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PROBABILITY

可算型確率空間

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標本空間が可算集合である場合の確率空間

標本空間が可算集合\begin{equation*}
\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\cdots \}
\end{equation*}である場合には、標本空間が有限集合である場合と同様に、\(\Omega \)の任意の部分集合を事象として考察対象に含めることができます。つまり、事象空間として\(\Omega \)のベキ集合\begin{equation*}2^{\Omega }
\end{equation*}を採用するということです。

確率を記述するために残された課題は、\(\mathcal{F}\)に属するそれぞれの事象に対して、その起こりやすさを特定することです。そこで、それぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、それが起こる確率に相当する実数\(P\left( A\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ割り当てる集合関数\begin{equation*}P:\mathcal{F\rightarrow \mathbb{R} }
\end{equation*}を導入します。公理主義的確率論の立場のもとでは、この\(P\)が満たすべき3つの性質を公理として定めます。

集合関数\(P\)が満たすべき1つ目の性質は、任意の事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、任意の事象の確率を非負の実数と定めます。\(P\)が満たすこのような性質を非負性(nonnegativity)と呼びます。

集合関数\(P\)が満たすべき2つ目の性質は、\begin{equation*}P\left( \Omega \right) =1
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、全事象の確率を\(1\)と定めます。

集合関数\(P\)が満たすべき3つ目の性質は、可算個の排反事象の和事象の確率に関するものです。具体的には、排反であるような可算事象族を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\subset \Omega \\
&&\left( b\right) \ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left( m\not=n\Rightarrow A_{m}\cap A_{n}=\phi \right)
\end{eqnarray*}をともに満たす集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)を任意に選ぶということです。その上で、この事象族の和事象の確率に関して、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つものと定めます。ただし、右辺は可算個の事象の確率から構成される無限級数の和であり、これは部分和\begin{equation*}
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}を項とする数列\(\{S_{N}\}\)の極限\(\lim\limits_{N\rightarrow \infty }S_{N}\)として定義されます。つまり、以上の公理を正確に表現すると、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\lim_{N\rightarrow \infty }\left[ \sum_{n=1}^{N}P\left(
A_{n}\right) \right] \end{equation*}となります。\(P\)が満たすこのような性質を\(\sigma \)-加法性(\(\sigma \)-additivity)や可算加法性(countably additivity)などと呼びます。\(P\)が実数値関数として定義されている以上、上の等式の右辺の和が常に実数値をとることを保証する必要がありますが、このことは後ほど証明します。

以上の3つの性質を満たす集合関数\(P\)を確率関数(probability function)や確率測度(probability measure)などと呼び、確率関数\(P\)がそれぞれの事象\(A\in2^{\Omega }\)に対して定める値\(P(A)\in \mathbb{R} \)を\(A\)の確率(probability)と呼びます。確率関数を規定する以上の3つの性質を確率論の公理(axioms of probability)と呼びます。さらに、以上のように定義された標本空間\(\Omega \)と確率空間\(2^{\Omega }\)および確率関数\(P\)の組\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right) \)を確率空間(probability space)と呼びます。

公理(可算な標本空間上の確率空間)
標本空間\(\Omega \)が可算集合である場合、事象空間を\(2^{\Omega }\)と定めるとともに、確率関数\(P:2^{\Omega}\mathcal{\rightarrow \mathbb{R} }\)は、\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in 2^{\Omega }:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1
\end{eqnarray*}を満たすとともに、排反であるような可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( P_{3}\right) \ P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}を満たすものと定める。

 

空事象の確率

公理主義のもとで確率について考えるということは、確率論の公理だけを議論の前提として認めることを意味します。つまり、標本空間が可算集合であるような試行に関する命題はいずれも先の公理から導かれてはじめて正しいものとして認められます。以下では、確率論の公理から導かれる基本的な命題をいくつか紹介します。

可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、\(\phi \in 2^{\Omega }\)ゆえに確率関数\(P\)は空事象\(\phi \)に対してもその確率\(P\left( \phi\right) \)を与えますが、\begin{equation*}P\left( \phi \right) =0
\end{equation*}であることが確率論の公理から導かれます。つまり、空事象の確率はゼロです。

命題(空事象の確率)
可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)に関して、\begin{equation*}P\left( \phi \right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

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有限加法性

可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、排反であるような有限事象族を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{i}\subset
\Omega \\
&&\left( b\right) \ \forall i,j\in \mathbb{N} :\left( i\not=j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\phi \right)
\end{eqnarray*}をともに満たす集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選ぶということです。確率関数\(P\)の\(\sigma \)-加法性と空事象\(\phi \)の確率がゼロであるという事実を利用すると、有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の和事象に関して、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、互いに素な有限個の事象が任意に与えられたとき、それらの和事象の確率は、個々の事象の確率の総和と一致するということです。\(P\)が満たす以上の性質を有限加法性(finite additivity)と呼びます。

命題(有限加法性)
可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、排反な有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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根元事象の確率に関する諸命題

可算集合であるような標本空間\(\Omega =\left\{ \omega _{1},\omega_{2},\cdots \right\} \)から標本点\(\omega_{n}\in \Omega \)を任意に選んだ上で根元事象\(\left\{ \omega _{n}\right\} \)を作ります。\(\left\{ \omega_{n}\right\} \in 2^{\Omega }\)であるため、確率関数\(P\)は\(\left\{ \omega _{n}\right\} \)に対してもその確率\(P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) \)を与えますが、\(P\)の非負性より、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意の根元事象の確率は非負の実数です。

命題(根元事象の確率)

可算な標本空間\(\Omega =\left\{\omega _{1},\omega _{2},\cdots \right\} \)に関する標本空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right) \)に関して、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つ。

標本空間\(\Omega =\left\{ \omega _{1},\omega_{2},\cdots \right\} \)は互いに素な可算個の根元事象\(\left\{\omega _{1}\right\} ,\left\{ \omega _{2}\right\} ,\cdots \)を用いて、\begin{equation}\Omega =\bigcup_{n\in \mathbb{N} }\left\{ \omega _{n}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}と表すことができます。したがって、\begin{align*}
1& =P\left( \Omega \right) \quad \because \text{全事象の確率} \\
& =P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }\left\{ \omega _{n}\right\} \right) \quad \because \left( 1\right) \\
& =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) \quad \because P\text{の}\sigma \text{-加法性}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つことが示されました。左辺は可算個の根元事象の確率から構成される無限級数の和であり、これは部分和\begin{equation*}
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right)
\end{equation*}を項とする数列\(\{S_{N}\}\)の極限\(\lim\limits_{N\rightarrow \infty }S_{N}\)として定義されます。つまり、以上の命題を正確に表現すると、\begin{equation*}\lim_{N\rightarrow \infty }\left[ \sum_{n=1}^{N}P\left( \left\{ \omega
_{n}\right\} \right) \right] =1
\end{equation*}となります。

命題(根元事象の確率の総和)
可算な標本空間\(\Omega =\left\{\omega _{1},\omega _{2},\cdots \right\} \)に関する標本空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right) \)に関して、\begin{equation*}\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つ。

事象\(A\in 2^{\Omega }\)を任意に選びます。\(A\)は自身の要素である根元事象の和集合\begin{equation}A=\bigcup_{\omega _{n}\in A}\left\{ \omega _{n}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}として表現できますが、根元事象どうしは排反であるため、\(A\)が有限集合である場合には、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &=&P\left( \bigcup_{\omega _{n}\in A}\left\{ \omega
_{n}\right\} \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\sum_{\omega _{n}\in A}P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) \quad
\because P\text{の有限加法性}
\end{eqnarray*}が成り立ち、\(A\)が可算集合である場合にも、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &=&P\left( \bigcup_{\omega _{n}\in A}\left\{ \omega
_{n}\right\} \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\sum_{\omega _{n}\in A}P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) \quad
\because P\text{の}\sigma \text{-加法性}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。いずれの場合にも、\begin{equation*}
P\left( A\right) =\sum_{\omega _{n}\in A}P\left( \left\{ \omega _{n}\right\}
\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されました。

命題(事象の確率)
可算な標本空間\(\Omega =\left\{\omega _{1},\omega _{2},\cdots \right\} \)に関する標本空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right) \)に関して、事象\(A\in 2^{\Omega }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( A\right) =\sum_{\omega _{n}\in A}P\left( \left\{ \omega _{n}\right\}
\right)
\end{equation*}が成り立つ。

確率論の公理から根元事象の確率に関する3つの命題を導きましたが、逆に、この3つの命題を公理とみなしたとき、そこから確率論の公理に相当する3つの命題を導くことができます。したがって、確率論の公理を以下のように言い換えることができます。

命題(確率論の公理の代替的な表現)
可算な標本空間\(\Omega \)のベキ集合上に定義された関数\(P:2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ \sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall A\in 2^{\Omega }:P\left( A\right)
=\sum_{\omega _{n}\in A}P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right)
\end{eqnarray*}をすべて満たすことは、\(P\)が確率論の公理を満たすための必要十分条件である。
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例(確率空間)
確率\(\frac{1}{2^{n}}\)で\(n-2\)万円を報酬として獲得できるゲームを考えます。ただし、\(n\in \mathbb{N} \)です。以下が報酬の具体例です。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
n & 確率 & 報酬(万円) \\
\hline
1 & \frac{1}{2} & -1 \\ \hline
2 & \frac{1}{4} & 0 \\ \hline
3 & \frac{1}{8} & 1 \\ \hline
4 & \frac{1}{16} & 2 \\ \hline
\vdots & \vdots & \vdots \\ \hline
\end{array}$$

表:それぞれの報酬額が得られる確率

このゲームの標本空間は、起こり得る報酬額からなる可算集合\begin{equation*}
\Omega =\left\{ -1,0,1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}です。標本空間のベキ集合上に定義された集合関数\(P:2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation}P\left( \{\omega \}\right) =\frac{1}{2^{\omega +2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。\(\omega \geq -1\)であるため、\begin{equation*}P\left( \{\omega \}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。それぞれの事象\(A\subset \Omega \)に対して、\begin{equation}P\left( A\right) =\sum_{\omega \in A}P\left( \{\omega \}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と定めます。また、\begin{eqnarray*}
\sum_{\omega =-1}^{\infty }P\left( \{\omega \}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ \sum_{\omega =-1}^{n}P\left( \{\omega \}\right) \right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \sum_{\omega =-1}^{n}\frac{1}{2^{\omega
+2}}\right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ 1-\frac{1}{4}\left( \frac{1}{2}\right)
^{n}\right] \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より\(\left( \Omega ,2^{\Omega },P\right) \)は確率空間です。例えば、「正の報酬を得る」という事象は、\begin{equation*}A=\{\omega \in \Omega \ |\ \omega >0\}=\{1,2,3,\cdots \}
\end{equation*}ですが、その確率は、\begin{eqnarray*}
P\left( A\right) &=&\sum_{\omega =1}^{\infty }P\left( \{\omega \}\right)
\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \sum_{\omega =1}^{n}P\left( \{\omega
\}\right) \right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \sum_{\omega =1}^{n}\frac{1}{2^{\omega
+2}}\right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}\right] \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となります。また、「\(1\)万円以上\(5\)万円以下の報酬を得る」という事象は、\begin{equation*}B=\{\omega \in \Omega \ |\ 1\leq \omega \leq 5\}=\{1,2,3,4,5\}
\end{equation*}ですが、その確率は、\begin{eqnarray*}
P\left( B\right) &=&\sum_{\omega =1}^{5}P\left( \{\omega \}\right) \quad
\because \left( 2\right) \\
&=&\sum_{\omega =1}^{5}\frac{1}{2^{\omega +2}}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\sum_{\omega =1}^{5}\frac{1}{2^{\omega +2}} \\
&=&\frac{31}{128}
\end{eqnarray*}となります。

 

余事象の確率

可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、事象\(A\in 2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、確率関数\(P\)はその確率\(P\left( A\right) \)を与えます。さらに、\(A^{c}\in 2^{\Omega }\)であるため\(P\)は余事象\(A^{c}\)に対してもその確率\(P\left( A^{c}\right) \)を与えますが、両者の間には、\begin{equation*}P\left( A^{c}\right) =1-P\left( A\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが確率論の公理から導かれます。つまり、余事象\(A^{c}\)の確率は、全事象\(\Omega \)の確率である\(1\)から事象\(A\)の確率を引くことにより得られます。

命題(余事象の確率)
可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、事象\(A\in2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A^{c}\right) =1-P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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事象の確率がとり得る値の範囲

可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、事象\(A\in 2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、その確率がとり得る値の範囲が、\begin{equation*}0\leq P\left( A\right) \leq 1
\end{equation*}であることが示されます。つまり、任意の事象の確率は\(0\)以上\(1\)以下の実数です。

命題(事象の確率がとり得る値の範囲)
可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、事象\(A\in2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}0\leq P\left( A\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立つ。

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部分事象と確率(単調性)

可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、\(A\subset B\)を満たす事象\(A,B\in2^{\Omega }\)を任意に選びます。つまり、\(A\)は\(B\)の部分事象であるということです。この場合、\begin{equation*}P\left( A\right) \leq P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分事象である場合、\(A\)の確率は\(B\)の確率以下となります。以上の性質を単調性(monotonicity)と呼びます。

命題(単調性)
可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、事象\(A,B\in2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow P\left( A\right) \leq P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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差事象の確率

可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、事象\(A,B\in 2^{\Omega }\)を任意に選びます。\(A\backslash B\in 2^{\Omega }\)かつ\(A\cap B\in 2^{\Omega }\)であるため、\(P\)は差事象\(A\backslash B\)や積事象\(A\cap B\)に対しても確率を与えますが、それらの確率の間に、\begin{equation*}P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right) -P\left( A\cap B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが導かれます。特に、\(B\subset A\)である場合には\(A\cap B=B\)となるため、\begin{equation*}P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right) -P\left( B\right)
\end{equation*}を得ます。

命題(差事象の確率)
可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、事象\(A,B\in2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right) -P\left( A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(B\subset A\)である場合には、\begin{equation*}P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right) -P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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和事象の確率(加法定理)

可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、事象\(A,B\in 2^{\Omega }\)を任意に選びます。\(A\)と\(B\)が排反である場合には、確率関数\(P\)の有限加法性より、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。一方、\(A\)と\(B\)が排反であるとは限らない場合には、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立つことが導かれます。つまり、排反であるとは限らない2つの事象の和事象の確率は、個々の事象の確率の和から積事象の確率を引くことにより得られます。これを加法定理(addition theorem)と呼びます。

命題(加法定理)
可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、事象\(A,B\in2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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和事象の確率の範囲(劣加法性)

可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、排反であるとは限らない事象\(A,B\in 2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、加法定理より、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これと確率関数\(P\)の非負性より、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) \leq P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}が導かれます。つまり、排反であるとは限らない2つの事象の和事象の確率は、個々の事象の確率の和以下になります。これを劣加法性(subadditivity)と呼びます。

命題(劣加法性)
可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、事象\(A,B\in2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) \leq P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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劣加法性は有限集合族に関しても拡張可能です。つまり、有限事象列\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{m}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{i=1}^{m}A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{m}P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。これを有限劣加法性(finite subadditivity)と呼びます。逆に、有限劣加法性において\(m=2\)とすれば劣加法性が導かれるため、有限劣加法性と劣加法性は必要十分です。

命題(有限劣加法性)
可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、確率関数\(P\)が有限劣加法性を満たすことは、劣加法性を満たすための必要十分条件である。
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劣加法性は可算集合族に関しても拡張可能です。つまり、可算事象列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) \leq \sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。これを\(\sigma \)-劣加法性(\(\sigma \)-劣加法性)と呼びます。

命題((protectsigma )-劣加法性)
可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、可算事象列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) \leq \sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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積事象の確率の範囲(ボンフェローニの不等式)

可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、排反であるとは限らない事象\(A,B\in 2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、それらの積事象の確率に関して、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) \geq P\left( A\right) +P\left( B\right) -1
\end{equation*}が成り立つことが導かれます。これをボンフェローニの不等式(Bonferroni’s inequality)と呼びます。

命題(ボンフェローニの不等式)
可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)において、事象\(A,B\in2^{\Omega }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) \geq P\left( A\right) +P\left( B\right) -1
\end{equation*}が成り立つ。

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演習問題

問題(確率空間)
「表が出るまでコインを投げ続ける」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{\text{表},\text{裏表},\text{裏裏表},\text{裏裏裏表},\cdots \}
\end{equation*}という可算集合です。ただし、例えば「表」という標本点は1回目に表が出る結果に、「裏表」は2回目に表が出る結果にそれぞれ対応します。他の標本点についても同様です。見通しをよくするために、「\(n\)回目にはじめて表が出る」という標本点を\(\omega _{n}\)で表すならば、上の標本空間を、\begin{equation*}\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\cdots \}
\end{equation*}と表現できます。この標本空間は明らかに可算集合です。コインに偏りがなく、各回において表と裏が同じ割合で出現するものと仮定した上で、それぞれの標本点\(\omega _{n}\in \Omega \)に対して、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) =\frac{1}{2^{n}}
\end{equation*}を定める集合関数\(P:2^{\Omega}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。さらに、それぞれの事象\(A\in 2^{\Omega }\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\sum_{\omega _{n}\in A}P\left( \{\omega _{n}\}\right)
\end{equation*}と定めます。以上を踏まえた上で、\(\left( \Omega,2^{\Omega },P\right) \)が確率空間であることを確認してください。その上で、「\(10\)回以内に表が出る」という事象の確率と、「奇数回目に表が出る」という事象の確率をそれぞれ求めてください。
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次回は標本空間が非可算集合である場合の確率空間について解説します。

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