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全事象

任意の集合はそれ自身の部分集合であることから、標本空間\(\Omega \)に対しても、\begin{equation*}
\Omega \subset \Omega
\end{equation*}という関係が成り立ちます。事象は標本空間\(\Omega \)の部分集合として定義されることを踏まえると、上の関係は\(\Omega \)もまた事象であることを意味します。そこで、このような事象\(\Omega \)を全事象(sure event)と呼びます。

標本空間\(\Omega \)に属する任意の標本点は全事象\(\Omega \)と整合的であるため、全事象は問題としている試行によって必ず起こる現象に相当します。

例(全事象)
「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、標本空間\(\Omega \)に属するすべての標本点は「整数の目が出る」という事象と整合的であるため、この事象は全事象\(\Omega \)です。また、\(\Omega \)に属するすべての標本点は「奇数または偶数の目が出る」という事象と整合的であるため、この事象もまた全事象\(\Omega \)です。
例(全事象)
「1つのサイコロを2回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、標本空間\(\Omega \)に属するすべての標本点は「2回の目の和は\(2\)以上\(12\)以下の整数である」という事象と整合的であるため、この現象は全事象\(\Omega \)です。また、標本空間\(\Omega \)に属するすべての標本点は「2回とも奇数または偶数の目が出る」という現象とも整合的であるため、この事象もまた全事象\(\Omega \)です。
例(全事象)
「ある工場が1日に生産する製品の中から1000個を抽出した上で不良品の個数を計測する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ 0,1,2,\cdots ,1000\right\}
\end{equation*}です。標本空間\(\Omega \)に属するすべての標本点は「不良品が\(1000\)個以下である」という事象と整合的であるため、この事象は全事象\(\Omega \)です。

次回は空事象について解説します。

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