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余事象

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余事象

標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、事象\(A\subset \Omega \)を任意に選びます。その補集合\begin{equation*}A^{c}=\Omega \backslash A
\end{equation*}もまた\(\Omega \)の部分集合であるため、これもまた事象です。この事象\(A^{c}\)を\(A\)の余事象(complementary event)と呼びます。

事象\(A\)およびその補事象\(A^{c}\)が与えられたとき、補集合の定義より、任意の\(\omega \in \Omega \)について、\begin{equation}\omega \in A^{c}\Leftrightarrow \omega \not\in A \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちますが、これは何を意味するのでしょうか。問題としている試行のもとで事象\(A^{c}\)が起きた場合、それは\(A^{c}\)に属する何らかの標本点\(\omega \)が実現したこと、すなわち\(\omega \in A^{c}\)が成り立つことを意味します。\(\left( 1\right) \)よりこれは\(\omega \not\in A\)が成り立つこと、すなわち事象\(A\)が起こらないことと必要十分です。つまり、事象\(A^{c}\)が起こることと事象\(A\)が起こらないことは必要十分であるため、余事象\(A^{c}\)は「事象\(A\)が起こらない」という事象に相当します。

例(余事象)
「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「奇数の目が出る」という事象は、\begin{equation*}
A=\left\{ 1,3,5\right\}
\end{equation*}と表現されますが、その余事象は、\begin{equation*}
A^{c}=\left\{ 2,4,6\right\}
\end{equation*}であり、これは「奇数の目が出ない」こと、すなわち「偶数の目が出る」という事象です。また、「\(5\)以上の目が出る」という事象は、\begin{equation*}B=\left\{ 5,6\right\}
\end{equation*}として表現されますが、その余事象は、\begin{equation*}
B^{c}=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、これは「\(5\)以上の目が出ない」こと、すなわち「\(4\)以下の目が出る」という事象です。
例(余事象)
「1つのサイコロを2回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「2回の目の合計は奇数である」という事象を\(A\)で表すとき、その補事象\(A^{c}\)はどのような事象でしょうか。任意の標本点\(\left( i,j\right) \in\Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( i,j\right) \in A^{c} &\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \not\in A \quad \because A^{c}\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &i+j\text{は奇数ではない}\quad \because A\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &i+j\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A^{c}\)は「2回の目の合計は偶数である」という事象です。

 

演習問題

問題(余事象)
「ある工場が1日に生産する製品の中から\(1000\)個を抽出した上で不良品の個数を計測する」という試行において、「不良品の割合が\(0.5\%\)以下である」という事象の余事象を定式化してください。
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問題(余事象)
「表が出るまでコインを投げ続ける」という試行において、「4回目以降に表が出る」という事象の余事象を定式化してください。
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問題(余事象)
「コインを2回投げ、出た面を記録する」という試行において、「2回目に表が出る」という事象の余事象を定式化してください。
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問題(余事象)
「2匹のマウスの寿命を測定する」という試行において、「少なくとも1匹の寿命は5以上」という事象の余事象を定式化してください。ただし、2匹のマウスは区別可能であるものとします。
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次回は積事象と呼ばれる事象演算について学びます。

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