事象 A と事象 B の対称差として定義される事象を A と B の対称差事象と呼びます。これは「A と B の少なくとも一方が起こるが両者が同時には起こらない」という現象に相当する事象です。

対称差事象

試行の標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2 つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。このとき、それらの対称差\( A\Delta B=\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right) \)として表される事象を\(A\)と\(B\)の対称差事象(symmetric difference of events)と呼びます。

対称差事象\(A\Delta B\)と整合的な標本点は、\(A\)に属するが\(B\)には属さない標本点と、\(B\)に属するが\(A\)には属さない標本点です。したがって対称差事象\(A\Delta B\)は「事象\(A,B\)の少なくとも一方は起こるが両方同時には起こらない」という現象に相当する事象です。

対称差について復習する
例(対称差事象)
1 つのサイコロを 1 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、\(A=\{1,3,5\}\)という事象は「奇数の目が出る」という現象に相当し、\(B=\{4,5,6\}\)という事象は「\(4\)以上の目が出る」という現象に相当します。これらの対称差事象は、\begin{eqnarray*}
A\Delta B &=&\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right) \\
&=&\{1,3\}\cup \{4,6\} \\
&=&\{1,3,4,6\}
\end{eqnarray*}であり、これは「奇数または\(4\)以上の目が出るが、奇数かつ\(4\)以上の目は出ない」という現象に相当します。
例(対称差事象)
1 つのサイコロを 2 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{eqnarray*}
\Omega &=&\{\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 1,5\right) ,\left( 1,6\right) , \\
&&\left( 2,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 2,4\right)
,\left( 2,5\right) ,\left( 2,6\right) , \\
&&\left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left( 3,4\right)
,\left( 3,5\right) ,\left( 3,6\right) , \\
&&\left( 4,1\right) ,\left( 4,2\right) ,\left( 4,3\right) ,\left( 4,4\right)
,\left( 4,5\right) ,\left( 4,6\right) , \\
&&\left( 5,1\right) ,\left( 5,2\right) ,\left( 5,3\right) ,\left( 5,4\right)
,\left( 5,5\right) ,\left( 5,6\right) , \\
&&\left( 6,1\right) ,\left( 6,2\right) ,\left( 6,3\right) ,\left( 6,4\right)
,\left( 6,5\right) ,\left( 6,6\right) \}
\end{eqnarray*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1 回目に\(i\)が出て 2 回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、\begin{equation*}
A=\{\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 1,5\right) ,\left( 1,6\right) \}
\end{equation*}という事象は「1 回目に\(1\)が出る」という現象に相当し、\begin{equation*}
B=\{\left( 1,1\right) ,\left( 2,1\right) ,\left( 3,1\right) ,\left(
4,1\right) ,\left( 5,1\right) ,\left( 6,1\right) \}
\end{equation*}という事象は「2 回目に\(1\)が出る」という現象に相当します。これらの対称差事象は、\begin{eqnarray*}
A\Delta B &=&\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right) \\
&=&\{\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left( 1,4\right) ,\left(
1,5\right) ,\left( 1,6\right) \}\cup \{\left( 2,1\right) ,\left( 3,1\right)
,\left( 4,1\right) ,\left( 5,1\right) ,\left( 6,1\right) \} \\
&=&\{\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left( 1,4\right) ,\left(
1,5\right) ,\left( 1,6\right) ,\left( 2,1\right) ,\left( 3,1\right) ,\left(
4,1\right) ,\left( 5,1\right) ,\left( 6,1\right) \}
\end{eqnarray*}であり、これは「1 回目もしくは 2 回目には\(1\)が出るが、2 回連続で\(1\)は出ない」という現象に相当します。

 

対称差の同値表現

事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選んだとき、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{align*}
\omega \in A\bigtriangleup B& \Leftrightarrow \ \omega \in A\backslash B\
\vee \ \omega \in B\backslash A\quad \therefore \ \Delta \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \ \omega \in (A\backslash B)\cup (B\backslash A)\quad
\because \ \cup \text{の定義}
\end{align*}という関係が成り立つため、\begin{equation*}
A\bigtriangleup B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)
\end{equation*}と表せます。つまり、標本空間\(\Omega \)に属する標本点の中でも、\(A\)には属するが\(B\)には属さない標本点と、\(B\)には属するが\(A\)には属さない標本点からなる事象が\(A\bigtriangleup B\)です。言い換えると、\(A\bigtriangleup B\)は\(A\)だけに属する標本点と\(B\)だけに属する標本点を集めた集合です。この関係は、対称差事象\(\triangle \)が差事象\(\backslash \)と和事象\(\cup \)から間接的に定義される事象演算であることを示唆しています。さらに差事象\(\backslash \)は余事象\(c\)と積事象\(\cap \)から間接的に定義される事象演算ですから、結局、\(c,\cap ,\cup \)さえ定義されていれば\(\Delta \)を新たな事象演算として定義する必要はありません。ただ、対称差事象\(\Delta \)を利用すると表記が便利になる場合には、引き続き対称差事象\(\Delta \)を利用します。

次回は事象演算において役に立つ法則について学びます。
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