしょうか。任意の標本点\(\left( i,j\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( i,j\right) \in A\cap B &\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \in
A\wedge \left( i,j\right) \in B\quad \because \text{積事象の定義} \\
&\Leftrightarrow &i+j\text{は偶数}\wedge i+j\text{は}10\text{以下}\quad \because A,B\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &i+j\text{は}10\text{以下の偶数}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A\cap B\)は「2回の目の合計は\(10\)以下の偶数である」という事象です。

 

事象族の積事象

標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、有限\(n\)個の事象を要素として持つ集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{i}\subset \Omega
\end{equation*}が成り立つということです。この集合族の共通部分は、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_{i}=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \forall i\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\omega \in A_{i}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これを事象族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i=1}^{n}\)の積事象と呼びます。任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\omega \in \bigcap\limits_{i=1}^{n}A_{i}\Leftrightarrow \forall i\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\omega \in A_{i}
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の積事象は「\(n\)個の事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて同時に起こる」という事象です。

例(有限個の事象の積事象)
「\(1\)から\(100\)までの自然数の中から1つをランダムに選択する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ 1,2,\cdots ,100\right\}
\end{equation*}です。それぞれの番号\(i\in \left\{ 1,2,\cdots ,100\right\} \)について、「選択した番号が\(i\)以下である」という事象は、\begin{equation*}A_{i}=\left\{ 1,2,\cdots ,i\right\}
\end{equation*}と定式化されます。有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{100}\)の積事象は、\begin{eqnarray*}\bigcap\limits_{i=1}^{100}A_{i} &=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \forall
i\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :\omega \in A_{i}\right\} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}となります。

標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、可算個の事象を要素として持つ集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{Z} }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\subset \Omega
\end{equation*}が成り立つということです。この集合族の共通部分は、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{n\in \mathbb{N} }A_{n}=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \forall n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これを事象族\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in \mathbb{Z} }\)の積事象と呼びます。任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\omega \in \bigcap\limits_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\Leftrightarrow \forall n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{Z} }\)の積事象は「可算個の事象\(A_{1},\cdots ,A_{n},\cdots \)がすべて同時に起こる」という事象です。

例(可算個の事象の積事象)
「自然数を1つランダムに選択する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\mathbb{N} \end{equation*}です。それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、「選択した番号が\(n\)以下である」という事象は、\begin{equation*}A_{n}=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}と定式化されます。可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の積事象は、\begin{eqnarray*}\bigcap\limits_{n\in \mathbb{N} }A_{n} &=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \forall n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n}\right\} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}となります。

 

排反事象

2つの事象\(A,B\subset \Omega \)の積事象が空事象である場合には、すなわち、\begin{equation*}A\cap B=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)と\(B\)は排反事象(disjoint events)であると言います。

積事象\(A\cap B\)は「事象\(A\)と事象\(B\)が同時に起こる」という事象であるため、\(A\)と\(B\)が排反事象である場合には、\(A\)と\(B\)が同時に起こることはありません。

例(排反事象)
「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「\(2\)以下の目が出る」という事象は、\begin{equation*}A=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であり、「\(5\)以上の目が出る」という事象は、\begin{equation*}B=\left\{ 5,6\right\}
\end{equation*}ですが、\begin{equation*}
A\cap B=\phi
\end{equation*}であるため\(A\)と\(B\)は排反事象です。実際、1つのサイコロを1回投げたときに、その目が\(2\)以下かつ\(5\)以下であるような事態は起こり得ません。
例(排反事象)
事象\(A\subset \Omega \)が任意に与えられたとき、これと余事象\(A^{c}=\Omega \backslash A\)の間には、\begin{equation*}A\cap A^{c}=\phi
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、事象と余事象は常に排反です。例えば、「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}ですが、「奇数の目が出る」という事象は、\begin{equation*}
A=\left\{ 1,3,5\right\}
\end{equation*}であり、その余事象は、\begin{equation*}
A^{c}=\left\{ 2,4,6\right\}
\end{equation*}であり、これは「偶数の目が出る」という事象です。\(A\)と\(A^{c}\)は排反です。実際、1つのサイコロを1回投げたときに、その目が奇数かつ偶数であるような事態は起こり得ません。

事象族についても、その要素である事象どうしが排反であるかを考えることができます。具体的には、有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i=1}^{n}\)が排反であることとは、その要素である任意の2つの事象が排反であること、すなわち、\(i\not=j\)を満たす\(i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}A_{i}\cap A_{j}=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。また、可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が排反であることとは、\(n\not=m\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}A_{n}\cap A_{m}=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

例(排反事象)
「ある小学校の生徒を一人ランダムに選んだ上でその生徒の学年を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}です。それぞれの学年\(i\ \left( =1,2,3,4,5,6\right) \)に対して、事象\(A_{i}\)を「選んだ学生は\(i\)年生である」と定義した上で事象の族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{6}\)をとると、これは排反です。なぜなら、同じ学生が同時に複数の学年に所属することはできないからです。

 

演習問題

問題(積事象)
「ある工場が1日に生産する製品の中から\(1000\)個を抽出した上で不良品の個数を計測する」という試行において、「不良品の割合が\(0.5\%\)以上である」という事象と「不良品の割合が\(1\%\)以下である」という事象をそれぞれ定式化した上で、それらの積事象を求めてください。
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問題(積事象)
「表が出るまでコインを投げ続ける」という試行において、「4回目以降に表が出る」という事象と「表が出ない」という事象をそれぞれ定式化した上で、それらの積事象を求めてください。

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問題(積事象)
「コインを2回投げ、出た面を記録する」という試行において、「少なくとも1回表が出る」という事象と「2回目に表が出る」という事象をそれぞれ定式化した上で、それらの積事象を求めてください。

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次回は和事象と呼ばれる事象演算について学びます。

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関連知識

共通部分

述語論理における論理積

論理式 A,B に論理演算子 ∧ を作用させることで得られる A∧B もまた論理式です。∧ は論理積と呼ばれる論理演算子であり、論理式 A∧B を A と B の論理積と呼びます。

共通部分

共通部分

集合 A,B の双方に属する要素からなる集合を A と B の共通部分と呼びます。集合 A が命題関数 P(x) から、集合 B が命題関数 Q(x) からそれぞれ内包的に定義されるとき、A と B の共通部分は 2 つの命題 P(x), Q(x) がともに真になるような要素 x からなる集合です。

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ボンフェローニの不等式

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DISCUSSION

質問とコメント

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