余事象
ある事象について考えるとき、その事象が起こる場合だけでなく、その事象が起こらない場合について考えることも重要です。事象は標本空間の部分集合として表されるため、ある事象が起こらない場合は、その事象に属さない標本点からなる集合によって表現できます。以下では、このような事象を定式化します。
標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、事象\(A\subset \Omega \)を任意に選びます。その補集合\begin{equation*} A^{c}=\Omega \backslash A
\end{equation*}もまた\(\Omega \)の部分集合であるため、これもまた事象です。この事象\(A^{c}\)を\(A\)の余事象（complementary event）と呼びます。
事象\(A\)およびその余事象\(A^{c}\)が与えられたとき、補集合の定義より、\begin{equation} \forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A^{c}\Leftrightarrow \omega
\not\in A\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちますが、これは何を意味するのでしょうか。問題としている試行のもとで事象\(A^{c}\)が起きた場合、それは\(A^{c}\)に属する何らかの標本点\(\omega \)が実現したこと、すなわち\(\omega \in A^{c}\)が成り立つことを意味します。\(\left( 1\right) \)よりこれは\(\omega \not\in A\)が成り立つこと、すなわち事象\(A\)が起こらないことと必要十分です。つまり、事象\(A^{c}\)が起こることと事象\(A\)が起こらないことは必要十分であるため、余事象\(A^{c}\)は「事象\(A\)が起こらない」という事象に相当します。
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「奇数の目が出る」という事象は、\begin{equation*}
A=\left\{ 1,3,5\right\}
\end{equation*}と表現されますが、その余事象は、\begin{equation*}
A^{c}=\left\{ 2,4,6\right\}
\end{equation*}であり、これは「奇数の目が出ない」こと、すなわち「偶数の目が出る」という事象です。また、「\(5\)以上の目が出る」という事象は、\begin{equation*} B=\left\{ 5,6\right\}
\end{equation*}として表現されますが、その余事象は、\begin{equation*}
B^{c}=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、これは「\(5\)以上の目が出ない」こと、すなわち「\(4\)以下の目が出る」という事象です。
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「2回の目の合計は奇数である」という事象を\(A\)で表すとき、その余事象\(A^{c}\)はどのような事象でしょうか。任意の標本点\(\left( i,j\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*} \left( i,j\right) \in A^{c} &\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \not\in A \quad \because A^{c}\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &i+j\text{は奇数ではない}\quad \because A\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &i+j\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A^{c}\)は「2回の目の合計は偶数である」という事象です。
余事象の基本性質
集合の補集合の補集合はもとの集合と一致するため、任意の事象\(A\)についても、\begin{equation*} \left( A^{c}\right) ^{c}=A
\end{equation*}が成り立ちます。これは、「事象\(A\)が起こらないことが起こらない」という事象が事象\(A\)と一致することを意味します。
全体集合の補集合は空集合であるため、空事象\(\phi \)と標本空間\(\Omega \)についても、\begin{equation*} \Omega ^{c}=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。これは、「必ず起こる現象が起こらない」という事象が空事象\(\phi \)と一致することを意味します。
空集合の補集合は全体集合であるため、空事象\(\phi \)と標本空間\(\Omega \)についても、\begin{equation*} \phi ^{c}=\Omega
\end{equation*}が成り立ちます。これは、「決して起こらない現象が起こらない」という事象が全事象\(\Omega \)と一致することを意味します。
