順列とその個数

順列

標本空間\(\Omega \)に属するすべての標本点が同じ程度の確かさで起こるものと仮定する場合、先験的確率の考えのもとでは、それぞれの事象\(A\subset \Omega \)が起こる確率は、\begin{equation*} \frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega \right\vert }
\end{equation*}と定義されます。つまり、標本空間\(\Omega \)に属する標本点の個数\(\left\vert \Omega \right\vert \)と事象\(A\)に属する標本点の個数\(\left\vert A\right\vert \)をそれぞれ数え上げた上で、それらの比をとることにより事象\(A\)が起こる確率が得られるということです。ただ、標本点を1つずつ具体的に列挙していては数え落としをしたり同じものを二重に数えてしまう恐れがあるため、標本点を系統的に数える技術が必要です。前節で扱った積の法則を用いると、複数の段階にわたって選択を行う場合の選び方を系統的に数えることができます。以下では、その重要な応用として、有限個の要素の中から重複を許さずに複数の要素を順番に選ぶ場合を考えます。このような選び方を順列と呼びます。標本空間や事象はいずれも集合として定義されるため、そこに含まれる標本点の個数を順列を用いて系統的に数え上げることにより、事象の先験的確率を正確に求めることができます。
集合\(A\)は有限\(n\in \mathbb{N} \)個の要素を持つものとします。この集合\(A\)から1つずつ順番に、合計\(k\in \mathbb{N} \)個の要素を選びます。ただし、\(1\leq k\leq n\)です。また、同じ要素を複数回選ぶことはできないものとします。\(k\)個の要素を選んだ順番に並べることにより得られる要素の列を\(n\)個の要素から\(k\)個を順番に選ぶ場合の順列（permutation）と呼びます。\(i\ \left( =1,2,\cdots ,k\right) \)番目に選ばれた要素を\(a_{i}\in A\)で表記するのであれば、集合\(A\)の要素を成分とする\(k\)組\begin{equation*} \left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}\right)
\end{equation*}としてそれぞれの順列を表現できます。ただし、同じ要素を複数回選ぶことはできないため、以下の条件\begin{equation*}
\forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\left( i\not=j\Rightarrow
a_{i}\not=a_{j}\right)
\end{equation*}が成立している必要があります。

順列の個数

これまでは\(n,k\in \mathbb{N} \)かつ\(1\leq k\leq n\)である状況を想定しましたが、以降では議論を一般化するために\(n,k\)が\(0\)を値としてとり得る状況を許容し、\(n,k\in \mathbb{Z} _{+}\)かつ\(0\leq k\leq n\)とします。
\(n\)個の要素を持つ集合\(A \)から\(k\)個の要素を順番に選ぶ場合、どの要素を選ぶか、また、どのような順番で選ぶかに応じて様々な順列が得られます。そこで、そのようなすべての順列の個数を、\begin{equation*} P\left( n,k\right) ,\; P_{n,k},\; _{n}P_{k}
\end{equation*}などで表記します。

\(k=0\)の場合の順列の個数については、\(n\)個の中から\(0\)個を選ぶ方法としては「何も選ばない」という1通りだけ存在するものとみなした上で、\begin{equation*} P\left( n,0\right) =1
\end{equation*}と定めます。また、\(n=0\)の場合には\(0\leq k\leq n\)より\(k=0\)であるため、この場合にも、\begin{equation*} P\left( 0,0\right) =1
\end{equation*}となります。

順列の個数に関して以下の命題が成り立ちます。証明では数え上げに関する積の法則を利用します。

演習問題