ガンマ関数の定義と性質

ガンマ関数の定義

実数\(p\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、変数\(t\)に関するベキ関数\(t^{p}\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上に定義されます。また、変数\(t\)に関する自然指数関数\(e^{t}\)は\(\mathbb{R} \)上に定義されます。このような事情を踏まえると、正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、変数\(t\)に関する関数\begin{equation*}t^{x-1}e^{-t}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数は定義域\(\mathbb{R} _{++}\)上で広義積分可能です。

正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、それに対して以下の値\begin{equation*}\int_{0}^{+\infty }t^{x-1}e^{-t}dt
\end{equation*}が必ず有限な実数として定まることが明らかになりました。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\Gamma \left( x\right) =\int_{0}^{+\infty }t^{x-1}e^{-t}dt
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\Gamma :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。そこで、この関数\(\Gamma \)をガンマ関数（Gamma function）と呼びます。

ガンマ関数の再帰性

ガンマ関数\(\Gamma :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{++}:\Gamma \left( x\right) =\Gamma \left( x-1\right) \cdot \left(
x-1\right)
\end{equation*}を満たします。したがって、実数\(x-1\)に対して定める値\(\Gamma \left( x-1\right) \)が与えられれば、上の関係を用いることにより、実数\(x\)に対して定める値\(\Gamma \left( x\right) \)を特定できます。ガンマ関数の値は再帰的に定まるということです。証明では部分積分を利用します。

階乗の補完としてのガンマ関数

ガンマ関数\(\Gamma :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域を自然数集合に制限して、\begin{equation*}\Gamma :\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}とすると、以下の関係\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :\Gamma \left( n\right) =\left( n-1\right) !
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\begin{eqnarray*}
\Gamma \left( 1\right) &=&0!=1 \\
\Gamma \left( 2\right) &=&1!=1 \\
\Gamma \left( 3\right) &=&2!=2 \\
\Gamma \left( 4\right) &=&3!=6 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立つということです。証明では先の命題を利用します。

ガンマ関数の値

ガンマ関数の値をいくつか特定します。

以上の命題とガンマ関数の再帰性を利用することにより以下が導かれます。

演習問題