2つの事象族の独立性（2つの事象族が生成するσ-代数どうしの独立性）

2つの事象族の独立性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。これは、2つの事象\(A,B\)の一方が起きているかどうかが他方の事象が起こる確率に影響を与えないことを意味します。では、事象空間\(\mathcal{F}\)の部分集合、すなわち事象族どうしの独立性をどのように定義すればよいでしょうか。

2つの事象族\(\mathcal{A},\mathcal{B}\subset \mathcal{F}\)が与えられた状況を想定します。それぞれの事象族から事象を1つずつ選べば、それらが独立であるか検討できます。つまり、\(A\in \mathcal{A}\)かつ\(B\in \mathcal{B}\)を満たす事象\(A,B\in \mathcal{F}\)について、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、選ばれた2つの事象\(A,B\)は独立です。それぞれの事象族からどの事象を選んだ場合でもそれらが独立であることが保証される場合には、つまり、\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{A},\ \forall B\in \mathcal{B}:P\left( A\cap B\right)
=P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\mathcal{A}\)と\(\mathcal{B}\)は独立である（independent）と言います。

2つの事象族\(\mathcal{A},\mathcal{B}\subset \mathcal{F}\)が独立ではない場合には、すなわち先の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists A\in \mathcal{A},\ \exists B\in \mathcal{B}:P\left( A\cap B\right)
\not=P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\mathcal{A}\)と\(\mathcal{B}\)は従属である（dependent）と言います。

2つの事象族が生成するσ-代数どうしの独立性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間の公理を満たすものとして定義されているため、その要素である事象空間\(\mathcal{F}\)は\(\sigma \)-代数としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たします。

事象族\(\mathcal{A}\subset \mathcal{F}\)が与えられたとき、\(\mathcal{A}\)を部分集合として含むような\(\sigma \)-代数をすべて集めてできる集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathfrak{A}_{\lambda }\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall A\in \mathfrak{A}_{\lambda }:A^{c}\in \mathfrak{A}_{\lambda } \\
&&\left( c\right) \ \forall A_{1},A_{2},\cdots \in \mathfrak{A}_{\lambda
}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathfrak{A}_{\lambda } \\
&&\left( d\right) \ \mathcal{A}\subset \mathfrak{A}_{\lambda }\subset
\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\left(a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)は\(\mathfrak{A}_{\lambda }\)が\(\sigma \)-代数であることを意味し、\(\left( d\right) \)は\(\mathfrak{A}_{\lambda }\)が\(\mathcal{A}\)を部分集合として持つような\(\mathcal{F}\)の部分集合であることを意味します。

事象空間\(\mathcal{F}\)は\(\sigma \)-代数であるとともに\(\mathcal{A}\subset \mathcal{F}\)であるため事象空間\(\mathcal{F}\)は集合族\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素の1つです。したがって集合族\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は非空であるため、その共通部分\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}をとり、これを事象族\(\mathcal{A}\)から生成される最小の\(\sigma \)-代数（smallest \(\sigma \)-algebra generated by \(\mathcal{A}\)）と呼びます。

集合族\(\sigma \left( \mathcal{A}\right) \)は\(\mathcal{A}\)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数です。

事象族\(\mathcal{A}\subset \mathcal{F}\)から生成される最小の\(\sigma \)-代数を、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}と定義しました。先の命題より、\begin{equation*}
\exists \lambda \in \Lambda :\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の定義より、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{A}_{\lambda }\subset \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\sigma \left( \mathcal{A}\right) \subset \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、\(\sigma \left( \mathcal{A}\right) \)の要素はいずれも可測な事象です。

2つの事象族\(\mathcal{A},\mathcal{B}\subset \mathcal{F}\)が与えられれば、先の要領で\(\sigma \left( \mathcal{A}\right),\sigma \left( \mathcal{A}\right) \subset \mathcal{F}\)をそれぞれつくることができます。これらは事象族であるため、独立であるか検討できます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall A\in \sigma \left( \mathcal{A}\right) ,\ \forall B\in \sigma \left(
\mathcal{B}\right) :P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left(
B\right)
\end{equation*}が成り立つか検討できます。以上の命題が成り立つ場合、\(\sigma\left( \mathcal{A}\right) \)と\(\sigma \left( \mathcal{B}\right) \)は独立である（independent）と言います。

逆に、\(\sigma \left( \mathcal{A}\right) \)と\(\sigma\left( \mathcal{B}\right) \)が独立ではない場合には、すなわち先の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists A\in \sigma \left( \mathcal{A}\right) ,\ \exists B\in \sigma \left(
\mathcal{B}\right) :P\left( A\cap B\right) \not=P\left( A\right) \cdot
P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\sigma \left( \mathcal{A}\right) \)と\(\sigma \left( \mathcal{B}\right) \)は従属である（dependent）と言います。

2つの独立な事象族が生成するσ-代数どうしが独立であるための条件

2つの事象族\(\mathcal{A},\mathcal{B}\subset \mathcal{F}\)が以下の2つの条件を満たすものとします。

1つ目の条件は、\(\mathcal{A}\)と\(\mathcal{B}\)が独立であるということ、つまり、\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{A},\ \forall B\in \mathcal{B}:P\left( A\cap B\right)
=P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

2つ目の条件は、\(\mathcal{A}\)と\(\mathcal{B}\)がともに積事象について閉じているということ、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall A,A^{\prime }\in \mathcal{A}:A\cap A^{\prime
}\in \mathcal{A} \\
&&\left( a\right) \ \forall B,B^{\prime }\in \mathcal{B}:B\cap B^{\prime
}\in \mathcal{B}
\end{eqnarray*}が成り立つということです。つまり、\(\mathcal{A}\)と\(\mathcal{B}\)はともに乗法族（\(\pi \)-族）であるということです。

以上の条件が満たされる場合、\(\mathcal{A},\mathcal{B}\)から生成される\(\sigma \)-代数である\(\sigma \left( \mathcal{A}\right) ,\sigma \left( \mathcal{A}\right) \subset \mathcal{F}\)もまた独立になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall A\in \sigma \left( \mathcal{A}\right) ,\ \forall B\in \sigma \left(
\mathcal{B}\right) :P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left(
B\right)
\end{equation*}が成り立つということです。