和事象の確率
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。つまり、事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は確率論の公理\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall \text{排反な}\left\{
A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
上の公理\(\left( P_{3}\right) \)は互いに排反な可算個の事象に関するものですが、互いに排反とは限らない事象の和事象についてはどのようなことが言えるでしょうか。互いに排反であるとは限らない可算個の事象からなる列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の和事象の確率に関しては、確率測度\(P\)の\(\sigma \)-劣加法性より、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) \leq \bigcup_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) \leq \lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=1}^{N}P\left(
A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
以降では、可算個の事象が一定の条件を満たす場合には、それらの和事象や積事象の確率についてもう少し踏み込んだことが言えることを示します。以降では、事象列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)をシンプルに\(\left\{ A_{n}\right\} \)と表記します。
事象の単調列
事象列\(\left\{ A_{n}\right\} \subset \mathcal{F}\)が以下の条件\begin{equation*}A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\subset A_{n+1}
\end{equation*}を満たす場合には、\(\left\{ A_{n}\right\} \)を単調増加列（monotonically increasing sequence）と呼びます。
事象列\(\left\{ A_{n}\right\} \subset \mathcal{F}\)が以下の条件\begin{equation*}A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\supset A_{n+1}
\end{equation*}を満たす場合には、\(\left\{ A_{n}\right\} \)を単調減少列（monotonically decreasing sequence）と呼びます。
単調増加列と単調減少列を総称して単調列（monotone sequence）と呼びます。つまり、事象列\(\left\{ A_{n}\right\} \subset \mathcal{F}\)が単調列であることとは、単調増加列または単調減少列の少なくとも一方であることを意味します。
以下の例が示唆するように、同一の実験を繰り返し行うタイプの試行に関連して、事象の単調列は頻出します。
\end{equation*}のような無限列として表されます。\(n\in \mathbb{N} \)回目のコイン投げの結果を、\begin{equation*}\omega _{n}\in \{1,0\}
\end{equation*}と表記するのであれば、それぞれの標本点を、\begin{equation*}
\omega =\left( \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right)
\end{equation*}と定式化できます。標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,0\}^{\mathbb{N} }
\end{equation*}ですが、これは非可算集合です。事象列\(\{A_{n}\}\)の一般項を、\begin{equation*}A_{n}=\text{最初の}n\text{回において少なくとも1回は表が出る}
\end{equation*}と定義します。最初の\(n\)回目までに表が出ているのであれば、最初の\(n+1\)回目までにも表が出ています。つまり、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、任意の標本点\(\omega \in \Omega \)について、\begin{equation*}\omega \in A_{n}\Rightarrow \omega \in A_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
A_{n}\subset A_{n+1}
\end{equation*}を得ます。したがって、この事象列\(\{A_{n}\}\)は単調増加列です。
\end{equation*}のような無限列として表されます。\(n\in \mathbb{N} \)回目のコイン投げの結果を、\begin{equation*}\omega _{n}\in \{1,0\}
\end{equation*}と表記するのであれば、それぞれの標本点を、\begin{equation*}
\omega =\left( \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right)
\end{equation*}と定式化できます。標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,0\}^{\mathbb{N} }
\end{equation*}ですが、これは非可算集合です。事象列\(\{A_{n}\}\)の一般項を、\begin{equation*}A_{n}=\text{最初の}n\text{回はいずれも裏である}
\end{equation*}と定義します。最初の\(n+1\)回がいずれも裏であるならば、最初の\(n\)回もまたいずれも裏です。つまり、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、任意の標本点\(\omega \in \Omega \)について、\begin{equation*}\omega \in A_{n+1}\Rightarrow \omega \in A_{n}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
A_{n+1}\supset A_{n}
\end{equation*}を得ます。したがって、この事象列\(\{A_{n}\}\)は単調減少列です。
\end{equation*}と定義します。このとき、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}B_{n} &=&\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\quad \because \left\{ B_{n}\right\} \text{の定義} \\
&\subset &\bigcup_{i=1}^{n+1}A_{i}\quad \because \text{和集合の定義} \\
&=&B_{n+1}\quad \because \left\{ B_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\{B_{n}\}\)は単調増加列です。こうして、任意の事象列\(\{A_{n}\}\)から単調増加列を生成することができます。
\end{equation*}と定義します。このとき、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}B_{n} &=&\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\quad \because \left\{ B_{n}\right\} \text{の定義} \\
&\supset &\bigcap_{i=1}^{n+1}A_{i}\quad \because \text{共通部分の定義} \\
&=&B_{n+1}\quad \because \left\{ B_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\{B_{n}\}\)は単調減少列です。こうして、任意の事象列\(\{A_{n}\}\)から単調減少列を生成することができます。
確率測度の下連続性（下からの連続性）
事象列\(\{A_{n}\}\subset \mathcal{F}\)が単調増加列であるものとします。つまり、\begin{equation*}A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots
\end{equation*}が成り立つということです。確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は単調性を満たすため、この場合、事象の確率からなる数列\(\left\{ P\left( A_{n}\right) \right\} \)に関して、\begin{equation*}P\left( A_{1}\right) \leq P\left( A_{2}\right) \leq \cdots
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\left\{ P\left( A_{n}\right) \right\} \)は単調増加数列です。さて、事象空間\(\mathcal{F}\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}であり、したがって確率測度\(P\)のもとで和事象の確率\(P\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty}A_{n}\right) \)が1つの実数として定まることが保証されますが、この場合、先の実数列\(\left\{ P\left(A_{n}\right) \right\} \)は有限な実数へ収束するとともに、以下の関係\begin{equation*}P\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow +\infty
}P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。以上の性質を確率測度\(P\)の下連続性（continuity from below）と呼びます。
}P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}のような無限列として表されます。\(n\in \mathbb{N} \)回目のコイン投げの結果を、\begin{equation*}\omega _{n}\in \{1,0\}
\end{equation*}と表記するのであれば、それぞれの標本点を、\begin{equation*}
\omega =\left( \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right)
\end{equation*}と定式化できます。標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,0\}^{\mathbb{N} }
\end{equation*}ですが、これは非可算集合です。事象列\(\{A_{n}\}\)の一般項を、\begin{equation*}A_{n}=\text{最初の}n\text{回において少なくとも1回は表が出る}
\end{equation*}と定義します。先に明らかにしたように\(\left\{ A_{n}\right\} \)は単調増加列です。\(A_{n}\)の余事象は、\begin{equation*}A_{n}^{c}=\text{最初の}n\text{回はいずれも裏}
\end{equation*}であるため、その確率は、\begin{equation*}
P\left( A_{n}^{c}\right) =\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}
\end{equation*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
P\left( A_{n}\right) &=&1-P\left( A_{n}^{c}\right) \\
&=&1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}
\end{eqnarray*}を得ます。和事象\begin{equation*}
\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}
\end{equation*}に注目します。\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\omega \in \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n} &\Leftrightarrow &\exists n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n} \\
&\Leftrightarrow &\exists n\in \mathbb{N} :\text{最初の}n\text{回において少なくとも1回は表が出る} \\
&\Leftrightarrow &\text{少なくとも}1\text{回は表が出る}
\end{eqnarray*}となりますが、先の命題より、\begin{eqnarray*}
P\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow +\infty
}P\left( A_{n}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ 1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}\right] \\
&=&1-\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{n} \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、「少なくとも\(1\)回は表が出る」確率は\(1\)であることが明らかになりました。
確率測度の上連続性（上からの連続性）
事象の単調減少列に関しても同様の命題が成立します。具体的には以下の通りです。
事象列\(\{A_{n}\}\subset \mathcal{F}\)が単調減少列であるものとします。つまり、\begin{equation*}A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots
\end{equation*}が成り立つということです。確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は単調性を満たすため、この場合、事象の確率からなる数列\(\left\{ P\left( A_{n}\right) \right\} \)に関して、\begin{equation*}P\left( A_{1}\right) \geq P\left( A_{2}\right) \geq \cdots
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\left\{ P\left( A_{n}\right) \right\} \)は単調減少数列です。さて、事象空間\(\mathcal{F}\)は可算交叉について閉じているため、\begin{equation*}\bigcap_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}であり、したがって確率測度\(P\)のもとで積事象の確率\(P\left( \bigcap_{n=1}^{+\infty}A_{n}\right) \)が1つの実数として定まることが保証されますが、この場合、先の実数列\(\left\{ P\left(A_{n}\right) \right\} \)は有限な実数へ収束するとともに、以下の関係\begin{equation*}P\left( \bigcap_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow +\infty
}P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。以上の性質を確率測度\(P\)の上連続性（continuity from above）と呼びます。証明は先の命題と同様です。
}P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}のような無限列として表されます。\(n\in \mathbb{N} \)回目のコイン投げの結果を、\begin{equation*}\omega _{n}\in \{1,0\}
\end{equation*}と表記するのであれば、それぞれの標本点を、\begin{equation*}
\omega =\left( \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right)
\end{equation*}と定式化できます。標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,0\}^{\mathbb{N} }
\end{equation*}ですが、これは非可算集合です。事象列\(\{A_{n}\}\)の一般項を、\begin{equation*}A_{n}=\text{最初の}n\text{回はいずれも裏である}
\end{equation*}と定義します。先に明らかにしたように\(\left\{ A_{n}\right\} \)は単調減少列です。\(A_{n}\)の確率は、\begin{equation*}P\left( A_{n}\right) =\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}
\end{equation*}です。積事象\begin{equation*}
\bigcap_{n=1}^{+\infty }A_{n}
\end{equation*}に注目します。\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\omega \in \bigcap_{n=1}^{+\infty }A_{n} &\Leftrightarrow &\forall n\in \mathbb{N} :\omega \in A_{n} \\
&\Leftrightarrow &\forall n\in \mathbb{N} :\text{最初の}n\text{回はいずれも裏である} \\
&\Leftrightarrow &\text{裏が出続ける}
\end{eqnarray*}となりますが、先の命題より、\begin{eqnarray*}
P\left( \bigcap_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow +\infty
}P\left( A_{n}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、「裏が出続ける」確率は\(0\)であることが明らかになりました。
演習問題
\left( 3,1,5,6,3,\cdots \right)
\end{equation*}のような無限列として表現されます。\(n\in \mathbb{N} \)回目に出るサイコロの目を\(\omega _{n}\in \{1,2,3,4,5,6\}\)で表記するのであれば、それぞれの標本点は、\begin{equation*}\omega =\left( \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right)
\end{equation*}と定式化されます。この試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}^{\mathbb{N} }
\end{equation*}ですが、これは非可算集合です。以上の試行において、\(1\)が一回も出ない確率は\(0\)であることを示してください。
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