対称差事象
複数の事象について考えるとき、一方だけが起こり、他方は起こらない場合を1つの事象として表現することがあります。例えば、2つの事象\(A,B\)について、「\(A\)または\(B \)のいずれか一方だけが起こる」という場合です。事象は標本空間の部分集合として表されるため、このような場合は集合の対称差によって定式化できます。以下では、このような事象を対称差事象として定義します。
標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。これらの対称差\begin{equation*} A\Delta B=\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\end{equation*}もまた\(\Omega \)の部分集合であるため、これもまた事象です。この事象\(A\Delta B\)を\(A\)と\(B\)の対称差事象（symmetric difference of events）と呼びます。
事象\(A,B\)および対称差事象\(A\Delta B\)が与えられたとき、対称差の定義より、\begin{equation*} \forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\Delta B\Leftrightarrow \omega
\in A\backslash B\vee \omega \in B\backslash A\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、これは何を意味するのでしょうか。問題としている試行のもとで事象\(A\Delta B\)が起きた場合、それは\(A\Delta B\)に属する何らかの標本点\(\omega \)が実現したこと、すなわち\(\omega \in A\Delta B\)が成り立つことを意味します。上の関係よりこれは\(\omega \in A\backslash B\)と\(\omega \in B\backslash A\)の少なくとも一方が成り立つこと、すなわち\(A\)が起こる一方で\(B\)は起こらないか、\(B\)が起こる一方で\(A \)が起こらないか、その少なくとも一方であることと必要十分です。つまり、対称差事象\(A\Delta B\)は「\(A \)は起こるが\(B\)が起こらないか、\(B\)は起こるが\(A \)が起こらないか、その少なくとも一方」という事象に相当します。
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「奇数の目が出る」という事象は、\begin{equation*}
A=\left\{ 1,3,5\right\}
\end{equation*}であり、「\(4\)以上の目が出る」という事象は、\begin{equation*} B=\left\{ 4,5,6\right\}
\end{equation*}であるため、これらの対称差事象は、\begin{eqnarray*}
A\Delta B &=&\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right) \\
&=&\left\{ 1,3\right\} \cup \left\{ 4,6\right\} \\
&=&\left\{ 1,3,4,6\right\}
\end{eqnarray*}となります。
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「1回目に\(1\)が出る」という事象を\(A\)で、「2回目に\(1\)が出る」という事象を\(B\)で表すとき、これらの対称差事象\(A\Delta B\)はどのような事象でしょうか。任意の標本点\(\left( i,j\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*} \left( i,j\right) \in A\Delta B &\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \in
A\backslash B\vee \left( i,j\right) \in B\backslash A\;\because \text{対称差事象の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left[ \left( i,j\right) \in A\wedge \left( i,j\right)
\not\in B\right] \vee \left[ \left( i,j\right) \in B\wedge \left( i,j\right)
\not\in A\right] \\
&\Leftrightarrow &\left( i=1\wedge j\not=1\right) \vee \left( j=1\wedge
i\not=1\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A\Delta B\)は「1回目に\(1\)が出るが2回目には\(1\)は出ないか、2回目に\(1 \)が出るが1回目には\(1\)は出ないか、その少なくとも一方」という事象です。
対称差事象の同値表現
一般に、2つの集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*} A\Delta B=\left( A\cup B\right) \backslash \left( A\cap B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、対称差事象についても同様の命題が成り立ちます。
\end{equation*}という関係が成り立つ。
上の命題より、\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\Delta B\Leftrightarrow \omega
\in A\cup B\wedge \omega \not\in A\cap B\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、これは何を意味するのでしょうか。問題としている試行のもとで事象\(A\Delta B\)が起きた場合、それは\(A\Delta B\)に属する何らかの標本点\(\omega \)が実現したこと、すなわち\(\omega \in A\Delta B\)が成り立つことを意味します。上の関係よりこれは\(\omega \in A\cup B\)が成り立つ一方で\(\omega \in A\cap B\)が成り立たないこと、すなわち\(A\)と\(B\)の少なくとも一方が成り立つ一方で\(A\)と\(B\)が同時に起こらないことと必要十分です。つまり、対称差事象\(A\Delta B\)は「事象\(A,B\)の少なくとも一方は起こるが両方同時には起こらない」という事象に相当します。
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「1回目に\(1\)が出る」という事象を\(A\)で、「2回目に\(1\)が出る」という事象を\(B\)で表すとき、これらの対称差事象\(A\Delta B\)はどのような事象でしょうか。任意の標本点\(\left( i,j\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*} \left( i,j\right) \in A\Delta B &\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \in
\left( A\cup B\right) \backslash \left( A\cap B\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \in A\cup B\wedge \left( i,j\right)
\not\in A\cap B \\
&\Leftrightarrow &\left[ \left( i,j\right) \in A\vee \left( i,j\right) \in B\right] \wedge \lnot \left[ \left( i,j\right) \in A\wedge \left( i,j\right)
\in B\right] \\
&\Leftrightarrow &\left[ \left( i,j\right) \in A\vee \left( i,j\right) \in B\right] \wedge \left[ \left( i,j\right) \not\in A\vee \left( i,j\right)
\not\in B\right] \;\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( i=1\vee j=1\right) \wedge \left( i\not=1\vee
j\not=1\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A\Delta B\)は「1回目または2回目に\(1\)が出るが、2回連続では\(1\)は出ない」という事象です。
演習問題
- \(A\Delta B=B\Delta A\)
- \(A\Delta\phi=A\)
- \(A\Delta A=\phi\)
- \(A\Delta\Omega=A^{c}\)
- \(A=B\)
- \(A\Delta B=\phi\)
A\Delta B=B\backslash A
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
