ボレル・カンテリの第2補題（独立な事象列の上極限と下極限の確率・無限の猿定理）

事象列の上極限

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)に加えて、可算個の可測事象からなる集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。

事象空間\(\mathcal{F}\)は可算合併について閉じているため、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(n\)番目以降の可算個の事象\(A_{n},A_{n+1},\cdots \)の和事象が可測になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}B_{n}=\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。事象空間\(\mathcal{F}\)は可算交叉について閉じているため、先の要領で定義された可算個の事象\(B_{1},B_{2},\cdots \in \mathcal{F}\)の積事象が可測になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }B_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\in
\mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。そこで、この事象をもとの事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限（limit superior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}=\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}で表記します。

標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\omega \in \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n} &\Leftrightarrow &\omega
\in \bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty
}A_{k}\quad \because \text{上極限の定義}
\\
&\Leftrightarrow &\forall n\in \mathbb{N} :\omega \in \bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\quad \because \text{積事象の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall n\in \mathbb{N} ,\ \exists k\in \mathbb{N} :\left( k\geq n\wedge \omega \in A_{k}\right) \quad \because \text{和事象の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限\(\lim \sup A_{n}\)が起こることとは、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(n\)以上の何らかの番号\(k\)に関する事象\(A_{k}\)が必ず起こることを意味します。任意の番号\(n\)について同様の主張が成り立つため、これは、可算無限個の番号\(k\)に関する事象\(A_{k}\)が起こることを意味します。このような事情もあり、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限を、\begin{equation*}\left\{ A_{n}\ \text{i.o.}\right\} =\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}
\end{equation*}と表記することもできます。ただし、i.o.は infinity often（無限回）の略です。改めて整理すると、事象族\(\left\{A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\)とは「事象族\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)に属する可算無限個の事象が起こる」という事象に相当します。

事象列の下極限

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)に加えて、可算個の可測事象からなる集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。

事象空間\(\mathcal{F}\)は可算交差について閉じているため、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(n\)番目以降の可算個の事象\(A_{n},A_{n+1},\cdots \)の共通部分が可測になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}B_{n}=\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。事象空間\(\mathcal{F}\)は可算合併について閉じているため、先の要領で定義された可算個の事象\(B_{1},B_{2},\cdots \in \mathcal{F}\)の和事象が可測になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }B_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\in
\mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。そこで、この事象をもとの事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限（limit inferior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}=\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}で表記します。

標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\omega \in \lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n} &\Leftrightarrow &\omega
\in \bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty
}A_{k}\quad \because \text{下極限の定義}
\\
&\Leftrightarrow &\exists n\in \mathbb{N} :\omega \in \bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\quad \because \text{和事象の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists n\in \mathbb{N} ,\ \forall k\in \mathbb{N} :\left( k\geq n\Rightarrow \omega \in A_{k}\right) \quad \because \text{積事象の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限\(\lim \inf A_{n}\)が起こることとは、少なくとも1つの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\(n\)以上のすべての番号\(k\)に関する事象\(A_{k}\)がすべて起こることを意味します。逆に言うと、有限個の事象だけを除くことにより得られるほとんどのすべての無限個の事象が起こるということです。このような事情もあり、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限を、\begin{equation*}\left\{ A_{n}\ \text{a.a}\right\} =\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}
\end{equation*}と表記することもできます。ただし、a.a.は almost always（ほぼ常に）の略です。改めて整理すると、事象族\(\left\{A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\)とは「事象族\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)に属する事象の中でも有限個の事象を除いたすべての事象が起こる」という事象に相当します。

上極限に関するボレル・カンテリの第2補題

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)に加えて、可算個の可測事象からなる集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。さらに、この事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)は独立であるものとします。つまり、有限集合\(I\subset \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、有限事象族\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in I}\)が独立であること、すなわち、\begin{equation*}\forall J\subset I:P\left( \bigcap_{i\in J}A_{i}\right) =\prod_{i\in
J}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は個々の事象\(A_{n}\)に対して確率\(P\left( A_{n}\right) \)を定めるため、それらの総和に相当する無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) =\lim_{N\rightarrow \infty
}\sum_{n=1}^{N}P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}をとることができます。その上で、この無限級数は有限な実数として定まらないものとします。つまり、\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

以上の諸条件が満たされる場合には、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限が起こる確率が\(1\)になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}P\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\right) =1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( \bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty
}A_{k}\right) =1
\end{equation*}が成り立つということです。つまり、事象列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)に属する事象が独立であり、また、これらの事象の確率の総和が有限な実数として定まらない場合には、「無限個の番号\(k\)に関して事象\(A_{k}\)が起こる」という事象の確率が\(1\)になるということです。これをボレル・カンテリの第2補題（second Borel-Cantelli lemma）と呼びます。

下極限に関するボレル・カンテリの第2補題

事象列の下極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)に加えて、可算個の可測事象からなる集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。さらに、この事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)は独立であるものとします。つまり、有限集合\(I\subset \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、有限事象族\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in I}\)が独立であること、すなわち、\begin{equation*}\forall J\subset I:P\left( \bigcap_{i\in J}A_{i}\right) =\prod_{i\in
J}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は個々の事象\(A_{n}\)に対して確率\(P\left( A_{n}\right) \)を定めるため、それらの総和に相当する無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) =\lim_{N\rightarrow \infty
}\sum_{n=1}^{N}P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}をとることができます。その上で、この無限級数は有限な実数として定まらないものとします。つまり、\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

以上の諸条件が満たされる場合には、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)に属する事象の余事象をとることにより得られる事象族\(\left\{A_{n}^{c}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限が起こる確率が\(0\)になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}P\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}^{c}\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( \bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty
}A_{k}\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。つまり、事象列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)に属する事象が独立であり、また、これらの事象の確率の総和が有限な実数として定まらない場合には、「無限個の番号\(k\)に関して事象\(A_{k}\)が起こらない」という事象が零事象になるということです。逆に言うと、この場合、有限個の番号\(k\)に関してのみ事象\(A_{k}\)が起こるということです。これが下極限に関するボレル・カンテリの第2補題です。

無限の猿定理

猿がキーボードをランダムに押していくと、ランダムな文字列が作りだされます。そのようにして作り出された文字列がシェイクスピアの名作「ハムレット」を一字一句違わぬ形で再現しているような事態は起こり得るでしょうか。これはフランスの数学者エミール・ボレル（Emile Borel）が考案した問題です。

単純化のため、キーボードにはアルファベットキーや数字キー、スペースキーなど、小説を書く上で必要最小限なキーだけが備わっているものとします。キーの個数を\(45\)とします。DeleteキーやBackspaceキーなど、すでに入力した文字を消去するキーは存在しないものとします。猿はランダムにキーボードを選んで押すため、各回にそれぞれのキーが押される確率は、\begin{equation*}\frac{1}{45}
\end{equation*}です。ハムレットの合計文字数を\(N\in \mathbb{N} \)とするのであれば、猿がハムレットを完全に再現できる確率は、\begin{equation*}\left( \frac{1}{45}\right) ^{N}
\end{equation*}です。ハムレットは句読点やスペースを含めておよそ\(20\)万文字で構成されているため、この確率はほぼゼロです。

では、猿が永遠にキーボードを打ち続ける状況を想定した場合、ハムレットが完全に再現されている状況は起こり得るでしょうか。それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)に対して、以下の事象\begin{eqnarray*}A_{1} &=&1\text{文字目から}N\text{文字目までがハムレットと一致する} \\
A_{2} &=&N+1\text{文字目から}2N\text{文字目までがハムレットと一致する} \\
A_{3} &=&2N+1\text{文字目から}3N\text{文字目までがハムレットと一致する} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定義します。つまり、\begin{equation*}
A_{n}=\left( n-1\right) N+1\text{文字目から}nN\text{文字目までがハムレットと一致する}
\end{equation*}です。先の考察より、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}P\left( A_{n}\right) =\left( \frac{1}{45}\right) ^{N}>0
\end{equation*}であるため、事象列\(\left\{ A_{n}\right\} \)の確率の総和は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left(
\frac{1}{45}\right) ^{N} \\
&=&+\infty \quad \because \left( \frac{1}{45}\right) ^{N}>0
\end{eqnarray*}となります。したがって、上極限に関するボレル・カンテリの第2補題より、\(\left\{A_{n}\right\} \)の上極限について、\begin{equation*}P\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} \)に属する可算無限個の事象が起こること、すなわち猿はハムレットを可算無限回再現することが明らかになりました。これを無限の猿定理（infinite monkey theorem）と呼びます。

演習問題