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和事象

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和事象

標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2 つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。これらの和集合\begin{equation*}A\cup B
\end{equation*}もまた\(\Omega \)の部分集合であるため、これもまた事象です。この事象\(A\cup B\)を\(A\)と\(B\)の和事象(union of events)と呼びます。

事象\(A,B\)および和事象\(A\cup B\)が与えられたとき、和集合の定義より、\begin{equation}\forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\cup B\Leftrightarrow \omega
\in A\vee \omega \in B\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちますが、これは何を意味するのでしょうか。問題としている試行のもとで事象\(A\cup B\)が起きた場合、それは\(A\cup B\)に属する何らかの標本点\(\omega \)が実現したこと、すなわち\(\omega \in A\cup B\)が成り立つことを意味します。\(\left( 1\right) \)よりこれは\(\omega \in A\)と\(\omega \in B\)の少なくとも一方が成り立つこと、すなわち2つの事象\(A,B\)の少なくとも一方が起こることと必要十分です。つまり、事象\(A\cup B\)が起こることと2つの事象\(A,B\)の少なくとも一方が起こることは必要十分であるため、和事象\(A\cup B\)は「事象\(A,B\)の少なくとも一方が起こる」という事象に相当します。

例(和事象)
1 つのサイコロを 1 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「\(2\)以下の目が出る」という事象は、\begin{equation*}A=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であり、「\(5\)以上の目が出る」という事象は、\begin{equation*}B=\left\{ 5,6\right\}
\end{equation*}であるため、これらの和事象は、\begin{equation*}
A\cup B=\left\{ 1,2,5,6\right\}
\end{equation*}であり、これは「\(2\)以下または\(5\)以上の目が出る」という事象です。
例(和事象)
「1つのサイコロを2回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「1回目に\(1\)が出る」という事象を\(A\)で、「2回目に\(1\)が出る」という事象を\(B\)で表すとき、これらの和事象\(A\cup B\)はどのような事象でしょうか。任意の標本点\(\left( i,j\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( i,j\right) \in A\cup B &\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \in A\vee
\left( i,j\right) \in B\quad \because \text{和事象の定義} \\
&\Leftrightarrow &i=1\vee j=1 \quad \because A,B\text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A\cup B\)は「少なくとも1回は\(1\)が出る」という事象です。

 

事象族の和事象

標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、有限\(n\)個の事象を要素として持つ集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{i}\subset \Omega
\end{equation*}が成り立つということです。この集合族の和集合は、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \exists i\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\omega \in A_{i}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これを事象族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i=1}^{n}\)の和事象と呼びます。任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\omega \in \bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}\Leftrightarrow \exists i\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\omega \in A_{i}
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の和事象は「有限\(n\)個の事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の中の少なくとも1つが起こる」という事象に相当します。

例(有限個の事象の和事象)
「\(1\)から\(100\)までの自然数の中から1つをランダムに選択する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ 1,2,\cdots ,100\right\}
\end{equation*}です。それぞれの番号\(i\in \left\{ 1,2,\cdots ,100\right\} \)について、「選択した番号が\(i\)以下である」という事象は、\begin{equation*}A_{i}=\left\{ 1,2,\cdots ,i\right\}
\end{equation*}と定式化されます。有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{100}\)の和事象は、\begin{eqnarray*}\bigcup\limits_{i=1}^{100}A_{i} &=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \exists
i\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :\omega \in A_{i}\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,\cdots ,100\right\} \\
&=&A_{100} \\
&=&\Omega
\end{eqnarray*}となるため、これは全事象と一致します。

標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、可算個の事象を要素として持つ集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\subset \Omega
\end{equation*}が成り立つということです。この集合族の和集合は、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{n\in \mathbb{N} }A_{n}=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \exists n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これを事象族\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の和事象と呼びます。任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\omega \in \bigcup\limits_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\Leftrightarrow \exists n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の和事象は「可算個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots \)の中の少なくとも1つが起こる」という事象に相当します。

例(可算個の事象の和事象)
「自然数を1つランダムに選択する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\mathbb{N} \end{equation*}です。それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、「選択した番号が\(n\)以下である」という事象は、\begin{equation*}A_{n}=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}と定式化されます。可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の和事象は、\begin{eqnarray*}\bigcup\limits_{n\in \mathbb{N} }A_{n} &=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \exists n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n}\right\} \\
&=&\mathbb{N} \\
&=&\Omega
\end{eqnarray*}となるため、これは全事象と一致します。

 

演習問題

問題(和事象)
「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」において、「偶数の目が出る」という事象と「奇数の目が出る」という事象、およびそれらの和事象をそれぞれ定式化してください。

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問題(和事象)
「1つのサイコロを2回投げて出た目を観察する」という試行において、「1回目に偶数が出る」という事象と「2回目に奇数が出る」という事象、およびそれらの和事象をそれぞれ定式化してください。

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問題(和事象)
「ある工場が1日に生産する製品の中から\(1000\)個を抽出した上で不良品の個数を計測する」という試行において、「不良品の割合が\(0.5\%\)以上である」という事象と「不良品の割合が\(1\%\)以下である」という事象、およびそれらの和事象をそれぞれ定式化してください。
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問題(和事象)
「表が出るまでコインを投げ続ける」という試行において、「3回目までに表が出る」という事象と「表が出ない」という事象をそれぞれ定式化した上で、それらの和事象を求めてください。

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