和事象
複数の事象について考えるとき、それらの事象のうち少なくとも1つが起こる場合を1つの事象として表現することが重要です。事象は標本空間の部分集合として表されるため、このような場合は事象を表す集合の和集合によって定式化できます。以下では、このような事象を和事象として定義し、複数の事象へ一般化します。
標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。これらの和集合\begin{equation*} A\cup B
\end{equation*}もまた\(\Omega \)の部分集合であるため、これもまた事象です。この事象\(A\cup B\)を\(A\)と\(B\)の和事象（union of events）と呼びます。
事象\(A,B\)および和事象\(A\cup B \)が与えられたとき、和集合の定義より、\begin{equation} \forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\cup B\Leftrightarrow \omega
\in A\vee \omega \in B\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちますが、これは何を意味するのでしょうか。問題としている試行のもとで事象\(A\cup B\)が起きた場合、それは\(A\cup B\)に属する何らかの標本点\(\omega \)が実現したこと、すなわち\(\omega \in A\cup B\)が成り立つことを意味します。\(\left( 1\right) \)よりこれは\(\omega \in A\)と\(\omega \in B\)の少なくとも一方が成り立つこと、すなわち2つの事象\(A,B\)の少なくとも一方が起こることと必要十分です。つまり、事象\(A\cup B\)が起こることと2つの事象\(A,B\)の少なくとも一方が起こることは必要十分であるため、和事象\(A\cup B\)は「事象\(A,B\)の少なくとも一方が起こる」という事象に相当します。
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「\(2\)以下の目が出る」という事象は、\begin{equation*} A=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であり、「\(5\)以上の目が出る」という事象は、\begin{equation*} B=\left\{ 5,6\right\}
\end{equation*}であるため、これらの和事象は、\begin{equation*}
A\cup B=\left\{ 1,2,5,6\right\}
\end{equation*}であり、これは「\(2\)以下または\(5\)以上の目が出る」という事象です。
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「1回目に\(1\)が出る」という事象を\(A\)で、「2回目に\(1\)が出る」という事象を\(B\)で表すとき、これらの和事象\(A\cup B\)はどのような事象でしょうか。任意の標本点\(\left( i,j\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*} \left( i,j\right) \in A\cup B &\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \in A\vee
\left( i,j\right) \in B\quad \because \text{和事象の定義} \\
&\Leftrightarrow &i=1\vee j=1\text{\quad }\because A,B\text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A\cup B\)は「少なくとも1回は\(1\)が出る」という事象です。
事象族の和事象
標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、有限\(n\)個の事象を要素として持つ集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*} \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{i}\subset \Omega
\end{equation*}が成り立つということです。この集合族の和集合は、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \exists i\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\omega \in A_{i}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これを事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の和事象と呼びます。任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*} \omega \in \bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}\Leftrightarrow \exists i\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\omega \in A_{i}
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の和事象は「有限\(n\)個の事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の中の少なくとも1つが起こる」という事象に相当します。
\end{equation*}です。それぞれの番号\(i\in \left\{ 1,2,\cdots ,100\right\} \)について、「選択した番号が\(i\)以下である」という事象は、\begin{equation*} A_{i}=\left\{ 1,2,\cdots ,i\right\}
\end{equation*}と定式化されます。有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{100}\)の和事象は、\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i=1}^{100}A_{i} &=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \exists
i\in \left\{ 1,2,\cdots ,100\right\} :\omega \in A_{i}\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,\cdots ,100\right\} \\
&=&A_{100} \\
&=&\Omega
\end{eqnarray*}となるため、これは全事象と一致します。
標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、可算個の事象を要素として持つ集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*} \forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\subset \Omega
\end{equation*}が成り立つということです。この集合族の和集合は、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{n\in \mathbb{N} }A_{n}=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \exists n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これを事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の和事象と呼びます。任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*} \omega \in \bigcup\limits_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\Leftrightarrow \exists n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の和事象は「可算個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots \)の中の少なくとも1つが起こる」という事象に相当します。
\Omega =\mathbb{N} \end{equation*}です。それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、「選択した番号が\(n\)以下である」という事象は、\begin{equation*} A_{n}=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}と定式化されます。可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の和事象は、\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{n\in \mathbb{N} }A_{n} &=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \exists n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n}\right\} \\
&=&\mathbb{N} \\
&=&\Omega
\end{eqnarray*}となるため、これは全事象と一致します。
演習問題
- \(A\)は\(B\)の部分事象である。
- \(A\cup B=B\)が成り立つ。
- \(A\cup \phi=A\)
- \(A\cup \Omega=\Omega\)
\begin{equation*}
\Omega =\mathbb{N} \end{equation*}です。それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)について、事象\(A_{n}\)を、 \begin{equation*}
A_{n}=\left\{ n\right\}
\end{equation*}と定義します。このとき、可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の和事象を求めてください。
