事象 A と事象 B の差集合として定義される事象を A と B の差事象と呼びます。これは「A は起きるが B は起きない」という現象に相当する事象です。

差事象

試行の標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2 つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。このとき、それらの差集合\(A\backslash B\)として表される事象を\(A\)と\(B\)の差事象(difference of events)と呼びます。

差事象\(A\backslash B\)に属する任意の標本点は\(A\)と整合的である一方で\(B\)とは整合的ではありません。したがって差事象\(A\backslash B\)は「事象\(A\)は起こるが事象\(B\)は起こらない」という現象に相当する事象です。

差集合について復習する
例(差事象)
1 つのサイコロを 1 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、\(A=\{1,3,5\}\)という事象は「奇数の目が出る」という現象に相当し、\(B=\{4,5,6\}\)という事象は「\(4\)以上の目が出る」という現象に相当します。これらの差事象は\(A\backslash B=\{1,3\}\)であり、これは「奇数の目が出るが\(4\)以上の目が出ない」という現象に、よりシンプルに言い換えると「\(3\)以下の奇数の目が出る」という現象に相当します。
例(差事象)
1 つのサイコロを 2 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{eqnarray*}
\Omega &=&\{\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 1,5\right) ,\left( 1,6\right) , \\
&&\left( 2,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 2,4\right)
,\left( 2,5\right) ,\left( 2,6\right) , \\
&&\left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left( 3,4\right)
,\left( 3,5\right) ,\left( 3,6\right) , \\
&&\left( 4,1\right) ,\left( 4,2\right) ,\left( 4,3\right) ,\left( 4,4\right)
,\left( 4,5\right) ,\left( 4,6\right) , \\
&&\left( 5,1\right) ,\left( 5,2\right) ,\left( 5,3\right) ,\left( 5,4\right)
,\left( 5,5\right) ,\left( 5,6\right) , \\
&&\left( 6,1\right) ,\left( 6,2\right) ,\left( 6,3\right) ,\left( 6,4\right)
,\left( 6,5\right) ,\left( 6,6\right) \}
\end{eqnarray*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1 回目に\(i\)が出て 2 回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、\begin{equation*}
A=\{\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 1,5\right) ,\left( 1,6\right) \}
\end{equation*}という事象は「1 回目に\(1\)が出る」という現象に相当し、\begin{equation*}
B=\{\left( 1,1\right) ,\left( 2,1\right) ,\left( 3,1\right) ,\left(
4,1\right) ,\left( 5,1\right) ,\left( 6,1\right) \}
\end{equation*}という事象は「2 回目に\(1\)が出る」という現象に相当します。これらの差事象は、\begin{equation*}
A\backslash B=\{\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left( 1,4\right)
,\left( 1,5\right) ,\left( 1,6\right) \}
\end{equation*}であり、これは「1 回目に\(1\)が出るが 2 回目には\(1\)が出ない」という現象に相当します。

 

差事象の同値表現

事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選んだとき、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{align*}
\omega \in A\backslash B& \Leftrightarrow \ \omega \in A\ \wedge \ \omega
\in B^{c}\quad \therefore \ \backslash \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \ \omega \in A\cap B^{c}\quad \because \ \cap \text{の定義}
\end{align*}という関係が成り立つため、\begin{equation*}
A\backslash B=A\cap B^{c}
\end{equation*}と表せます。つまり、標本空間\(\Omega \)に属する標本点の中でも、\(A\)に属するが\(B\)には属さない標本点からなる事象が\(A\backslash B\)です。この事実は、差事象\(\backslash \)が余事象\(c\)と積事象\(\cap \)から間接的に定義される事象演算であることを示唆しています。したがって、\(c\)と\(\cap \)さえ定義されていれば\(\backslash \)を新たな事象演算として定義する必要はありません。とは言え、差事象\(\backslash \)を利用すると表記が便利になることは確かですので、以降でも引き続き差事象\(\backslash \)を利用します。

次回は対称差事象と呼ばれる事象演算について学びます。
次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題(プレミアム会員限定)

ワイズをさらに活用するための会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。さらに、有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。
会員サービス

ディスカッションに参加しますか?

質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。
ログイン

アカウント
ログイン