可算個の事象の独立性（ペア独立性・相互独立性）

可算個の事象の相互独立性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。以上の定義を拡張することにより、有限\(n\)個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}\)が独立（相互独立）であることを、\begin{equation*}\forall J\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。同じことを、事象族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が独立であると言うこともできます。では、可算個の事象が独立であることをどのように定義すればよいでしょうか。

可算個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}\)が与えられているものとします。その中から有限個の事象を任意に選んだとき、選ばれた事象が独立であることが保証されるのであれば、もとの可算個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots \)は独立である（independent）とか相互独立である（mutual independent）であるなどと言います。同じことを、事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が独立であると言うこともできます。

可算個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}\)が独立であることをどのように定式化できるでしょうか。まず、選ばれる事象の個数\(n\in \mathbb{N} \)によって場合を分ける必要があります。個数\(n\)を決定したら、続いて、可算個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots \)の中から\(n\)個を任意に選んだ上で、それらを\(A_{\left( 1\right) },\cdots,A_{\left( n\right) }\)で表記します。その上で、選ばれた事象\(A_{\left( 1\right) },\cdots ,A_{\left( n\right) }\)が独立であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall A_{\left( 1\right) },\cdots ,A_{\left( n\right) }\in \left\{
A_{1},A_{2},\cdots \right\} ,\ \forall J\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\}
:P\left( \bigcap_{i\in J}A_{\left( i\right) }\right) =\prod_{i\in J}P\left(
A_{\left( i\right) }\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、もとの可算個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots \)は独立です。つまり、可算個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots \)が独立であることとは、任意の有限集合\(I\subset \mathbb{N} \)に関する有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in I}\)が独立であることを意味します。

可算個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}\)が独立ではない場合には、これらは従属である（dependent）と言います。同じことを、事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が従属であると言うこともできます。これは、少なくとも1つの有限集合\(I\subset \mathbb{N} \)に関する有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in I}\)が独立ではないことを意味します。

可算個の事象のペア独立性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて可算個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}\)が与えられたとき、その中の任意の異なる2つが独立である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall i,j\in \mathbb{N} :\left[ i\not=j\Rightarrow P\left( A_{i}\cap A_{j}\right) =P\left(
A_{i}\right) \cdot P\left( A_{j}\right) \right] \end{equation*}が成り立つ場合には、もとの可算個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots \)はペア独立である（pariwise independent）と言います。同じことを、事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)がペア独立であると言うこともできます。

可算個の事象が独立（相互独立）である場合、それらの事象はペア独立です。

独立な事象族の部分集合の独立性

以降において「独立」という場合、それは「ペア独立」ではなく「相互独立」を指すものと定めます。

可算個の独立な事象の中から高々可算個の事象を任意に選んだとき、選ばれた事象どうしもまた独立になることが保証されます。

独立な可算個の事象と余事象

可算個の独立な事象が与えられたとき、その中の任意個の事象を余事象に置き換えても、それらの事象は独立なままです。