確認テスト I（確率）

3つの事象\(A,B,C\subset \Omega \)が与えられているものとします。以下の事象を定式化してください。（各3点）

1. \(A,B\)がともに起こる一方で\(C\)は起こらない。
2. \(A,B,C\)がいずれも起こらない。
3. \(A,B,C\)の中の少なくとも1つが起こる。
4. \(A,B,C\)の中の少なくとも2つが起こる。
5. \(A,B,C\)の中のどれか1つだけが起こる。

ある集団の\(30\%\)の人が車を所有しており、\(60\%\)の人が自転車を所有しており、\(30\%\)の人がバイクを所有しています。また、車の所有者の中の\(50\%\)の人が自転車を所有しており、自転車を所有している人の中の\(25\%\)の人がバイクも所有しています。車とバイクを両方所有している人はいません。以下の問いに答えてください。（各5点）

1. 集団の中から1人をランダムに選んだとき、その人が車と自転車の両方を所有している確率を求めてください。
2. 集団の中から1人をランダムに選んだとき、その人が自転車を所有している一方で車を所有していない確率を求めてください。
3. 集団の中から1人をランダムに選んだとき、その人が車、自転車、バイクをいずれも所有していない確率を求めてください。
4. 集団の中から1人をランダムに選んだとき、その人が自転車を持っている一方で車やバイクを所有していない確率を求めてください。

ジョーカーを除く合計\(52\)枚のトランプから\(5\)枚をランダムに引いたとき、少なくとも1枚がキングである確率を求めてください。ただし、すべてのカードは等しい確率で選ばれるものとします。

男女\(10\)人ずつの合計\(20\)の中から\(6\)人の代表をランダムに選びます。各人は等しい確率で代表に選ばれるものとします。以下の問いに答えてください。

1. 男女が同数選ばれる確率を求めてください。（5点）
2. 選ばれた女性の人数が、選ばれた男性の人数を上回る確率を求めてください。（10点）

有権者の\(20\%\)が\(A\)党を支持しており、\(30\%\)が\(B\)党を支持しており、\(50\%\)が無党派層であるものとします。ある選挙において、\(A\)党の支持者のうちの\(50\%\)が投票に行き、\(B\)党の支持者のうちの\(60\%\)が投票に行き、無党派層のうちの\(35\%\)が投票に行きました。以下の問いに答えてください。（各5点）

1. 有権者を1人ランダムに選んだ場合、その人が投票に行った確率を求めてください。
2. 投票へ行った人を1人ランダムに選んだ場合、その人が\(A\)党の支持者である確率を求めてください。
3. 投票へ行った人を1人ランダムに選んだ場合、その人が\(B\)党の支持者である確率を求めてください。
4. 投票へ行った人を1人ランダムに選んだ場合、その人が無党派層である確率を求めてください。

1枚のコインを4回繰り返しに投げます。各回において、表と裏は等しい確率で出るものとします。加えて、各回のコイン投げは独立であるものとします。表を\(H\)で表記し、裏を\(T\)で表記します。以下の問いに答えてください。

1. 結果が\(H,H,H,H\)である確率を求めてください。（5点）
2. 結果が\(T,H,H,H\)である確率を求めてください。（5点）
3. 「1枚のコインを4回繰り返し投げる」ことを1つの試行とみなした上で、この試行を繰り返し行う状況を想定します。\(H,H,H,H\)が実現する前に\(T,H,H,H\)が実現する確率を求めてください。（10点）