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確率

可算型確率空間

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確率空間の定義

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公理主義的確率論の考え方

公理主義的確率論の舞台は3つの要素から構成されます。1つ目は、試行において起こり得るすべての標本点からなる集合であり、これは標本空間\begin{equation*}
\Omega
\end{equation*}として定式化されます。事象は標本空間\(\Omega \)の部分集合として定義されますが、確率を記述する際に、確率の測定対象となる事象を定めておく必要があります。そこで、確率空間の2つ目の要素として、確率の測定対象となる事象をすべて集めてできる\(\Omega \)の部分集合族\begin{equation*}\mathcal{F}
\end{equation*}を導入します。確率を記述するために残された課題は、事象空間\(\mathcal{F}\)に属するそれぞれの事象に対して、その起こりやすさを特定することです。そこで、確率空間を構成する3つ目の要素として、それぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、それが起こる確率に相当する実数\(P\left( A\right)\in \mathbb{R} \)を1つずつ割り当てる集合関数\begin{equation*}P:\mathcal{F\rightarrow \mathbb{R} }
\end{equation*}を導入します。公理主義的確率論では、以上の3つの要素から構成される概念\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}が満たすべき性質を公理として定めた上で、そこを出発点に議論を行うことになります。

標本空間\(\Omega \)が有限集合である場合には、すなわち、何らかの自然数\(n\)を用いて、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\}
\end{equation*}と表現できる場合には、事象空間\(\mathcal{F}\)として標本空間のベキ集合\begin{equation*}2^{\Omega }
\end{equation*}を採用した上で、集合関数\(P:2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \)が確率論の公理\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left(
\left\{ \omega _{i}\right\} \right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{n}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\}
\right) =1 \\
&&\left( c\right) \ \forall A\in 2^{\Omega }:P\left( A\right) =\sum_{\omega
_{i}\in A}P\left( \left\{ \omega _{i}\right\} \right)
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。条件\(\left( a\right) \)は、根元事象の確率は非負の実数であることを意味し、条件\(\left( b\right) \)は、すべての根元事象の確率の総和が\(1\)であることを意味し、条件\(\left(c\right) \)は、事象の確率はそこに含まれるすべての根元事象の和と一致することを意味します。確率論の公理を満たす集合関数\(P\)を確率測度と呼んだ上で、標本空間\(\Omega \)と確率空間\(2^{\Omega }\)および確率測度\(P\)の組\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)を確率空間と呼びました。では、標本空間\(\Omega \)が可算集合である場合、確率空間をどのように定義すべきでしょうか。

 

標本空間が可算集合である場合の確率空間

標本空間\(\Omega \)が可算集合\begin{equation*}\Omega =\left\{ \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right\}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(\omega _{i}\ \left( i=1,2\cdots\right) \)は標本点です。標本空間\(\Omega \)が可算集合である場合にも、事象空間\(\mathcal{F}\)として標本空間のベキ集合\begin{equation*}2^{\Omega }
\end{equation*}を採用できます。つまり、任意の事象を確率の測定対象に含めても問題は生じないということです。では、それぞれの事象\(A\in 2^{\Omega }\)に対して、それが起こる確率に相当する実数\(P\left( A\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ割り当てる集合関数\begin{equation*}P:2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}に対してどのような公理を設定すべきでしょうか。以下で順番に解説します。

標本点\(\omega _{n}\in \Omega \)を任意に選んだ上で、それだけを要素として持つ根元事象\(\left\{ \omega _{n}\right\} \)を構成します。\(\left\{ \omega_{n}\right\} \in 2^{\Omega }\)であるため、集合関数\(P\)はこの根元事象\(\left\{ \omega _{n}\right\} \)に対しても確率\(P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right)\in \mathbb{R} \)を付与することが保証されます。以上を踏まえた上で、その値は非負であること、すなわち、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つことを1つ目の公理として定めます。つまり、任意の根元事象の確率が非負の実数であることを公理として定めるということです。これは、標本空間\(\Omega \)が有限集合である場合と同様の公理です。

標本点\(\omega _{n}\in \Omega \)を任意に選んだとき、先の理由により、集合関数\(P\)は根元事象の確率\(P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) \in \mathbb{R} \)を定めることが保証されます。標本空間\(\Omega \)は可算集合であるため、すべての根元事象の確率の和\begin{equation}\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) =P\left( \left\{ \omega
_{1}\right\} \right) +P\left( \left\{ \omega _{2}\right\} \right) +\cdots
\quad \cdots (1)
\end{equation}は可算個の実数の和、すなわち無限級数となります。標本空間\(\Omega \)が有限集合である場合、すべての根元事象の確率の総和が\(1\)であることを公理として定めました。一方、標本空間\(\Omega \)が可算集合である場合、根元事象が可算個存在するため、それらの確率をすべて足し合わせることができません。つまり、無限級数\(\left( 1\right) \)をそのまま計算することはできないということです。以上を踏まえた上で、代替案として、無限級数\(\left( 1\right) \)が\(1\)へ収束すること、すなわち、無限級数の部分和\begin{equation*}S_{N}=\sum_{n=1}^{N}P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right)
\end{equation*}を一般項とする数列\(\{S_{N}\}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{N\rightarrow \infty }S_{N}=1
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち、\begin{equation}
\lim_{N\rightarrow \infty }\left[ \sum_{n=1}^{N}P\left( \left\{ \omega
_{n}\right\} \right) \right] =1 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを2つ目の公理として定めます。その上で、\(\left(2\right) \)が成り立つことを、\begin{equation*}\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) =1
\end{equation*}で表記するものと定めます。つまり、すべての根元事象の確率の和に相当する無限級数が\(1\)へ収束することを公理として定めるということです。

事象\(A\subset \Omega \)を任意に選んだとき、\(A\in 2^{\Omega }\)であるため、集合関数\(P\)はこの事象\(A\)に対しても確率\(P\left( A\right) \in \mathbb{R} \)を付与することが保証されます。以上を踏まえた上で、事象\(A\)の確率は、その事象\(A\)に含まれるすべての標本点に関する根元事象の確率の総和であること、すなわち、\begin{equation*}P\left( A\right) =\sum_{\omega _{n}\in A}P\left( \left\{ \omega _{n}\right\}
\right)
\end{equation*}が成り立つことを3つ目の公理として定めます。ただし、\(A\)が有限集合である場合、上のように定義される\(P\left( A\right) \)は有限個の実数の和である一方で、\(A\)が可算集合である場合、上のように定義される\(P\left( A\right) \)は無限級数であることに注意してください。いずれにせよ、事象の確率はそこに含まれるすべての根元事象の和と一致することを公理として定めるということです。

標本空間\(\Omega \)が可算集合である場合には、集合関数\(P\)が以上の3つの性質を満たすことを公理として定めます。この3つの性質を総称して確率論の公理(axioms of probability)と呼びます。

公理(確率論の公理)
可算個の標本点を持つ標本空間\(\Omega \)のベキ集合上に定義された集合関数\(P:2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) =1 \\
&&\left( c\right) \ \forall A\in 2^{\Omega }:P\left( A\right) =\sum_{\omega
_{n}\in A}P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right)
\end{eqnarray*}を満たすものと定める。以上の性質を確率論の公理と呼ぶ。

確率論の公理の公理を満たす集合関数\(P\)を確率測度(probability measure)や確率関数(probability function)などと呼び、確率測度\(P\)がそれぞれの事象\(A\in 2^{\Omega }\)に対して定める値\(P(A)\in \mathbb{R} \)を\(A\)の確率(probability)と呼びます。さらに、以上のように定義された標本空間\(\Omega \)と確率空間\(2^{\Omega }\)および確率測度\(P\)の組\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)を確率空間(probability space)と呼びます。

以下が確率空間の具体例です。

例(確率空間)
「確率\(\frac{1}{2^{n}}\)で\(n-2\)万円を獲得できるゲームをプレーする」という試行について考えます。ただし、\(n\in \mathbb{N} \)です。以下が報酬の具体例です。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
n & 確率 & 報酬(万円) \\
\hline
1 & \frac{1}{2} & -1 \\ \hline
2 & \frac{1}{4} & 0 \\ \hline
3 & \frac{1}{8} & 1 \\ \hline
4 & \frac{1}{16} & 2 \\ \hline
\vdots & \vdots & \vdots \\ \hline
\end{array}$$

表:それぞれの報酬額が得られる確率

このゲームの標本空間は、起こり得る報酬額からなる可算集合\begin{equation*}
\Omega =\left\{ -1,0,1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}です。標本空間のベキ集合上に定義された集合関数\(P:2^{\Omega }\rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation}P\left( \{\omega \}\right) =\frac{1}{2^{\omega +2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。その上で、それぞれの事象\(A\subset \Omega \)に対して、\begin{equation}P\left( A\right) =\sum_{\omega \in A}P\left( \{\omega \}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つものと定めます。標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\(\omega \geq -1\)および\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}P\left( \{\omega \}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。それぞれの事象\(A\subset \Omega \)に対して、\begin{equation}P\left( A\right) =\sum_{\omega \in A}P\left( \{\omega \}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と定めます。さらに、すべての根元事象の確率の和に相当する無限級数について、\begin{eqnarray*}
\sum_{\omega =-1}^{\infty }P\left( \{\omega \}\right) &=&\lim_{N\rightarrow
\infty }\left[ \sum_{\omega =-1}^{N}P\left( \{\omega \}\right) \right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \sum_{\omega =-1}^{N}\frac{1}{2^{\omega
+2}}\right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ 1-\frac{1}{4}\left( \frac{1}{2}\right)
^{N}\right] \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\(P\)が確率論の公理を満たすことが明らかになりました。例えば、「正の報酬を得る」という事象は、\begin{equation*}A=\{\omega \in \Omega \ |\ \omega >0\}=\{1,2,3,\cdots \}
\end{equation*}ですが、その確率は、\begin{eqnarray*}
P\left( A\right) &=&\sum_{\omega =1}^{\infty }P\left( \{\omega \}\right)
\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\lim_{N\rightarrow \infty }\left[ \sum_{\omega =1}^{N}P\left( \{\omega
\}\right) \right] \\
&=&\lim_{N\rightarrow \infty }\left[ \sum_{\omega =1}^{N}\frac{1}{2^{\omega
+2}}\right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{N\rightarrow \infty }\left[ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left( \frac{1}{2}\right) ^{N}\right] \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となります。また、「\(1\)万円以上\(5\)万円以下の報酬を得る」という事象は、\begin{equation*}B=\{\omega \in \Omega \ |\ 1\leq \omega \leq 5\}=\{1,2,3,4,5\}
\end{equation*}ですが、その確率は、\begin{eqnarray*}
P\left( B\right) &=&\sum_{\omega =1}^{5}P\left( \{\omega \}\right) \quad
\because \left( 2\right) \\
&=&\sum_{\omega =1}^{5}\frac{1}{2^{\omega +2}}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\sum_{\omega =1}^{5}\frac{1}{2^{\omega +2}} \\
&=&\frac{31}{128}
\end{eqnarray*}となります。

 

確率論の公理の特徴づけ

公理主義のもとで確率について考えるということは、確率論の公理だけを議論の前提として認めることを意味します。つまり、標本空間が可算集合であるような試行および確率に関する命題はいずれも確率論の公理から導かれてはじめて正しいものとして認められるということです。以下では確率論の公理から導かれる基本的な命題をいくつか紹介します。

可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、事象\(A\in 2^{\Omega }\)を任意に選びます。このとき、その確率は、\begin{equation*}P\left( A\right) \geq 0
\end{equation*}を満たすことが確率論の公理から導かれます。つまり、任意の事象の確率は非負の実数です。以上の性質を非負性(nonnegativity)と呼びます。

命題(確率測度の非負性)
可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall A\in 2^{\Omega }:P\left( A\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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可算な標本空間に関する確率空間\(\left( \Omega ,2^{\Omega},P\right) \)が与えられたと