有限個の事象族の独立性（有限個の事象族が生成するσ-代数どうしの独立性）

有限個の事象列の独立性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、有限\(n\)個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\in \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}\forall I\subset \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
I}A_{i}\right) =\prod_{i\in I}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。では、事象空間\(\mathcal{F}\)の部分集合、すなわち事象族が有限個与えられた場合、それらの独立性をどのように定義すればよいでしょうか。

有限\(n\)個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\subset \mathcal{F}\)が与えられた状況を想定します。それぞれの事象族から事象を1つずつ選べば、それらが独立であるか検討できます。つまり、有限\(n\)個の事象\begin{gather*}A_{1}\in \mathcal{A}_{1} \\
A_{2}\in \mathcal{A}_{2} \\
\vdots \\
A_{n}\in \mathcal{A}_{n}
\end{gather*}について、\begin{equation*}
\forall I\subset \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
I}A_{i}\right) =\prod_{i\in I}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、選ばれた\(n\)個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\)は独立です。それぞれの事象族からどの事象を選んだ場合でもそれらが独立であることが保証される場合には、つまり、\begin{equation*}\forall A_{1}\in \mathcal{A}_{1},\ \forall A_{2}\in \mathcal{A}_{2},\cdots
,\ \forall A_{n}\in \mathcal{A}_{n},\ \forall I\subset \left\{ 1,2,\cdots
,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in I}A_{i}\right) =\prod_{i\in I}P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\)は独立である（independent）と言います。

有限\(n\)個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\subset \mathcal{F}\)が独立ではない場合には、すなわち先の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists A_{1}\in \mathcal{A}_{1},\ \exists A_{2}\in \mathcal{A}_{2},\cdots
,\ \exists A_{n}\in \mathcal{A}_{n},\ \exists I\subset \left\{ 1,2,\cdots
,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in I}A_{i}\right) =\prod_{i\in I}P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\)は従属である（dependent）と言います。

全体事象を要素として持つ事象族どうしの独立性

繰り返しになりますが、有限\(n\)個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\subset \mathcal{F}\)が独立であることとは、\begin{equation*}\forall A_{1}\in \mathcal{A}_{1},\ \forall A_{2}\in \mathcal{A}_{2},\cdots
,\ \forall A_{n}\in \mathcal{A}_{n},\ \forall I\subset \left\{ 1,2,\cdots
,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in I}A_{i}\right) =\prod_{i\in I}P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、\(\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)のすべての部分集合\(I\)について上の条件が成り立つことをすべて確認するのは大変です。一方、事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\)がいずれも全体事象\(\Omega \)を要素として持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :\Omega \in \mathcal{A}_{i}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\)が独立であることを確認する際に\(\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)のすべての部分集合\(I\)について条件が成り立つことを確認する必要はなく、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}の場合についてのみ条件が成り立つことを確認すれば、すなわち、以下の命題\begin{equation*}
\forall A_{1}\in \mathcal{A}_{1},\ \forall A_{2}\in \mathcal{A}_{2},\cdots
,\ \forall A_{n}\in \mathcal{A}_{n}:P\left( \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\right)
=\prod_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを確認すれば、\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\)が独立であることを示したことになります。

有限個の事象族が生成するσ-代数どうしの独立性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間の公理を満たすものとして定義されているため、その要素である事象空間\(\mathcal{F}\)は\(\sigma \)-代数としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たします。

事象族\(\mathcal{A}\subset \mathcal{F}\)が与えられた状況を想定します。事象空間\(\mathcal{F}\)は\(\sigma \)-代数であり、\(\mathcal{F}\)は自身の部分集合であるため、先の事象族\(\mathcal{A}\)を部分集合として持つとともに\(\mathcal{F}\)の部分集合であるような\(\sigma \)-代数が存在することは保証されます。そこで、そのような\(\sigma \)-代数をすべて集めてできる集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathfrak{A}_{\lambda }\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall A\in \mathfrak{A}_{\lambda }:A^{c}\in \mathfrak{A}_{\lambda } \\
&&\left( c\right) \ \forall A_{1},A_{2},\cdots \in \mathfrak{A}_{\lambda
}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathfrak{A}_{\lambda } \\
&&\left( d\right) \ \mathcal{A}\subset \mathfrak{A}_{\lambda }\subset
\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\left(a\right) \)から\(\left( c\right) \)は\(\mathfrak{A}_{\lambda }\)が\(\sigma \)-代数であることを意味し、\(\left( d\right) \)は\(\mathfrak{A}_{\lambda }\)が\(\mathcal{A}\)を部分集合として持つような\(\mathcal{F}\)の部分集合であることを意味します。先の議論より、事象空間\(\mathcal{F}\)はこの集合族\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素の1つです。その上で、この集合族の共通部分\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}をとり、これを事象族\(\mathcal{A}\)から生成される最小の\(\sigma \)-代数（smallest \(\sigma \)-algebra generated by \(\mathcal{A}\)）と呼びます。

その名の通り、この集合族\(\sigma \left( \mathcal{A}\right) \)は\(\mathcal{A}\)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数です。

事象族\(\mathcal{A}\subset \mathcal{F}\)から生成される最小の\(\sigma \)-代数を、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}と定義しました。上の命題より、\begin{equation*}
\exists \lambda \in \Lambda :\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の定義より、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{A}_{\lambda }\subset \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\sigma \left( \mathcal{A}\right) \subset \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、\(\sigma \left( \mathcal{A}\right) \)の要素はいずれも可測な事象です。

有限\(n\)個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\subset \mathcal{F}\)が与えられれば、先の要領で\(\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots ,\sigma \left( \mathcal{A}_{n}\right) \subset \mathcal{F}\)をつくることができます。これらは事象族であるため、独立であるか検討できます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall A_{1}\in \sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\ \forall A_{2}\in
\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots ,\ \forall A_{n}\in \sigma
\left( \mathcal{A}_{n}\right) ,\ \forall I\subset \left\{ 1,2,\cdots
,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in I}A_{i}\right) =\prod_{i\in I}P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つか検討できます。以上の命題が成り立つ場合、\(\sigma\left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots
,\sigma \left( \mathcal{A}_{n}\right) \)は独立である（independent）と言います。

逆に、\(\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots ,\sigma \left( \mathcal{A}_{n}\right) \subset \mathcal{F}\)が独立ではない場合には、すなわち先の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists A_{1}\in \sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\ \exists A_{2}\in
\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots ,\ \exists A_{n}\in \sigma
\left( \mathcal{A}_{n}\right) ,\ \exists I\subset \left\{ 1,2,\cdots
,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in I}A_{i}\right) \not=\prod_{i\in I}P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots ,\sigma \left( \mathcal{A}_{n}\right) \)は従属である（dependent）と言います。

有限個の独立な事象族が生成するσ-代数どうしが独立であるための条件

有限\(n\)個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\subset \mathcal{F}\)が以下の2つの条件を満たすものとします。

1つ目の条件は、\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\)がいずれも全体事象\(\Omega \)を要素として持つということ、つまり、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :\Omega \in \mathcal{A}_{i}
\end{equation*}が成り立つということです。

2つ目の条件は、\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\)が独立であるということです。条件1および先の命題を踏まえると、\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\)が独立であることと、\begin{equation*}\forall A_{1}\in \mathcal{A}_{1},\ \forall A_{2}\in \mathcal{A}_{2},\cdots
,\ \forall A_{n}\in \mathcal{A}_{n}:P\left( \bigcap_{i\in 1}^{n}A_{i}\right)
=\prod_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。

3つ目の条件は、\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\)がいずれも積事象について閉じているということ、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} ,\ \forall A_{i},A_{i}^{\prime
}\in \mathcal{A}_{i}:A_{i}\cap A_{i}^{\prime }\in \mathcal{A}_{i}
\end{equation*}が成り立つということです。

以上の条件が満たされる場合、\(\mathcal{A}_{1},\mathcal{A}_{2},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\)から生成される\(\sigma \)-代数である\(\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots ,\sigma \left( \mathcal{A}_{n}\right) \subset \mathcal{F}\)もまた独立になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall A_{1}\in \sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) ,\ \forall A_{2}\in
\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) ,\cdots ,\ \forall A_{n}\in \sigma
\left( \mathcal{A}_{n}\right) ,\ \forall I\subset \left\{ 1,2,\cdots
,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in I}A_{i}\right) =\prod_{i\in I}P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

独立な部分事象空間族が生成するσ-代数は独立

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、事象空間\(\mathcal{F}\)の部分集合であるような有限個の\(\sigma \)-代数\begin{gather*}\mathcal{F}_{1,1},\mathcal{F}_{1,2},\cdots ,\mathcal{F}_{1,m\left( 1\right) }
\\
\mathcal{F}_{2,1},\mathcal{F}_{2,2},\cdots ,\mathcal{F}_{2,m\left( 2\right) }
\\
\vdots \\
\mathcal{F}_{n,1},\mathcal{F}_{n,2},\cdots ,\mathcal{F}_{n,m\left( n\right) }
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \mathcal{F}_{i,j}\right\} =\left\{ \mathcal{F}_{i,j}\subset \mathcal{F}\ |\ 1\leq i\leq n\wedge 1\leq j\leq m\left( i\right) \right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、これらの\(\sigma \)-代数は独立であるものとします。\(\mathcal{F}_{i,j}\)はいずれも\(\sigma \)-代数であるため全体事象\(\Omega \)を要素として持つとともに積事象について閉じていることに注意してください。その上で、以下の\(\sigma \)-代数\begin{gather*}\sigma \left( \bigcup\limits_{j=1}^{m\left( 1\right) }\mathcal{F}_{1,j}\right) =\sigma \left( \mathcal{F}_{1,1}\cup \mathcal{F}_{1,2}\cup
\cdots \cup \mathcal{F}_{1,m\left( 1\right) }\right) \\
\sigma \left( \bigcup\limits_{j=1}^{m\left( 2\right) }\mathcal{F}_{2,j}\right) =\sigma \left( \mathcal{F}_{2,1}\cup \mathcal{F}_{2,2}\cup
\cdots \cup \mathcal{F}_{2,m\left( 2\right) }\right) \\
\vdots \\
\sigma \left( \bigcup\limits_{j=1}^{m\left( n\right) }\mathcal{F}_{n,j}\right) =\sigma \left( \mathcal{F}_{n,1}\cup \mathcal{F}_{n,2}\cup
\cdots \cup \mathcal{F}_{n,m\left( n\right) }\right)
\end{gather*}を生成すると、これらが独立になることが保証されます。