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対称差事象

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対称差事象

標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。これらの対称差\begin{equation*}A\Delta B=\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\end{equation*}もまた\(\Omega \)の部分集合であるため、これもまた事象です。この事象\(A\Delta B\)を\(A\)と\(B\)の対称差事象(symmetric difference of events)と呼びます。

事象\(A,B\)および対称差事象\(A\Delta B\)が与えられたとき、対称差の定義より、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\Delta B\Leftrightarrow \omega
\in A\backslash B\vee \omega \in B\backslash A\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、これは何を意味するのでしょうか。問題としている試行のもとで事象\(A\Delta B\)が起きた場合、それは\(A\Delta B\)に属する何らかの標本点\(\omega \)が実現したこと、すなわち\(\omega \in A\Delta B\)が成り立つことを意味します。\(\left( 1\right) \)よりこれは\(\omega \in A\backslash B\)と\(\omega \in B\backslash A\)の少なくとも一方が成り立つこと、すなわち\(A\)が起こる一方で\(B\)は起こらないか、\(B\)が起こる一方で\(A\)が起こらないか、その少なくとも一方であることと必要十分です。つまり、対称差事象\(A\Delta B\)は「\(A\)は起こるが\(B\)が起こらないか、\(B\)は起こるが\(A\)が起こらないか、その少なくとも一方」という事象に相当します。

例(対称差事象)
「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「奇数の目が出る」という事象は、\begin{equation*}
A=\left\{ 1,3,5\right\}
\end{equation*}であり、「\(4\)以上の目が出る」という事象は、\begin{equation*}B=\left\{ 4,5,6\right\}
\end{equation*}であるため、これらの対称差事象は、\begin{eqnarray*}
A\Delta B &=&\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right) \\
&=&\left\{ 1,3\right\} \cup \left\{ 4,6\right\} \\
&=&\left\{ 1,3,4,6\right\}
\end{eqnarray*}となります。

例(対称差事象)
「1つのサイコロを2回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「1回目に\(1\)が出る」という事象を\(A\)で、「2回目に\(1\)が出る」という事象を\(B\)で表すとき、これらの対称差事象\(A\Delta B\)はどのような事象でしょうか。任意の標本点\(\left( i,j\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( i,j\right) \in A\Delta B &\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \in
A\backslash B\vee \left( i,j\right) \in B\backslash A\quad \because \text{対称差事象の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left[ \left( i,j\right) \in A\wedge \left( i,j\right)
\not\in B\right] \vee \left[ \left( i,j\right) \in B\wedge \left( i,j\right)
\not\in A\right] \\
&\Leftrightarrow &\left( i=1\wedge j\not=1\right) \vee \left( j=1\wedge
i\not=1\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A\Delta B\)は「1回目に\(1\)が出るが2回目には\(1\)は出ないか、2回目に\(1\)が出るが1回目には\(1\)は出ないか、その少なくとも一方」という事象です。

 

対称差事象の同値表現

一般に、2つの集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\Delta B=\left( A\cup B\right) \backslash \left( A\cap B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、対称差事象についても同様の命題が成り立ちます。

命題(対称差事象の同値表現)
事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\Delta B=\left( A\cup B\right) \backslash \left( A\cap B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

上の命題より、\begin{equation}
\forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\Delta B\Leftrightarrow \omega
\in A\cup B\wedge \omega \not\in A\cap B\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちますが、これは何を意味するのでしょうか。問題としている試行のもとで事象\(A\Delta B\)が起きた場合、それは\(A\Delta B\)に属する何らかの標本点\(\omega \)が実現したこと、すなわち\(\omega \in A\Delta B\)が成り立つことを意味します。\(\left( 1\right) \)よりこれは\(\omega \in A\cup B\)が成り立つ一方で\(\omega \in A\cap B\)が成り立たないこと、すなわち\(A\)と\(B\)の少なくとも一方が成り立つ一方で\(A\)と\(B\)が同時に起こらないことと必要十分です。つまり、対称差事象\(A\Delta B\)は「事象\(A,B\)の少なくとも一方は起こるが両方同時には起こらない」という事象に相当します。

例(対称差事象)
「1つのサイコロを2回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「1回目に\(1\)が出る」という事象を\(A\)で、「2回目に\(1\)が出る」という事象を\(B\)で表すとき、これらの対称差事象\(A\Delta B\)はどのような事象でしょうか。任意の標本点\(\left( i,j\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( i,j\right) \in A\Delta B &\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \in
\left( A\cup B\right) \backslash \left( A\cap B\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \in A\cup B\wedge \left( i,j\right)
\not\in A\cap B \\
&\Leftrightarrow &\left[ \left( i,j\right) \in A\vee \left( i,j\right) \in B\right] \wedge \lnot \left[ \left( i,j\right) \in A\wedge \left( i,j\right)
\in B\right] \\
&\Leftrightarrow &\left[ \left( i,j\right) \in A\vee \left( i,j\right) \in B\right] \wedge \left[ \left( i,j\right) \not\in A\vee \left( i,j\right)
\not\in B\right] \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( i=1\vee j=1\right) \wedge \left( i\not=1\vee
j\not=1\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A\Delta B\)は「1回目または2回目に\(1\)が出るが、2回連続では\(1\)は出ない」という事象です。

 

演習問題

問題(対称差事象)
「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行において、「偶数の目が出る」という事象と「\(3\)以下の目が出る」という事象、およびそれらの対称差事象をそれぞれ定式化してください。
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問題(対称差事象)
「1つのサイコロを2回投げて出た目を観察する」という試行において、「1回目に偶数が出る」という事象と「2回目に奇数が出る」という事象、およびそれらの対称差をそれぞれ定式化してください。

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