事象 A と事象 B の和集合として定義される事象を A と B の和事象と呼びます。これは「A と B の少なくとも一方が起こる」という現象に相当する事象です。

和事象

試行の標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2 つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。このとき、それらの和集合\(A\cup B\)として表される事象を\(A\)と\(B\)の和事象(union of events)と呼びます。

和事象\(A\cup B\)に属する任意の標本点は\(A,B\)の少なくとも一方と整合的であるため、和事象\(A\cup B\)は「事象\(A\)か事象\(B\)の少なくとも一方が起こる」という現象に相当する事象です。

和集合について復習する
例(和事象)
1 つのサイコロを 1 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、\(A=\{1,2\}\)という事象は「\(2\)以下の目が出る」という現象に相当し、\(B=\{5,6\}\)という事象は「\(5\)以上の目が出る」という現象に相当します。これらの和事象は\(A\cup B=\{1,2,5,6\}\)であり、これは「\(2\)以下または\(5\)以上の目が出る」という現象に相当します。
例(和事象)
1 つのサイコロを 2 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{eqnarray*}
\Omega &=&\{\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 1,5\right) ,\left( 1,6\right) , \\
&&\left( 2,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 2,4\right)
,\left( 2,5\right) ,\left( 2,6\right) , \\
&&\left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left( 3,4\right)
,\left( 3,5\right) ,\left( 3,6\right) , \\
&&\left( 4,1\right) ,\left( 4,2\right) ,\left( 4,3\right) ,\left( 4,4\right)
,\left( 4,5\right) ,\left( 4,6\right) , \\
&&\left( 5,1\right) ,\left( 5,2\right) ,\left( 5,3\right) ,\left( 5,4\right)
,\left( 5,5\right) ,\left( 5,6\right) , \\
&&\left( 6,1\right) ,\left( 6,2\right) ,\left( 6,3\right) ,\left( 6,4\right)
,\left( 6,5\right) ,\left( 6,6\right) \}
\end{eqnarray*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1 回目に\(i\)が出て 2 回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、\begin{equation*}
A=\{\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 1,5\right) ,\left( 1,6\right) \}
\end{equation*}という事象は「1 回目に\(1\)が出る」という現象に相当し、\begin{equation*}
B=\{\left( 1,1\right) ,\left( 2,1\right) ,\left( 3,1\right) ,\left(
4,1\right) ,\left( 5,1\right) ,\left( 6,1\right) \}
\end{equation*}という事象は「2 回目に\(1\)が出る」という現象に相当します。これらの和事象は、\begin{eqnarray*}
A\cup B &=&\{\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 1,5\right) ,\left( 1,6\right) , \\
&&\left( 2,1\right) ,\left( 3,1\right) ,\left( 4,1\right) ,\left( 5,1\right)
,\left( 6,1\right) \}
\end{eqnarray*}であり、これは「少なくとも 1 回は\(1\)が出る」という現象に相当します。

3 個以上の事象についてもそれらの和事象を考えることができます。具体的には、標本空間\(\Omega \)の部分集合である可算個の事象からなる事象列\(\{A_{n}\}_{n\in \mathbb{N} }\)が与えられたとき、それらの和事象は、\begin{equation*}
\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \exists n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n}\right\}
\end{equation*}と定義されます。つまり、可算事象列\(\{A_{n}\}_{n\in \mathbb{N} }\)に含まれる少なくとも 1 つの事象に属する標本点からなる集合が\(\{A_{n}\}_{n\in \mathbb{N} }\)の和事象であり、これは「\(\{A_{n}\}_{n\in \mathbb{N} }\)に含まれる少なくとも 1 つの事象が起こる」という現象に相当します。

次回は差事象と呼ばれる事象演算について学びます。
次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題(プレミアム会員限定)

ワイズをさらに活用するための会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。さらに、有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。
会員サービス

ディスカッションに参加しますか?

質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。
ログイン

コメントを残す

アカウント
ログイン