数え上げに関する積の法則

積の法則

標本空間\(\Omega \)に属するすべての標本点が同じ程度の確かさで起こるものと仮定する場合、先験的確率の考えのもとでは、それぞれの事象\(A\subset \Omega \)が起こる確率は、\begin{equation*} \frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega \right\vert }
\end{equation*}と定義されます。つまり、標本空間\(\Omega \)に属する標本点の個数\(\left\vert \Omega \right\vert \)と事象\(A\)に属する標本点の個数\(\left\vert A\right\vert \)をそれぞれ数え上げた上で、それらの比をとることにより事象\(A\)が起こる確率が得られるということです。ただ、標本点を1つずつ具体的に列挙していては数え落としをしたり同じものを二重に数えてしまう恐れがあるため、標本点を系統的に数える技術が必要です。以下では積の法則（multiplication principle）と呼ばれる数え上げの法則について解説します。標本空間や事象はいずれも集合として定義されるため、そこに含まれる標本点の個数を積の法則を用いて系統的に数え上げることにより、事象の先験的確率を正確に求めることができます。
2つの段階からなる選択について考えます。第1段階には\(s_{1}\)通りの選択肢があり、第1段階でどの選択肢を選んだ場合でも、それに続く第2段階には\(s_{2}\)通りの選択肢が存在するものとします。第1段階には\(s_{1}\)通りの選び方があり、そのそれぞれの選択肢に対して第2段階には\(s_{2}\)通りの選び方があるため、2つの段階を通じた選び方の総数は、\begin{equation*} s_{1}\times s_{2}
\end{equation*}です。以上が積の法則です。

ここで重要なのは、第2段階で具体的に選択できる対象が、第1段階で何を選んだかによって異なっていても構わないという点です。第1段階に\(s_{1}\)通りの選択肢があるとします。第1段階のある選択肢を選んだ場合に続く第2段階の選択肢と、別の選択肢を選んだ場合に続く第2段階の選択肢は、同じものである必要はありません。しかし、それぞれの場合について第2段階の選択肢が\(s_{2}\)通り存在するのであれば、2段階を通じた選び方は\(s_{1}\times s_{2}\)通りです。積の法則を適用するために必要なことは、第1段階において\(s_{1}\)通り存在するどの結果に対しても、第2段階における選択肢の個数が常に\(s_{2}\)通りであることです。
一方、それぞれの段階における選択肢の集合が固定されている場合には、積の法則を集合の直積を用いて表現することもできます。第1段階の選択肢からなる集合を\(A_{1}\)で表記し、第2段階の選択肢からなる集合を\(A_{2}\)で表記します。第1段階で\(a_{1}\in A_{1}\)を選び、第2段階で\(a_{2}\in A_{2}\)を選ぶ場合の結果は順序対\begin{equation*} \left( a_{1},a_{2}\right) \in A_{1}\times A_{2}
\end{equation*}として表現されます。したがって、2段階を通じた選び方の数は直積集合\(A_{1}\times A_{2}\)の要素の個数に等しく、\begin{equation*} \left\vert A_{1}\times A_{2}\right\vert =\left\vert A_{1}\right\vert \times
\left\vert A_{2}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。これは、選択肢集合が固定されている場合の積の法則を集合論的に表したものです。

積の法則の一般化

積の法則は、\(3\)段階以上にわたって選択を行う場合にも一般化できます。
\(n\)個の段階からなる選択について考えます。第1段階には\(s_{1}\)通りの選択肢があり、第1段階でどの選択肢を選んだ場合でも、それに続く第2段階には\(s_{2}\)通りの選択肢が存在するものとします。さらに、第1段階と第2段階でどの選択肢を選んだ場合でも、それに続く第3段階には\(s_{3}\)通りの選択肢が存在するものとします。一般に、第1段階から第\(i-1\)段階までにどのような選択が行われた場合でも、第\(i\)段階における選択肢の個数は常に\(s_{i}\)通りであるものとします。この場合、\(n\)個の段階を通じた選び方の総数は、\begin{equation*} s_{1}\times s_{2}\times \cdots \times s_{n}
\end{equation*}です。これが一般化された積の法則です。

この結果は、積の法則を繰り返し適用することで理解できます。第1段階と第2段階までの選び方は\(s_{1}\times s_{2}\)通りです。それぞれについて第3段階には\(s_{3}\)通りの選択肢があるため、第3段階まででは\(s_{1}\times s_{2}\times s_{3}\)通りになります。同様の議論を繰り返せば、第\(n\)段階までの選び方は\(s_{1}\times s_{2}\times \cdots \times s_{n}\)通りとなります。
それぞれの段階における選択肢の集合が固定されている場合には、この一般化された積の法則も直積集合を用いて表現できます。第\(i\)段階の選択肢からなる集合を\(A_{i}\)で表記し、第\(i\)段階で選ばれる選択肢を\(a_{i}\in A_{i}\)で表記する場合、\(n\)個の段階を通じた結果は\(n\)組\begin{equation*} \left( a_{i}\right) _{i=1}^{n}\in \prod\limits_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}として表現されます。したがって、\(n\)段階を通じた選び方の数は直積集合\(\prod_{i=1}^{n}A_{i}\)の要素の個数に等しく、\begin{equation*} \left\vert \prod\limits_{i=1}^{n}A_{i}\right\vert
=\prod\limits_{i=1}^{n}\left\vert A_{i}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。これは、選択肢集合が固定されている場合の一般化された積の法則を集合論的に表したものです。

演習問題