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余事象の確率

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余事象の確率

標本空間が有限集合ないし可算集合である場合の確率空間\(\left(\Omega ,2^{\Omega },P\right) \)に関しては、事象\(A\in 2^{\Omega }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( A^{c}\right) =1-P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことを確認しました。つまり、余事象\(A^{c}\)の確率は、全事象\(\Omega \)の確率である\(1\)から事象\(A\)の確率を引くことにより得られます。では、一般の確率空間、すなわち測度空間としての公理を満たす確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)についても同様の命題が成り立つのでしょうか。

確認ですが、確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、標本空間\(\mathcal{F}\)は\(\sigma \)-代数であるため、事象\(A\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A^{c}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、任意の事象の余事象は可測であるため、確率関数\(P\)は余事象\(A^{c}\)に対して確率を定めますが、それに関しては先と同様の関係が成り立つことが示されます。

命題(余事象の確率)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、事象\(A\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A^{c}\right) =1-P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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事象の確率がとり得る値の範囲

事象\(A\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、その確率がとり得る値の範囲が、\begin{equation*}0\leq P\left( A\right) \leq 1
\end{equation*}であることが先の命題より導かれます。つまり、任意の事象の確率は\(0\)以上\(1\)以下の実数です。

命題(事象の確率がとり得る値の範囲)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、事象\(A\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}0\leq P\left( A\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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確率関数は実数値関数

可算個の排反事象\(A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、確率関数\(P\)の\(\sigma \)-加法性より、それらの和事象の確率は、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}を満たします。ただし、右辺は可算個の事象の確率から構成される無限級数の和であり、これは部分和\begin{equation*}
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}を項とする数列\(\{S_{N}\}\)の極限\(\lim\limits_{N\rightarrow \infty }S_{N}\)として定義されます。つまり、\(\left( 1\right) \)を正確に表現すると、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\lim_{N\rightarrow \infty }\left[ \sum_{n=1}^{N}P\left(
A_{n}\right) \right] \end{equation*}となります。確率関数を実数値関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)として定義することは、上の極限が常に存在することを含意しますが、これまでその根拠を明示してきませんでした。しかし、先に示した命題より、任意の事象\(A\in \mathcal{F}\)の確率は\(0\leq P\left( A\right)\leq 1\)を満たすため、\(P\)の値域は、\begin{equation*}P\left( \mathcal{F}\right) =\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}となります。確率論の公理は確率関数が実数値関数であることを保証します。

次回は積事象の確率について解説します。

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