余事象の確率

確率論の公理より、任意の事象の余事象は可測です。さらに、事象 A の余事象の確率は、全事象の確率に相当する 1 から事象 A の確率を引くことで得られます。これを確率論の公理から示します。

余事象

余事象の確率

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)が与えられたとき、\(\mathcal{F}\)に関する公理\(\left( M_{1}\right) \)より、何らかの事象\(A\subset \Omega \)が存在して\(A\in \mathcal{F}\)が成り立ちます。さらに公理\(\left( M_{2}\right) \)より\(A^{c}\in \mathcal{F}\)です。したがって、確率関数\(P\)は事象\(A\)が起こる確率\(P\left( A\right) \)だけでなく、その余事象が起こる確率\(P\left( A^{c}\right) \)も評価できるはずですが、その値はどうなるでしょうか。これも確率論の公理、もしくはそこから導かれた命題から導く必要があります。

確率論の公理について復習する

\(A\in \mathcal{F}\)を満たす事象\(A\subset \Omega \)を任意に選ぶと、\(A^{c}\in \mathcal{F}\)が成り立ちます。また、\(\phi \in \mathcal{F}\)です。確率論の公理より\(P\)が有限加法性を満たすことはすでに示しました。そこで、事象\(A,A^{c}\in \mathcal{F}\)をとると、これらは排反であるため、\(P\)の有限加法性より、\begin{eqnarray*}
P\left( \Omega \right) &=&P\left( A\cup A^{c}\right) \quad \because A\cup
A^{c}=\Omega \\
&=&P\left( A\right) +P\left( A^{c}\right) \quad \because P\text{の有限加法性}
\end{eqnarray*}を得ます。確率論の公理より\(P\left( \phi \right) =0\)であることはすでに示しました。これと公理\(\left( P_{3}\right) \)より、上の式は、\begin{equation*}
1=P\left( A\right) +P\left( A^{c}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( A^{c}\right) =1-P\left( A\right)
\end{equation*}と変形可能です。つまり、余事象\(A^{c}\)の確率は、全事象\(\Omega \)の確率である\(1\)から事象\(P\)の確率を引いたものです。

有限加法性について復習する 空事象の確率について復習する
命題(余事象の確率)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、事象\(A\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
P\left( A^{c}\right) =1-P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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次回は事象の確率がとり得る値の範囲について解説します。

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