余事象の確率
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。つまり、事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は確率論の公理\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall \text{排反な}\left\{
A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
事象\(A\in \mathcal{F}\)を任意に選べば、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれに対して確率\(P\left( A\right) \in \mathbb{R} \)を定めます。\(\left( M_{2}\right) \)より、\begin{equation*}A^{c}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つため、確率測度\(P\)は余事象に対しても確率\(P\left( A^{c}\right) \in \mathbb{R} \)を定めますが、これらの確率の間には以下の関係\begin{equation*}P\left( A^{c}\right) =1-P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、余事象\(A^{c}\)の確率は、全事象\(\Omega \)の確率である\(1\)から事象\(A\)の確率を引くことにより得られます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立ちます。事象空間は補集合について閉じているため、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) ^{c}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( \left( A\cup B\right) ^{c}\right) &=&1-P\left( A\cup B\right) \quad
\because \text{余事象の確率} \\
&=&1-\left( P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap B\right)
\right) \quad \because \text{加法定理} \\
&=&1-P\left( A\right) -P\left( B\right) +P\left( A\cap B\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}と定まります。その一方で、\begin{equation*}
\phi ^{c}=\Omega
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
P\left( \phi ^{c}\right) &=&P\left( \Omega \right) \quad \because \phi
^{c}=\Omega \\
&=&1\quad \because \text{確率論の公理}
\end{eqnarray*}を得ます。同じことを余事象の確率を用いて求めると、\begin{eqnarray*}
P\left( \phi ^{c}\right) &=&1-P\left( \phi \right) \quad \because \text{余事象の確率} \\
&=&1-0\quad \because P\left( \phi \right) =0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
事象の確率がとり得る値の範囲
事象\(A\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、その確率がとり得る値の範囲が、\begin{equation*}0\leq P\left( A\right) \leq 1
\end{equation*}であることが先の命題より導かれます。つまり、任意の事象の確率は\(0\)以上\(1\)以下の実数です。
\end{equation*}が成り立つ。
確率測度は実数値関数
確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\sigma \)-加法性を満たすため、排反な事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}\)が与えられたとき、その和事象の確率は、\begin{equation}P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。ただし、右辺は可算個の事象の確率から構成される無限級数の和であり、これは部分和\begin{equation*}
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}を項とする数列\(\{S_{N}\}\)の極限\(\lim\limits_{N\rightarrow \infty }S_{N}\)として定義されます。つまり、\(\left( 1\right) \)を正確に表現すると、\begin{equation}P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\lim_{N\rightarrow \infty }\left[ \sum_{n=1}^{N}P\left(
A_{n}\right) \right] \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。
確率測度を実数値関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)として定義することは、\(\left( 2\right) \)が必ず有限な実数として定まることを意味しますが、これまでその根拠を明示してきませんでした。排反な事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、事象空間は和事象について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。すると先の命題より、\begin{equation*}
0\leq P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(2\right) \)が有限な実数として定まることが明らかになりました。確率論の公理は確率測度が実数値関数であることを保証するということです。
演習問題
\end{equation*}であり、事象空間は、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}であるとともに、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}P\left( \left\{ \omega _{1}\right\} \right) &=&\frac{1}{10} \\
P\left( \left\{ \omega _{1},\omega _{2}\right\} \right) &=&\frac{1}{2} \\
P\left( \left\{ \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right\} \right) &=&\frac{7}{10}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。以下の確率\begin{equation*}
P\left( \left\{ \omega _{2},\omega _{4}\right\} \right)
\end{equation*}を求めてください。
P\left( B\right) &=&\frac{1}{2} \\
P\left( A\cap B\right) &=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。以上の条件を踏まえた上で、以下の確率\begin{equation*}
P\left( A^{c}\cap B^{c}\right)
\end{equation*}を特定してください。
P\left( A\cap B\right) &=&\frac{1}{4} \\
P\left( A^{c}\right) &=&\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。以上の条件を踏まえた上で、以下の確率\begin{equation*}
P\left( B\right)
\end{equation*}を特定してください。
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