事象 A の補集合として定義される事象を A の余事象と呼びます。これは「事象 A が起こらない」という現象に相当する事象です。

余事象

試行の標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、事象\(A\subset \Omega \)を任意に選びます。このとき、その補集合\(A^{c}=\Omega \backslash A\)として表される事象を\(A\)の余事象(complementary event)と呼びます。

余事象\(A^{c}\)に属する任意の標本点は事象\(A\)と整合的ではないため、余事象\(A^{c}\)は「事象\(A\)が起こらない」という現象に相当する事象です。

補集合について復習する
例(余事象)
1 つのサイコロを 1 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、\(A=\{1,3,5\}\)という事象は「奇数の目が出る」という現象に相当しますが、その余事象は\(A^{c}=\{2,4,6\}\)であり、これは「偶数の目が出る」という現象に相当します。また、\(B=\{5,6\}\)という事象は「\(5\)以上の目が出る」という現象に相当しますが、その余事象は\(B^{c}=\{1,2,3,4\}\)であり、これは「\(4\)以下の目が出る」という現象に相当します。
例(余事象)
1 つのサイコロを 2 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{eqnarray*}
\Omega &=&\{\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 1,5\right) ,\left( 1,6\right) , \\
&&\left( 2,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 2,4\right)
,\left( 2,5\right) ,\left( 2,6\right) , \\
&&\left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left( 3,4\right)
,\left( 3,5\right) ,\left( 3,6\right) , \\
&&\left( 4,1\right) ,\left( 4,2\right) ,\left( 4,3\right) ,\left( 4,4\right)
,\left( 4,5\right) ,\left( 4,6\right) , \\
&&\left( 5,1\right) ,\left( 5,2\right) ,\left( 5,3\right) ,\left( 5,4\right)
,\left( 5,5\right) ,\left( 5,6\right) , \\
&&\left( 6,1\right) ,\left( 6,2\right) ,\left( 6,3\right) ,\left( 6,4\right)
,\left( 6,5\right) ,\left( 6,6\right) \}
\end{eqnarray*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1 回目に\(i\)が出て 2 回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、\begin{eqnarray*}
A &=&\{\left( 1,1\right) ,\left( 1,3\right) ,\left( 1,5\right) ,\left(
2,2\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 2,6\right) , \\
&&\left( 3,1\right) ,\left( 3,3\right) ,\left( 3,5\right) ,\left( 4,2\right)
,\left( 4,4\right) ,\left( 4,6\right) , \\
&&\left( 5,1\right) ,\left( 5,3\right) ,\left( 5,5\right) ,\left( 6,2\right)
,\left( 6,4\right) ,\left( 6,6\right) \}
\end{eqnarray*}という事象は「2 回の目の和が偶数である」という現象に相当しますが、その余事象は、\begin{eqnarray*}
A^{c} &=&\{\left( 1,2\right) ,\left( 1,4\right) ,\left( 1,6\right) ,\left(
2,1\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 2,5\right) , \\
&&\left( 3,2\right) ,\left( 3,4\right) ,\left( 3,6\right) ,\left( 4,1\right)
,\left( 4,3\right) ,\left( 4,5\right) , \\
&&\left( 5,2\right) ,\left( 5,4\right) ,\left( 5,6\right) ,\left( 6,1\right)
,\left( 6,3\right) ,\left( 6,5\right) \}
\end{eqnarray*}であり、これは「2 回の目の和が奇数である」という現象に相当します。

次回は積事象と呼ばれる事象演算について学びます。
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