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差事象

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差事象

標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2 つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。これらの差集合\begin{equation*}A\backslash B
\end{equation*}もまた\(\Omega \)の部分集合であるため、これもまた事象です。この事象\(A\backslash B\)を\(A\)と\(B\)の差事象(difference of events)と呼びます。

事象\(A,B\)および差事象\(A\backslash B\)が与えられたとき、差集合の定義より、\begin{equation}\forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\backslash B\Leftrightarrow
\omega \in A\wedge \omega \not\in B\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちますが、これは何を意味するのでしょうか。問題としている試行のもとで事象\(A\backslash B\)が起きた場合、それは\(A\backslash B\)に属する何らかの標本点\(\omega \)が実現したこと、すなわち\(\omega \in A\backslash B\)が成り立つことを意味します。\(\left( 1\right) \)よりこれは\(\omega\in A\)と\(\omega \not\in B\)がともに成り立つこと、すなわち\(A\)が起こる一方で\(B\)が起こらないことと必要十分です。つまり、事象\(A\backslash B\)が起こることと事象\(A\)が起こる一方で事象\(B\)が起こらないことは必要十分であるため、差事象\(A\backslash B\)は「事象\(A\)が起こるが事象\(B\)は起こらない」という事象に相当します。

例(差事象)
「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「奇数の目が出る」という事象は、\begin{equation*}
A=\left\{ 1,3,5\right\}
\end{equation*}であり、「\(4\)以上の目が出る」という事象は、\begin{equation*}B=\left\{ 4,5,6\right\}
\end{equation*}であるため、これらの差事象は、\begin{equation*}
A\backslash B=\left\{ 1,3\right\}
\end{equation*}であり、これは「奇数の目が出るが\(4\)以上の目は出ない」という事象です。その一方で、\begin{equation*}B\backslash A=\left\{ 4,6\right\}
\end{equation*}であり、これは「\(4\)以上の目が出るが奇数の目は出ない」という事象です。
例(差事象)
「1つのサイコロを2回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「1回目に\(1\)が出る」という事象を\(A\)で、「2回目に\(1\)が出る」という事象を\(B\)で表すとき、これらの差事象\(A\backslash B\)はどのような事象でしょうか。任意の標本点\(\left( i,j\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( i,j\right) \in A\backslash B &\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \in
A\wedge \left( i,j\right) \not\in B\quad \because \text{差事象の定義} \\
&\Leftrightarrow &i=1\wedge j\not=1 \quad \because A,B\text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A\backslash B\)は「1回目に\(1\)が出るが2回目には\(1\)は出ない」という事象です。その一方で、\begin{eqnarray*}\left( i,j\right) \in B\backslash A &\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \in
B\wedge \left( i,j\right) \not\in A\quad \because \text{差事象の定義} \\
&\Leftrightarrow &j=1\wedge i\not=1 \quad \because A,B\text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(B\backslash A\)は「2回目に\(1\)が出るが1回目には\(1\)は出ない」という事象です。

 

差事象の同値表現

一般に、2つの集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\backslash B=A\cap B^{c}
\end{equation*}という関係が成り立つため、差事象についても同様の命題が成り立ちます。

命題(差事象の同値表現)
事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\backslash B=A\cap B^{c}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

例(差事象の同値表現)
「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「偶数の目が出る」という事象は、\begin{equation*}
A=\left\{ 1,3,5\right\}
\end{equation*}であり、「\(3\)以下の目が出る」という事象は、\begin{equation*}B=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるため、これらの差事象は、\begin{equation*}
A\backslash B=\left\{ 5\right\}
\end{equation*}となります。その一方で、\(B\)の余事象は、\begin{equation*}B^{c}=\Omega \backslash B=\left\{ 4,5,6\right\}
\end{equation*}であることから、\begin{equation*}
A\cap B^{c}=\left\{ 5\right\}
\end{equation*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
A\backslash B=A\cap B^{c}
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、これは先の命題の主張と整合的です。

 

演習問題

問題(差事象)
「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行において、「偶数の目が出る」という事象と「\(3\)以下の目が出る」という事象、およびそれらの差事象をそれぞれ定式化してください。
証明

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問題(差事象)
「1つのサイコロを2回投げて出た目を観察する」という試行において、「1回目に偶数が出る」という事象と「2回目に奇数が出る」という事象、およびそれらの差事象をそれぞれ定式化してください。

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問題(差事象)
「ある工場が1日に生産する製品の中から\(1000\)個を抽出した上で不良品の個数を計測する」という試行において、「不良品の割合が\(1\%\)以下である」という事象と「不良品の割合が\(0.5\%\)以下である」という事象、およびそれらの差事象をそれぞれ定式化してください。
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関連知識

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補集合

集合 A に属さない要素からなる集合を A の補集合と呼びます。集合 A が命題関数 P(x) から内包的に定義されるとき、A の補集合とは、命題 P(x) が偽になるような要素 x からなる集合です。

共通部分
共通部分

集合 A,B の双方に属する要素からなる集合を A と B の共通部分と呼びます。集合 A が命題関数 P(x) から、集合 B が命題関数 Q(x) からそれぞれ内包的に定義されるとき、A と B の共通部分は 2 つの命題 P(x), Q(x) がともに真になるような要素 x からなる集合です。

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差集合

集合 A に属するが集合 B には属さない要素からなる集合を A と B の差集合と呼び、これを A\B と表記します。A が命題関数 P(x) から、集合 B が命題関数 Q(x) からそれぞれ内包的に定義されるとき、A と B の差集合は P(x) が真で Q(x) が偽であるような要素 x からなる集合です。

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差事象の確率

差事象は可測です。事象 A,B の差事象の確率は、事象 A の確率から積事象の確率を引くことにより得られます。

DISCUSSION

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